3.4 实数的运算（5大题型）（分层练习）（解析版）

3.4实数的运算（5大题型）分层练习题型目录考查题型一实数的混合运算考查题型二程序设计与实数计算考查题型三新定义下的实数运算考查题型四实数运算的实际应用考查题型五与实数运算相关的规律题考查题型一实数的混合运算1．（2023春·福建厦门·七年级校考期中）计算下列各题：(1)(2)【答案】(1)10(2)【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义以及乘法法则计算即可求出值；（2）利用平方根、立方根定义计算即可求出结果．【详解】（1）解：原式===10；（2）解：原式===．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再进行加减法即可；（2）先计算立方根、绝对值，再进行加减法即可．【详解】（1）解：；（2）【点睛】此题考查实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．3．（2023春·江西宜春·七年级校考阶段练习）计算或求式子中的的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)的值为或【分析】（1）根据含有乘方的有理数，二次根式的加减运算法则即可求解；（2）运用求一个数的平方数的方法求解即可求解．【详解】（1）解：．（2）解：等式两边同时除以得，，∵，∴当时，；当时，；∴的值为或．【点睛】本题主要考查含有乘方的实数的混合运算，求一个数的平方的运算方法的综合，掌握以上知识的运用及计算方法是解题的关键．4．（2023春·福建福州·七年级统考期末）计算：【答案】【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义、绝对值的性质先分别进行化简，然后再按顺序进行计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根和立方根的定义，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．5．（2023春·云南昆明·七年级校考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据算术平方根，立方根，进行化简，即可求解；（2）根据有理数的立方，化简绝对值，求一个数的立方根，进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．考查题型二程序设计与实数计算1．（2023春·河南濮阳·八年级校考阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（

）

A．0 B． C． D．以上都不对【答案】C【分析】根据程序运算列出算式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，程序运算，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据无理数的估算方法，得出．2．（2023·浙江·七年级假期作业）有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出的值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据输入的值为64按照流程逐一计算、判断可得．【详解】解：当输入的值为64时，，是有理数，，是有理数，是无理数，输出，即，故选：C．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根及实数的定义，看懂流程图且熟练计算算术平方根、立方根是解题的关键．3．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是．

【答案】/3和/和3【分析】读懂程序计算过程，把代入程序中计算，判断结果是否是无理数，最后得到结果．【详解】由所示的程序可得：的算术平方根是，不是无理数．故取平方根为，输出．故答案为：．【点睛】本题考查了程序流程图与实数运算，平方根、算术平方根的计算，无理数的判断，读懂程序计算的过程是解题的关键．4．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，输出的数值为．【答案】5【分析】首先求出的算术平方根，然后用的算术平方根除以，求出商是多少，再用所得的商加上，求出输出的数值即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．5．（2023·全国·九年级专题练习）如图为一个数值转换器．(1)当输入的x值为4时，输出的y值为；当输入的x值为16时，输出的y值为；(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值；(3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？【答案】(1)；(2)输入的x值为9(3)他输入的x值为0或1【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解．（2）对平方两次即可出答案．（2）始终输不出y值，x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案．【详解】（1）解：依据题意得：当x=4时，，继续输入x=2，结果：；当x=16时，是有理数，继续输入x=4，是有理数，继续输入x=2，结果：；故答案为：；．（2）∵输出y的值为，∴第二次输入的数为，∴第一次输入的数为；∴输入的值为9．（3）∵x为非负数，∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值，∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值，∴x取值为1或0．【点睛】此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算．考查题型三新定义下的实数运算1．（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”如（，，即8，24均为“致真数”），在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（

）A．160 B．164 C．168 D．177【答案】C【分析】求出不超过50的正整数中，所有的“致真数”，然后再求和即可．【详解】解：不超过50的正整数中，所有的“致真数”有：，，，，，，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意求出不超过50的正整数中，所有的“致真数”．2．（2023春·江苏·七年级统考期中）若【x】表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如【】，【】，，则【】的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】估算出的小数部分和的整数部分，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴【】，∴【】．故选：A【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．则的结果为．【答案】【分析】先估算出的范围，再根据题意列出计算式解答即可．【详解】解：∵，∴，．故答案为：．【点睛】此题考查无理数的估算以及新定义的实数运算，关键是理解的意义．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么．【答案】3【分析】根据定义的新运输，将，代入化简即可得出答案．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．5．（2023春·云南昆明·七年级统考期末）两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：(1)根据共轭实数的定义我们可以判定：与不是共轭实数，与是共轭实数，请分别说明理由(2)请你设计并写出一对共轭实数与；(3)小明发现共轭实数与的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差．【答案】(1)理由见解析(2)与(3)16；【分析】（1）根据共轭实数的定义，一对共轭实数满足有理数部分相等，无理数部分互为相反数，依此判断即可．（2）先任意写出一个有理数与无理数的和，然后再写出这个有理数与这个无理数的差，则“和”与“差”构成一对共轭实数．（3）依据共轭实数的表达式进行和差运算即可．【详解】（1）根据共轭实数的定义：把形如和（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．∵与的无理数部分与并不构成相反数，∴与不是共轭实数．∵与的无理数部分与构成相反数，∴与是共轭实数．（2）根据“构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数．”，先任意写一个有理数与无理数的和，如：，则其差为，∴与是一对共轭实数．故答案为：与．（3）该对共轭实数的和为：；该对共轭实数的差为：．【点睛】本题考查了新定义的理解，涉及有理数、无理数的概念，解题的关键是正确理解共轭实数的特征．考查题型四实数运算的实际应用1．（2023·浙江·七年级假期作业）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定．【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，，，，，，故A、B、D错误，C正确，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长分别是，2，∴阴影部分的面积故选A．【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=．【答案】【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+，可得，解得:，故，故答案为：【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键.4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是．【答案】-1.【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，则，两正方形区域的边长分别是1和，则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.5．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.(1)A，B两正方形的边长各是多少？(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3(2)2.20【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可．【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9，∴正方形A和正方形B的边长各是；（2）解：由题意得：．【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键．考查题型五与实数运算相关的规律题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（）A．351 B．350 C．325 D．300【答案】C【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．【详解】①＝1；②＝3＝1+2；③＝6＝1+2+3；④＝10＝1+2+3+4；∴＝1+2+3+…+25＝325．故选：C．【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．2．（2023春·山东济宁·七年级校联考期中）将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列：（

