专题1.10 三角形的证明章末十大题型总结（培优篇）（北师大版）（解析版）

专题1.10三角形的证明章末十大题型总结（培优篇）【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由HL证明全等】 1【题型2由三线合一求值或证明】 5【题型3等腰三角形中分类讨论】 9【题型4双垂直平分线求角度与周长】 14【题型5角平分线与垂直平分线综合运用】 18【题型6勾股数、勾股树】 23【题型7尺规作图与证明、计算的综合运用】 26【题型8由勾股定理证明线段之间的关系】 31【题型9由勾股定理求最值】 41【题型10等边三角形的十字结合模型】 45【题型1由HL证明全等】【例1】（2023八年级上·山东济南·期末）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，AC=2，则AD的长为（

）A．1 B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．证明Rt△CAB≌Rt△CADHL，推出【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠D=∠B=90°，∵CB=CD，又CA=CA，∴Rt△CAB≌∴∠CAD=∠1=30°，∵AC=2，∴CD=1∴AD=A故选：C．【变式1-1】（2023八年级上·山东济宁·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为24cm,△ADE的周长为10cm，则边BC的长为

【答案】7【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，连接BE，可证Rt△BCE≌Rt△BDEHL，推出CE=DE，进而可得△ABC与△ADE的周长之差等于【详解】解：如图，连接BE，

在Rt△BCE和RtBC=BDBE=BE∴Rt△BCE≌∴CE=DE，∵△ABC的周长为24cm,△ADE的周长为∴AB+BC+CA=24cm，AE+AD+DE=10∴AB+BC+CA-AE+AD+DE∴BC+BD+CE-DE=BC+BD=2BC=14cm∴BC=7cm故答案为：7．【变式1-2】（2023八年级上·江苏扬州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC【答案】6或12/12或6【分析】分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△QPAHL，此时AP=BC=6，可据此求出P的位置；②Rt△QPA≌Rt△BAC【详解】解：①当AP=CB时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与RtAP=CB∴Rt△ABC≌∴AP=BC=6；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△QPA与RtAP=AC∴Rt△QPA≌∴AP=AC=12，∴当点P与点C重合时，Rt△ABC才能和Rt综上所述，AP=6或12，故答案为：6或12．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．【变式1-3】（2023八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB．若AD=2，CD=3，AC的长为．【答案】10【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的定义得到∠ACB=2∠ACD，再证明∠ACD=∠B，CD=BD=3，根据角平分线的性质得到DE=DF，接着利用面积法证明AC:BC=2:3，则设AC=2x，BC=3x，CF=32x，然后证明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE=CF=32x【详解】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCD，∵∠ACB=2∠B，∴∠DCB=∠B，∴CD=BD=3，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∵S∴12∴AC:BC=2:3，设AC=2x，BC=3x，∵DB=DC，∴CF=BF=1在Rt△CDE和RtCD=CDDE=DF∴Rt∴CE=CF=3∴AE=1∵DE∴22-∴AC=10故答案为：10【题型2由三线合一求值或证明】【例2】（2023八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知∠AOB为60°，点P在边OA上，OP=12，点M、N在边OB上，PM=PN．若MN为4，则OM为．【答案】4【分析】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质；过P作PD⊥OB，交OB于点D，先说明∠OPD=30°，再根据含30度直角三角形的性质可得OD的长；由PM=PN，利用等腰三角形三线合一可得D为MN中点，再根据MN求出MD的长，最后根据OM=OD-MD即可解答．【详解】解：如图：过P作PD⊥OB交OB于点D，

