专题09 解答压轴题：二次函数（原卷版）

专题09解答压轴题：二次函数1．（2023•上海）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线经过点，点不与点重合．（1）求点，的坐标；（2）求，的值；（3）平移抛物线至，点，分别平移至点，，联结，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式．2．（2022•上海）在平面直角坐标系中，抛物线过点，．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为，．ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围；ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标．3．（2021•上海）已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形．①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；②若在抛物线上，求的坐标．4．（2020•上海）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点．（1）求线段的长；（2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．5．（2019•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线的“不动点”的坐标；②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．6．（2023•徐汇区二模）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点、．（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；（3）点在抛物线的对称轴上，点是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式．7．（2023•杨浦区二模）已知抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点、分别平移到点、处，且都在直线上，设点在抛物线上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，设点为线段上的一点，，交直线于点，求的值．8．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴相交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴，垂足为点，直线与直线相交于点．①当时，求点的坐标；②联结，过点作直线的平行线，交轴于点，当时，求点的坐标．9．（2023•浦东新区二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．（1）求抛物线的表达式；（2）如果抛物线的对称轴与直线交于点，求的值；（3）平移这条抛物线，平移后的抛物线交轴于点，顶点在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式．10．（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点．如果，求点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结，试问点关于直线对称的点是否恰好落在直线上？请说明理由．11．（2023•黄浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与轴的另一个交点为，点是的外接圆的圆心，求点坐标；（3）点坐标是，点、在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长．12．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点．（1）如果点的坐标为，点在抛物线上，联结．①求顶点和点的坐标；②过抛物线上点作轴，垂足为，交线段于点，如果，求点的坐标；（2）联结，如果与轴负半轴的夹角等于与的和，求的值．13．（2023•嘉定区二模）如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，抛物线经过、、三点．（1）求点、的坐标；（2）联结、、，当时，①求抛物线表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．14．（2023•普陀区一模）在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为．（1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标；（3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离．15．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于轴上方的部分沿轴翻折，得到的新图象记为“图象”，“图象”与轴交于点．（1）写出“图象”对应的函数解析式及定义域；（2）求的正切值；（3）点在轴正半轴上，过点作轴的平行线，交直线于点，交“图象”于点，如果与相似，求点的坐标．16．（2023•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点，联结，点在线段上，设点的横坐标为．（1）求直线的表达式；（2）如果以为顶点的新抛物线经过原点，且与轴的另一个交点为；①求新抛物线的表达式（用含的式子表示），并写出的取值范围；②过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．17．（2023•崇明区二模）如图．在直角坐标平面中，直线分别与轴、轴交于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）抛物线与轴的另一个交点为，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移个单位，使点落在内，求的取值范围；（3）对称轴与直线交于点，是线段上的一个动点不与重合），过作轴的平行线交原抛物线于点，当时，求点的坐标．18．（2023•长宁区一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•杨浦区三模）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点．（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，如果，求点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点在轴上，且点到直线、的距离相等，求线段的长．20．（2023•金山区一模）已知抛物线经过点，，顶点为点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式以及顶点的坐标；（2）将抛物线向上平移个单位后，点的对应点为点，若此时，求的值；（3）设点在抛物线上，且点在直线上方，当时，求点的坐标．21．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点和点．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为．①如果，且新抛物线的顶点在的内部，求的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且，求点的坐标．22．（2023•虹口区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，异于顶点的点在该抛物线上．（1）如图，点的坐标为．①求点的坐标和的值；②将抛物线向上平移后的新抛物线与轴的一个交点为，顶点移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式；（2）直线与轴相交于点，如果且点在线段上，求的值．23．（2023•松江区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）若抛物线经过点，求抛物线解析式；（2）将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线交于点，点位于轴上方，如果，求的值．24．（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点与点都是抛物线上的点．①求的值；②如果，求点的坐标．25．（2023•长宁区二模）已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点的坐标；（3）如图2，点坐标为，在抛物线上存在点，满足，请直接写出直线的表达式．26．（2023•宝山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）求二次函数的解析式和顶点的坐标；（2）联结，试判断与是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，联结，如果四边形的面积为3，求新抛物线的表达式．27．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结．①如果，求四边形的面积；②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标．28．（2023•金山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标；（3）点在直线上，若，求点的坐标．29．（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标；（2）联结、、，求的面积；（3）过作轴的垂线与交于点，是直线上点，当与相似时，求点的坐标．30．（2023•普陀区二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点．抛物线的顶点为点．（1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标；（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于．①求点的坐标；②二次函数的图象始终有一．部分落在的内部，求实数的取值范围．31．（2023•青浦区二模）如图，已知抛物线经过点和，与轴的另一个交点为点．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）将该抛物线向右平移个单位，点移到点，点移到点，若，求的值；（3）在（2）的条件下，设新抛物线的顶点为，新抛物线在对称轴右侧的部分与轴交于点，求点到直线的距离．32．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）联结AC、BC，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果△ABD的面积与△ABC的面积相等，求点D的坐标；（3）设点P（m，4）（m＞0），点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当∠APE＝90°，且＝时，求点E的坐标．33．（2023•静安区校级一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），交轴于点，联结，的余切值为，，点在抛物线上，且．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点和点，新抛物线的对称轴与轴交于点．①求新抛物线的对称轴；②点在新抛物线对称