专题09 全等三角形（讲义）（原卷版）

专题09全等三角形核心知识点精讲1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2.条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【题型1：全等三角形】【典例1】在中，是的中点．(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．1．如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为．

2．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝°．3．如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是．【题型2：灵活运用定理】【典例2】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是．1．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，（1）厘米，厘米.（用含t的代数式表示）（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为.2．如图，已知．若，则．3．如图，两个全等的直角三角板重叠在一起，将其中的一个三角板沿着方向平移到的位置，与交于点O．若，则四边形的面积为．

4．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为．.5．如图，是的中线，，，则的取值范围是．【题型3：全等三角形综合运用】【典例3】如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则．1．在四边形ABCD中，，，，将线段CD以点D为中心逆时针旋转至，连接AE，CE，的面积为6，则BC的长为．2．如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则．3．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝．4．如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有．并写出3对全等三角形．

1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°2．如图，和关于直线l对称，连接，在直线l上任取一点O，连接，，下列结论中，不一定正确的是（

）

A． B．C．l垂直平分 D．3．如图，，，则的对应边是（

）A． B． C． D．4．如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．1．如图，，，与交于点，于，于，那么图中全等三角形有（

）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对2．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（

）个A．0 B．1 C．2 D．33．作一个三角形与已知三角形全等：已知：．求作：，使得．作法：如图．（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（

）A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS二、填空题4．如图绕点逆时针旋转得到，点在上．延长，交于．则．5．如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有(填序号)6．如图所示，等腰直角三角形中，，，为的中点，．则四边形的面积为．7．问题背景：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，求的最大值．解决方法：以为边作等边，连接，推出，当点在的延长线上时，线段取得最大值．问题解决：如图，点为线段外一动点，且，若，，连接，当取得最大值时，的度数为．8．如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则度．9．如图，中，，，，在上截取，使，过点作的垂线，交于点，连接，交于点，交于点，，则.10．如图，已知在中，于点，为上一点，且，，若，，则.

11．如图中，，D、E为BC上两点，且．将绕A顺时针旋转90°得到，连接EF，下列结论：①AE平分②③④，正确的有（序号）．三、解答题12．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．

证明：∵（已知），∴，．∵D为边中点，∴．在与中，∵，∴（）∴（）

（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是．（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．

13．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q使得；②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明；(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证