在Rt△OPD中，∴∠OPD=30°，∵OP=12，∴OD=1∵PM=PN，PD⊥MN，MN=4，∴MD=ND=1∴OM=OD-MD=6-2=4．故答案为：4．【变式2-1】（2023八年级上·山东青岛·期末）（1）如图1，已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2，则AE与BE的数量关系是______；（2）如图2，已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4，探究AE【答案】（1）AE=BE；（2）AE=BE，证明见解析【分析】（1）利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证；（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCFSAS，可得出AE=BF，∠AED=∠CFB本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的的判定应性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．【详解】（1）∵AC=BC，∠1=∠2，∴AE=BE，故答案为：AE=BE；（2）AE=BE，理由如下：在CE上截取CF=DE，在△ADE和△BCF中，AD=CB∠3=∠4∴△ADE≌△BCFSAS∴AE=BF，∠AED=∠CFB，∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF，∴AE=BE．【变式2-2】（2023八年级上·重庆丰都·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，点M为AC上一点，且CM=CD，则∠AMD=．【答案】105°【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠ADC=90°，∠DAC=1【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵CM=CD，∴∠CDM=∠CMD=180°-∠C∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠ADC=90°，∠DAC=1∴∠ADM=∠ADC-∠CDM=15°，则∠AMD=180°-∠ADM-∠DAC=105°故答案为：105°．【变式2-3】（2023八年级上·陕西安康·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F．(1)若点D是AB的中点，求证：∠BDE=1(2)若∠ADE=160°，求∠DEF的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）连接CD，由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=12∠ACB，证明∠BCD=∠BDE（2）先求出∠BDE=20°，由垂线的定义可得∠DEB=∠AFE=90°，求出∠B=70°，由等边对等角得出∠B=∠A=70°，即可得解．【详解】（1）证明：如图，连接CD，，∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=1∴∠BCD+∠B=90°，∵∠B+∠BDE=90°，∴∠BCD=∠BDE，∴∠BDE=1（2）解：∵∠ADE=160°，∴∠BDE=20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠AFE=90°，在Rt△BDE中，∠DEB=90°∴∠B=90°-∠BDE=90°-20°=70°，∵AC=BC，∴∠B=∠A=70°，∴∠DEF=360°-∠A-∠ADE-∠AFE=360°-70°-160°-90°=40°．【题型3等腰三角形中分类讨论】【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，则∠BCD为（

）

A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50°【答案】B【分析】分两种情况进行讨论，当EF=ED时，根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=x，根据等腰三角形的性质可得∠EFD=∠EDF=80°，则x+x+20°=80°，解出x即可；当EF=DF时，根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=y，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠FDE=20°，则∠EFD=140°，则y+y+20°=140°，解出y即可．【详解】解：当EF=ED时，根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=x，∵∠B=20°，∴∠FDC=x+20°，∵△DEF为等腰三角形，EF=ED，∴∠EFD=∠EDF=80°，∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，∴x+x+20°=80°，解得x=30°，当EF=DF时，根据折叠的性质可知∠BCD=∠ECD，设∠BCD=∠ECD=y，∵∠B=20°，∴∠FDC=y+20°，∵△DEF为等腰三角形，EF=DF，∴∠E=∠FDE=20°，∴∠EFD=140°，∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，∴y+y+20°=140°，解得y=60°，综上所述，∠BCD的度数为30°或60°，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解题的关键．【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（

）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．【详解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，

∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=180°-70°②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，

∴∠BAC=20°+90°=110°∴∠ABC=∠C=180°-110°故选：C．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB=．

【答案】20°或40°或70°或100°【分析】画出图形，分四种情况分别求解．【详解】解：若AB=AD，则∠ADB=∠ABC=40°；

若AD=BD，则∠DAB=∠DBA=40°，∴∠ADB=180°-2×40°=100°；

若AB=BD，且三角形是锐角三角形，则∠ADB=∠BAD=1

若AB=BD，且三角形是钝角三角形，则∠BAD=∠BDA=1

综上：∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°，故答案为：20°或40°或70°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为．

【答案】50°或65°或80°【分析】先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，再证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三种情况求解：当GD=GF、DF=GF、DF=DG．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，∴∠B=∠C=25°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，AF=AC∠FAG=∠CAG∴△AGF≌△AGC(SAS∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°．①当GD=GF时，∴∠FDG=∠GFD=50°．②当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=50°，∴∠FDG=∠FGD=65°．③当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=50°，∴∠FDG=80°，故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，分类讨论是解答本题的关键．【题型4双垂直平分线求角度与周长】【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的度数为（

