专题07 简单几何证明题(三角形全等、特殊四边形判定、与相似有关的证明)（解析版）

专题07简单几何证明题(三角形全等、特殊四边形判定及性质、与相似有关的证明)类型一三角形全等1．（2023·江西·统考中考真题）（1）如图，，平分．求证：．

【答案】（1）见解析【分析】（1）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．【详解】解：（1）∵平分，∴，在和中，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．【详解】证明：是的中点，，在和中，，【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴即在与中，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．5．（2023·福建·统考中考真题）如图，．求证：．【答案】见解析【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：，即．在和中，．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．6.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，

AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS)7．（2023·全国·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

【答案】证明见解析【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在和中，∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．【答案】见解析【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．【详解】（方法一）∵AC//DB，∴∠A=∠B，∠C=∠D．在△AOC与△BOD中∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．（方法二）∵AC//DB，∴∠A=∠B．在△AOC与△BOD中，∵，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．9.(2022·江苏省南通市)如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．

(1)求证：∠A=∠C；

(2)求证：AB//CD．【答案】证明：(1)在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD,

∴△AOB≌△COD(SAS)，

∴∠A=∠C；

(2)由(1)得∠A=∠C10．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；(2)若，时，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：过点E作于F，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∴，，∴．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．11.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，

∴∠B=∠D=∠ACE=90°，

∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，

∴∠BCA=∠DEC，

在△ABC和△CDE中，

∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，

∴△ABC≌△CDE(AAS)12.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE，

在Rt△OPD和Rt△OPE中，

OP=OPPD=PE，

∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．13.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB/​/DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，

∴∠A=∠EDF．

在△ABC和△DEF中，

∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，

∴△ABC≌△DEF(AAS)．

∴AC=DF，

∴AC-DC=DF-DC，

即：AD=CF．14.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE/​/AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，

∴∠EDC=∠B，

在△CDE和△ABC中，

∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，

∴△CDE≌△ABC(ASA)，

∴DE=BC．15.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠B=∠CBD=CE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD=AE．16.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD/​/BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，

∴AB=BC，

∵AD/​/BE，

∴∠A=∠EBC，

∵BD/​/CE，

∴∠C=∠DBA，

在△ABD与△BCE中，

∠A=∠EBCAB=BC∠DBA=∠C，

∴△ABD≌△BCE.(ASA)17.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证：．【答案】见解析【分析】根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：点A，B，C，D，E在一条直线上∵∴在与中∴【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．18.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知，，与相交于点，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵，∴（AAS），∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．19.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE和△ACD中，∵,△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．20.（2021·云南中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：．【答案】见解析【分析】直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明．【详解】解：在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），∴∠DAC=∠CBD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法．21.（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．【分析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，∴△ABC≌△AED（AAS），∴AE＝AB，AC＝AD，∴CE＝BD．22.（2020•南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．23.（2020•铜仁市）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA）．24.（2020•台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．25.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40类型二特殊四边形判定及性质26．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．

(1)证明：；(2)连接、，证明：四边形是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据是的中点，可得，即可证明；（2）根据可得，进而可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．【详解】（1）证明：如图所示，

∵四边形是矩形，∴，∴，∵是的中点，∴，在与中，∴；（2）∵∴，又∵∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．27．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；（2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：∵，∴四边形是平行四边形，又∵矩形中，，∴平行四边形是菱形；（2）解：矩形的面积为，∴的面积为，∴菱形的面积为．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．28.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．

(1)求证：∠ACB=∠DFE；

(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，

∴AF+CF=CD+CF，

即AC=DF，

在△ABC和△DEF中，

AB=DEBC=EFAC=DF，

∴△ABC≌△DEF(SSS)，

∴∠ACB=∠DFE(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：

由(1)可知，∠ACB=∠DFE，

∴BC/​/EF，

又∵BC=EF，

∴四边形BFEC是平行四边形．

29．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．

(1)是直角三角形吗？请说明理由；(2)求证：四边形是菱形．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析．(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴是直角三角形．（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．30．（2023·新疆·统考中考真题）如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．

(1)求证：；(2)当时，求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证；（2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形．【详解】（1）证明：在与中，∴，∴，又∵、分别是、的中点，∴；（2）∵，∴四边形是平行四边形，，∵为的中点，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．31.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

(1)求证：△ABE≌△ADF；

(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB=∠AFD，

在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD∠B=∠DAB=AD，

∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x，

∵AB=CD=x，CF=2，

∴DF=x-2，

∵△ABE≌△ADF，

∴BE=DF=x-2，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，

AE2+BE2=AB2，

即42+(x-2)32．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，的面积等于，求平行线与间的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；（2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵分别是的平分线，∴，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：连接，

