第9章 中心对称图形-平行四边形（学生版）VIP

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练第9章中心对称图形—平行四边形（思维导图+知识梳理+九大重点考向举一反三讲练）1.掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角.2.理解中心对称图形的定义和性质.3.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.4.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.5.掌握三角形中位线定理.知识点01：确定事件与随机事件【高频考点精讲】1.不可能事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2.必然事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.3.随机事件在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.【易错点剖析】知识点01：旋转的概念和性质【高频考点精讲】将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点02：中心对称与中心对称图形【高频考点精讲】一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．知识点03：平行四边形【高频考点精讲】1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.【易错点剖析】平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点04：矩形【高频考点精讲】1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.知识要点：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点05：菱形【高频考点精讲】1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点06：正方形【高频考点精讲】1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.重点考向01：旋转的性质重点考向02：作图-旋转变换重点考向03：中心对称重点考向04：中心对称图形重点考向05：平行四边形的判定与性质重点考向06：矩形的判定与性质重点考向07：菱形的判定与性质重点考向08：正方形的判定与性质重点考向09：三角形中位线定理重点考向01：旋转的性质【典例精讲】（2023秋•霸州市期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C，点A的对应点A'恰好落在AB边上，若∠CAB＝65°，则旋转角α的度数是（）A．65° B．60° C．50° D．45°【变式训练1-1】（2023秋•保定期末）（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，线段BE和CD之间的数量关系为．（2）如图2，AO⊥MN，垂足为O，AO＝6，B为直线MN上一动点，以AB为边向右作等边△ABC，则线段OC的最小值为．【变式训练1-2】（2024•沙坪坝区校级开学）如图，在△ABC中，∠CAB＝100°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，点C的对应点为C′，点C′恰好在BC边上，且∠C′AB＝3∠ABC′，则∠ABB'角度为．【变式训练1-3】（2023秋•湖北月考）如图，在△ABC，BA＝BC，∠ABC＝50°，将△ABC点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC度数．重点考向02：作图-旋转变换【典例精讲】（2024•柳州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，请写出点A1、B1的坐标．（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【变式训练2-1】（2023秋•宁江区期末）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．（1）画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；（2）再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1．【变式训练2-2】（2023春•定陶区期末）如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD’的位置，如果AD＝3，那么DD’的长是．【变式训练2-3】（2021春•安国市期末）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，完成下列问题：（1）△B4A5B5的顶点A5的坐标是；（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是．重点考向03：中心对称【典例精讲】（2023春•市南区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A′B′C′ C．CC′＝BB′ D．BC∥B′C′【变式训练3-1】（2023秋•长岭县期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为．【变式训练3-2】（2023春•丰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D旋转180°，将△CEF绕点E旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长的最小值是．【变式训练3-3】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）求△A1B1C1的面积？重点考向04：中心对称图形【典例精讲】（2023春•新田县期末）习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【变式训练4-1】（2022秋•莱州市期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有个；（不包括△ABC本身）【变式训练4-2】（2021春•汝阳县期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是．【变式训练4-3】（2023春•遵化市期中）如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中的点P．（1）写出下一步“马”可能到达的点的坐标为（写出所有可能的点的坐标）；（2）顺次连接（1）中的所有点，得到的图形是图形（填“中心对称”、“旋转对称”或“轴对称”）；（3）将（2）中得到的图形的各顶点的坐标都乘以1.5，请在平面直角坐标系中画出变化后的图形，并与原图形比较，形状和大小有怎样的变化？重点考向05：平行四边形的判定与性质【典例精讲】（2023•新华区校级二模）如图▱ABCD中，要在对角线BD上找两点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，甲：只需要满足BF＝DE乙：只需要满足AE＝CF丙：只需要满足AE∥CF则正确的方案是（）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是【变式训练5-1】（2023春•宽甸县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中正确的是．【变式训练5-2】（2023秋•广饶县期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上．（1）当BE，DF满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由；（2）当∠AEB与∠CFD满足什么条件时，四边形AECF是平行四边形？请说明理由．重点考向06：矩形的判定与性质【典例精讲】（2024•市南区校级开学）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C． D．【变式训练6-1】（2023春•随县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．【变式训练6-2】2023•泽州县一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是．（填写一个即可）【变式训练6-3】（2023春•朝天区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．（1）求证：四边形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长．重点考向07：菱形的判定与性质【典例精讲】（2023秋•崂山区期中）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形BFDE是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对【变式训练7-1】（2023春•黄梅县月考）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE．则下列结论：①；②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF＝S△ABF．其中正确的有．【变式训练7-2】（2023春•秦淮区期中）邻边长分别为1，a（a＞1）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值重点考向08：正方形的判定与性质【典例精讲】（2023春•仙桃月考）如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的是（填序号）．【变式训练8-1】（2023春•汕头校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4【变式训练8-2】（2023春•郧阳区期末）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形．正确的是.（填序号）【变式训练8-3】（2023春•雄县期中）如图，在正方形ABCD和▱ECGF中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段AF的中点，连接DP，连接EP并延长，交AD于点Q．请证明：（1）四边形ECGF是矩形．（2）当∠DPE＝90°时，四边形ECGF是正方形．重点考向09：三角形中位线定理【典例精讲】（2023秋