）

A．α B．4α3 C．180°-2α3【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．【详解】∵线段EF的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，∴DE=DF,AE=DE，∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，∴∠EAD=1∴∠CDF=1∴∠DFA=2∴∠EDF=180°-2∠DFA=180°-4故选D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=EC，进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，从而可得答案．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D，∴AD=BD，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴AE=EC，∵BC=8，∴BD+CE+DE=8，∴AD+AE+DE=8，∴△ADE的周长为8，故选：C．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（

）

A．α B．14α+90° C．12【答案】B【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°-∠AIB，根据角平分线的定义得到∠IAB+∠IBA=90°-【详解】解：连接CO并延长，

∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，同理，∠BOD=2∠OCB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，∴∠OCA+∠OCB=α∴∠ACB=α∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB∴∠IAB+∠IBA=1∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=90°+α故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23

【答案】6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，从而可求出BC=11cm，然后根据△OBC的周长为23cm，即可求出【详解】解：∵OM是AB的垂直平分线，∴DA=DB，OA=OB，∵ON是AC的垂直平分线，∴EA=EC，OA=OC，∴OB=OC，∵△ADE的周长为11cm∴AD+DE+AE=11cm∴BD+DE+CE=11cm∴BC=11cm∵△OBC的周长为23cm∴OB+OC=23-11=12cm∴OB=OC=6cm∴OA=OC=6cm故答案为：6cm【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【题型5角平分线与垂直平分线综合运用】【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】B【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，从而可以证明；③假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，条件不足，故错误；④连接BD、CD，证明Rt△BED≌【详解】如图所示，连接BD、

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．故①正确；∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∴DE=1同理DF=1∴DE+DF=AD．故②正确；∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°∴∠ADE=∠ADF=60°．假设DM平分∠ADF，则∠ADM=∠FDM=30°，∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．∵DM⊥BC，∴BC∥DE．∴∠ABC=∠E=90°．又∵∠ABC的度数是未知的，∴不能判定DM平分∠ADF．故③错误；∵DM是BC的垂直平分线，∴DB=DC．在Rt△BED和RtDE=DFBD=CD∴Rt△BED≌∴BE=CF．在Rt△AED和RtDE=DFAD=AD∴Rt△AED≌∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=2AE．故④正确；故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则

【答案】3【分析】由角平分线性质定理，得DE=DC，所以Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，于是AC=AE【详解】解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC．∴Rt∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，AD=BD=6．∴AC=AE．∵S△ABD∴2AE⋅DE=6×AC．∴DE=3．故答案为：3．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的判定；运用面积公式寻求线段间的关系是解题的关键．【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°

【答案】72°【分析】由线段垂直平分线的性质可得∠OBC=∠OCB，由角平分线的定义可得∠ACF=∠OCB，再利用三角形的内角和定理可求得∠ACF的度数，进而可求解．【详解】解：∵OE垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠OCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠ABO+3∠ACF=180°，∵∠A=52°，∠ABO=20°，∴∠ACF=36°，∴∠ACB=2∠ACF=72°．故答案为：72°．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解∠ACF的度数是解题的关键．【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为【答案】2【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≅△BDN，可得BM=BN，由“HL”可证Rt△ADM≅【详解】解：连接AD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，在△BDM和△BDN中，∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBC∴△BDM≅△BDNAAS∴BM=BN，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，在Rt△ADM和RtAD=CDDM=DN∴Rt△ADM≅∴AM=CN，∵AB=3，∴BC-AB=BN+CN-BM-AM∴AM=2，故答案为2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．【题型6勾股数、勾股树】【例6】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（