∵，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，，∴，即，∴，∵，∴，∵的面积等于，∴，∴平行线与间的距离．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．33．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．【详解】（1）证明：菱形，，又，．在和中，，．．（2）解：菱形，，，．又，．由（1）知，．．，等边三角形．．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．34.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．

(1)求EF的长；

(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，

∴∠ECA=∠EAC，

根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴DA//CB，

∴∠ECA=∠CAD，

∴∠EAC=∠CAD，

∴∠DAF=∠BAE，

∵∠BAD=90°，

∴∠EAF=90°，

设CE=AE=x，则BE=4-x，

在△BAE中，根据勾股定理可得：

BA2+BE2=AE2，

即：(22)2+(4-x)2= x2，

解得：x=3，

在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．

(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，

设CG=x，则GB=3-x35．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．

(1)求证：；(2)若时，求证：四边形是菱形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；（2）方法一：利用全等三角形的判定和性质得出，又，再由菱形的判定证明即可；方法二：利用（1）中结论得出，结合菱形的判定证明即可．【详解】（1）证明：∵，∴，即在和中，，∴∴，∴（2）方法一：在和中，，∴∴，又，∴四边形是平行四边形∵，∴是菱形；方法二：∵，∴∴，又，∴四边形是平行四边形∵，∴是菱形．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．36.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．

(1)求证：△CEF≌△ADF；

(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，BC=AD，

根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，

∴∠E=∠D=90°，AD=CE，

在△CEF与△ADF中，

∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，

∴△CEF≌△ADF(AAS)；

(2)解：设DF=a，则CF=8-a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB//CD，AD=BC=x，

∴∠DCA=∠BAC，

根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，

∴∠DCA=∠EAC，

∴AF=CF=8-a，

在Rt△ADF中，

∵AD2+DF2=AF2，

37．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形是平行四边形．

(1)尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；(2)若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；（2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）∵四边形是平行四边形，∴，∴，如图：设与交于点，

∵是的垂直平分线，∴，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为菱形．【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．38.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．

(1)求证：△AOE≌△DFE；

(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵DF//AC，

∴∠OAD=∠ADF，

∵∠AEO=∠DEF，

∴△AOE≌△DFE(ASA)．

(2)解：四边形AODF为矩形．

理由：∵△AOE≌△DFE，

∴AO=DF，

∵DF//AC，

∴四边形AODF为平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

即∠AOD=90°，

∴平行四边形AODF为矩形．

39.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，且AD=BC，

∴AF//EC，

∵BE=DF，

∴AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形；

(2)如图所示：

∵四边形AECF是菱形，

∴AE=EC，

∴∠1=∠2，

∵∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠1，

∴∠3=∠4，

∴AE=BE，

∴BE=AE=CE=12BC=540.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．

(1)求证：四边形ABDF是矩形；

(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BA//CD，

∴∠BAE=∠FDE，

∵点E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△BEA和△FED中，

∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，

∴△BEA≌△FED(ASA)，

∴EF=EB，

又∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵∠BDF=90°．

∴四边形ABDF是矩形；

(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，

∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，

∴AF=AD2-DF2=52-32=4，

∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

41．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)连接，若，求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵点E为的中点，∴，在和中，，∴；∴，∵，∴；（2）证明：，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．42.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，

∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，

∵AE=CF，

∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，

∴DE=BE=BF=DF，43.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．

(1)求证：AD=CF；

(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，

∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，

∵点E是AC的中点，

∴AE=CE，

∴△ADE≌△CFE(AAS)，

∴AD=CF；

(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：

由(1)知，AD=CF，

∵AD//CF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形，

∵点D是AB的中点，

∴CD=12AB=AD，

∴四边形44.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；

(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF．

∴OE=OF，

∴四边形EBFD是平行四边形；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC，

∴∠BAC=∠DCA，

∵∠BAC=∠DAC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴DA=DC，

∵OA=OC，

∴DB⊥EF，

∴平行四边形EBFD是菱形．

45.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．

(1)求证：△ODE≌△FCE；

(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，

∴CE=DE，

又∵CF//BD

∴∠ODE=∠FCE，

在△ODE和△FCE中，

∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，

∴△ODE≌△FCE(ASA)；

(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：

∵△ODE≌△FCE，

∴OE=FE，

又∵CE=DE，

∴四边形ODFC为平行四边形，

又∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

即∠DOC=90°，

∴四边形ODFC46.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．

(1)求证：AC⊥BD；

(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，

∴▱ABCD是菱形，

∴AC⊥BD；

(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，

∴EF是△AOD的中位线，

∴OD=2EF=3，

由(1)可知，四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，

在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=47.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在中，的角平分线交于点D，．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，且，求四边形的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，∴AF=DF=DE=AE==2，∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．48.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．49.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．50.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFB∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．类型三与相似有关的证明51．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．52．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．(2)求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．53．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答；（2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】（1）证明