）A．m2-1 B．2m+2 C．m2【答案】C【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2解得a=m∴弦是a+2=m故选：C．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．【变式6-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．【答案】4．【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．【详解】解：第①个正方形的面积为16，由分析可知：第②个正方形的面积为8，第③个正方形的面积为4，故答案为：4．【点睛】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．【变式6-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=523，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．(1)当a=11时，求b，c的值(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【答案】(1)b=60，c=61(2)10，24，26是勾股数，见解析【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到c=b+1，再利用勾股定理进行求解即可；（2）利用勾股数的定义进行判断即可．【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得c=b+1，∴a2把a=11代入a2解得b=60（负值已舍掉），∴c=60+1=61；（2）10，24，26是勾股数．∵102又∵10，24，26都是正整数根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数．【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．【变式6-3】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：（1）S1=（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn【答案】1+381+3【分析】根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．【详解】解：（1）∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1，又∵直角三角形一个角为30°，∴三角形的一条直角边为12，另一条直角边就是1∴三角形的面积为12∴S1=1+3（2）∵第二个正方形的边长为32，它的面积就是34，也就是第一个正方形面积的同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的34∴S2=（1+38）•依此类推，S3=（1+38）•34即S3=（1+38）•Sn=1+38⋅故答案为：（1）1+38；（2）1+3【点睛】本题考查勾股定理的运用，正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．能够发现每一次得到的新的正方形和直角三角形的面积与原正方形和直角三角形的面积之间的关系是解题的关键．【题型7尺规作图与证明、计算的综合运用】【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与BC的交点即为P点；（2）根据AP=BP求出△CAP的周长等于AC+BC即可得解．【详解】（1）解：如图，点P即为所求；

（2）解：连接AP，由（1）知AP=BP，∴△CAP的周长为：AC+CP+AP=AC+CP+BP=AC+BC=2+5=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD．(1)请用直尺和圆规完成基本作图：作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠1=________．∵EF为AD的垂直平分线，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=________．∴AE=________，∴AE=DF．【答案】(1)见解析(2)∠2，∠AFE，AF【分析】（1）利用基本作图作AD的垂直平分线得到EF；（2）先根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，再根据线段垂直平分线的性质得到AF=DF，进而可得∠AEF=∠AFE，根据等角对等边得到AE=AF，等量代换即可解题．【详解】（1）解：直线EF，如图所示：（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠1=∠2．∵EF为AD的垂直平分线，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF．又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．∴AE=DF．故答案为：∠2，∠AFE，AF【点睛】本题考查垂直平分线的作图和性质，等角对等边，掌握基本作图和垂直平分线的性质是解题的关键．【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．

(1)求证：DB=DE；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)作图见解析，CF=1【分析】（1）证明∠DBC=∠E=30°，利用等角对等边即可得出结论．（2）过点D作DF⊥BE于F即可，再根据等边三角形性质得出AC=AB=4，∠ACB=60°，再由BD是中线得CD=12AC=2，在Rt△DFC中，由【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是中线，∴∠DBC=1∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠E=1∴∠DBC=∠E，∴DB=DE．（2）解：如图所示．

由作图可知：DF⊥BE，，由（1）知，DB=DE∴DF垂直平分BE．即点F是BE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∠ACB=60°，∵BD是中线，∴CD=1∴在Rt△DFC中，∠CDF=90°-∠DCB=90°-60°=30°∴CF=1【点睛】本题考查等边三角形的性质，尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质是解题的关键．【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．作法如下：①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；ii作图依据为______________（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠【答案】（1）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上；（2）见解析【分析】（1）按照要求直接作图，根据垂直平分线的性质可得答案；（2）按照角平分线的作法作出图形，并用全等三角形的判定定理进行证明．【详解】（1）如图所示，连接AC,AD,CE,CD,由作法得：AC=CE=AD=DE，∴A，E在CD的垂直平分线上，∴AE⊥CD∴作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上．（2）作法：①在OA、OB上，利用刻度尺截取②利用三角板的直角作CD⊥OB,DF⊥OA交于点P，③作射线OP，则OP为∠AOB证明：∵CD⊥OB,DF⊥OA∴∠在Rt△OCP和RtOP=OPOC=OD∴Rt∴∠即OP为∠AOB【点睛】本题考查基本作图——垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线和角平分线的性质．【题型8由勾股定理证明线段之间的关系】【例8】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知△ABC是等边三角形．

(1)如图1，△BDE也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：AD=CE(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请证明结论DA(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=52【答案】(1)见解析(2)见解析(3)75°【分析】（1）连接AD．根据SAS证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（2）以BD为边向下作等边△BDE，连接EC．证明△ABD≌△CBE(SAS)，推出AD=CE，再证明（3）以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H．同法可证：△ABD≌△CBE(SAS)，可得AD=CE=13，设EH=x，DH=y，利用勾股定理构建方程组，求出x，【详解】（1）解：证明：如图1中，连接AD．

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS∴AD=CE．（2）如图2中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC．

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS∴AD=CE，∵∠CDB=30°，∠BDE=60°，∴∠CDE=90°，∴CE∵DB=DE，DA=EC，∴DA（3）如图3中，以BD为边向下作等边△BDE，连接EC，作EH⊥CD交CD的延长线于H．

同法可证：△ABD≌△CBE(SAS∴AD=CE=13，设EH=x，DH=y，则有x2解得x=5y=5∴DH=HE=5，∵∠H=90°，∴∠EDH=45°，∴∠CDE=135°，∵∠BDE=60°，∴∠BDC=135°-60°=75°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【变式8-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A4,0，点B在y轴上，且B

(1)求线段AB的长；(2)若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值；(3)在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：A【答案】(1)4(2)4(3)见解析【分析】（1）根据AB=O（2）先证明△BOE≌△AOF得AF=BE，所以（3）结论：FM2=AM2+AF【详解】（1）在Rt△ABO∵AO=OB=4，∴AB=A（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，∴∠BOE=∠AOF，在△BOE和△AOF中，OB=OA∠BOE=∠AOF∴△BOE≌∴AF=BE，∴AE+AF=AE+EB=AB=42（3）结论：FM连接FM．∵OE=OF，

∴OM垂直平分EF，∴ME=MF，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，由（1）可知△BOE≌∴BE=AF，∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，∴FM∴EM【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．【变式8-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．容易证明△ACD≌△BCE，则：①∠AEB的度数为______；②直接写出AE、BE、CM之间的数量关系．(3)如图3，△ABC中，若∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE【答案】(1)见解析(2)①90°；②AE=BE+2CM(3)见解析【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可得到结论成立；（2）①由等腰直角三角形的性质，得∠CDE=∠CED=45°，则∠ADC=135°，由全等三角形的性质，∠BEC=135°，即可求出∠AEB的度数；②由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得到AD=BE，CM=DM=EM，即可得到AE=BE+2CM；（3）延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，再根据勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAEAAS∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AE+AD=BD+CE；（2）解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-45°=135°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为：90°；②AE=BE+2CM，理由如下：∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM=DM=EM，∵AD=BE，∴AE=AD+DM+EM=BE+2CM；（3）证明：如图，延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDGED=DG∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDGSAS∴BE=CG，∠B=∠GCD，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，Rt△CFG中，C∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∴BE【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键．【变式8-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c满足a=a-b

(1)若c=3，求AB=__________________；(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求证：PA(3)如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且∠EMF=90°，设AE=m，BF=n，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．【答案】(1)AB=3(2)证明见解析；(3)EF=【分析】（1）根据二次根式的非负性可求得a=b=c=3，再结合勾股定理可求得AB的值；（2）连接BC，证明△PBC≌△DBASAS，再由全等三角形的性质及勾股定理即可证明；（3）分情况讨论，当点E在线段OA上时，当点E在线段OA【详解】（1）解：∵a、b满足a=a-b∴a-b≥0且b-a≥0，∴a=b=c=3，即AO=3，BO=3，AB=A（2）证明：连接BC，由（1）可得OA=OB=OC，∵两个坐标轴垂直，∴∠OAB=∠ABO=∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=BC,∠ABC=90°，又∵△PDB为等腰直角三角形，∴BP=BD,∠DBP=90°，∴∠ABD=∠DBP+∠ABP=∠ABC+∠ABP=∠BPC，在△PBC和△DBA中，BD=BP∠ABD=∠BPCAB=BC∴△PBC≌△DBASAS∴AD=PC．∠DPB=∠BDA，∠PCD=∠BAC，∵∠DBP=90°，∴∠BPC+∠BCP=90°，∴∠BAC+∠BAD=90°，即∠DAP=90°，∴PA2+A（3）当点E在线段OA上时，连接OM，如图所示：∵OA=OB，∠AOB=90°，点M为AB的中点，∴AM=OM=BM，OM⊥AB，∠MAE=∠MOF=45°，∵∠EMF=∠AMO=90°，∴∠AME=∠OMF，∴△AME≌△OMF，∴AE=OF=m，∵OA=OB，∴OE=BF=n，根据勾股定理得：EF=O当点E在线段OA延长线上时，连接OM，如图所示：同理可得：△AME≌△OMF，∴AE=OF=m，∵OA=OB，∴OE=BF=n，根据勾股定理得：EF=O综上分析可知，EF=m【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的非负性等．（1）中能根据二次根式的非负性得出a=b=c是解题关键；（2）中正确构造辅助线，作出全等三角形是解题关键；（3）能借助全等三角形和线段的和差正确表示线段的长度是解题关键．【题型9由勾股定理求最值】【例9】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知∠MON=60∘，点P,Q为∠MON内的两个动点，且∠POQ=30∘，OP=3，OQ=4，点A,B分别是OM,ON上的动点，则

A．5 B．7 C．8 D．10【答案】A【分析】作点P关于直线OM的对称点P'，连接OP'，作点Q关于直线ON的对称点Q'，连接OQ'，连接P'Q'，可知PA+AB+BQ=P'A+AB+BQ'，当P'，A【详解】如图所示，作点P关于直线OM的对称点P'，连接OP'，作点Q关于直线ON的对称点Q'，连接

根据轴对称图形的性质可知PA=P'A∴PA+AB+BQ=P根据题意可知，当P'，A，B，Q'在同一条直线上时，P'A+AB+BQ'可以取得最小值，最小值等于根据轴对称图形的性质可知∠POA=∠P'OA∴∠P∴∠P根据轴对称图形的性质可知OP=OP'=3∴P'∴PA+AB+BQ的最小值等于5．故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质和勾股定理，根据题目要求构建轴对称图形是解题的关键．【变式9-1】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M为边DE的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M【答案】4+【分析】连接AM．由三线合一得AM=12DE=DM，利用勾股定理求出【详解】如图，连接AM．∵M为边DE的中点，且△ADE为等腰直角三角形，∴AM⊥DE，AM=1在Rt△ADE中，AD=2由勾股定理可知AD2=A当A，B，M三点不共线时，由三角形的三边关系可知，此时一定有BM<AB+AM；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有BM=AB+AM，∴BM≤AB+AM=4+2即点B到点M的距离的最大值为4+2【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形三条边的关系，确定当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时BM有最大值是解题的关键．【变式9-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，线段EF在边BC上左右滑动，若EF=1，则AE+DF的最小值为．

【答案】13【分析】如图，作A于BC对称点A',则AE=A'E，在AD上截取DH=1，然后连接HE，当H、E、【详解】解：如图，作A于BC对称点A'∴AE=A'E在AD上截取DH=1，然后连接HE，∵DH=EF=1,DH∴四边形EFDH是平行四边形，∴DF=HE,∴AE+DF=A∴当H、E、A'∵AD=AB=A∴AA∴AH=6-1=5，由勾股定理得:A'H=122+故答案为13．

【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理等知识点，根据题意确定AE+DF最小时E，F位置是解题关键．【变式9-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=22，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在点A1处，A1B与AC相交于点E【答案】16【分析】首先利用勾股定理求出AC，然后确定A1E取最大值时【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=2∴AC=A∵A1E=∴当BE最小时，A1∵当BE⊥AC时BE最小，又∵S△ABC=1∴BE的最小值为83∴A1E故答案为：163【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键．【题型10等边三角形的十字结合模型】【例10】（2023春·重庆渝中