）……若2的位置记为，的位置记为，则6这个数的位置记为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意知6=，发现处于第4排，第3个，故可写出其坐标．【详解】解：∵6=由图中排列的规律即每个数可以表示为，并且每一行有5个数，可知处于18个位置，即为第4排，第3个，∴6这个数的位置记为（4,3），故选B．【点睛】此题主要考查坐标的规律，解题的关键是根据题意找到所处的位置．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则.【答案】57【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），令求出a与b的值，即可求得的值．【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数），，，则．故答案为：57．【点睛】此题主要考查了数字类规律探索，找出题中的规律：（的正整数）是解本题的关键．4．（2023·浙江·七年级假期作业）观察等式：，，，按上述规律，若，则．【答案】【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解．【详解】解：∵，，，∴第个式子为，∴第个式子为∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？【答案】(1)最小值为64，最大值为124(2)11个【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得：的最小值64，的最大值124；（2）的最小值25，的最大值35，可能的值有11种．【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．1．（2023·陕西榆林·校考三模）计算：（

）A． B．8 C． D．2【答案】C【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：故选C．【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（

）．

A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答．【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2，∴，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及实数的混合运算等知识，得出是解答本题的关键．3．（2023春·重庆梁平·七年级统考期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据定义，计算求解判断．【详解】根据定义，得，故①正确；当x是整数时，；当x是正小数时，且整数为a，；当x是负小数时，且整数为a，；故②错误；若，则，解得，故③正确；当时，，，当时，；当时，；当时，；当时，；的值不可能为0，综上的值为，，故④错误；故正确的个数有2个，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过的最大整数．4．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（

）

A． B．2 C． D．【答案】C【分析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案．【详解】解：的立方根为：，则4的算术平方根为2，2是有理数，2的算术平方根为，是无理数，则输出的是，故选：C．【点睛】本题考查立方根、算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键．5．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）观察下列各式：①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用题中的等式可得规律为：＝，将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可．【详解】根据题意，第n个等式为＝∴＝＝故选择：C．【点睛】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．6．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）计算：．【答案】【分析】先计算算术平方根，乘方，立方根，绝对值，再利用加减法法则进行计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握数的开方运算和乘方运算，绝对值的定义．7．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）对于实数a，b，定义运算“*”如下：．若，则m的值为．【答案】或【分析】根据题意列出关于m的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得：∵，∴，∴，∴，解得：，．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了新定义运算，利用平方根解方程，解题的关键是根据题意得出m的方程．8．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）因为，所以，的整数部分为，小数部分为；设的小数部分为，的整数部分为，则．【答案】【分析】根据题意表示出，的值，再根据二次根式的乘法运算进而得出答案．【详解】∵，∴得小数部分为，∴的小数部分为，即∵，∴的整数部分为，即：，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小和二次根式的乘法运算，正确表示出，的值是解题的关键．9．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）已知，，，，，……（即当为大于1的偶数时，；当为大于1的奇数时，），按此规律，计算：，．【答案】【分析】根据代数式计算出各数，发现规律，即可得出答案．【详解】解：∵，，，，，∴，，，，，根据题意得出：，，，………可知，6个数是一个循环，，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查与实数相关的规律题，正确计算找出规律是解题的关键．10．（2023秋·全国·八年级专题练习）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行次操作后变为1．【答案】4【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；经过4次操作可以变为1；故答案为：4．【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．11．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）计算题：(1)；(2).【答案】(1)0(2)1【分析】（1）原式根据算术平方根、立方根的意义化简后即可计算出答案即可；（2）原式根据算术平方根、立方根的意义化简后即可计算出答案即可．【详解】（1）（2）【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答关键．12．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）（1）计算（2）求x的值：【答案】（1）；（2）或【分析】（1）先化简绝对值，再计算加减即可；（2）根据平方根解方程即可．【详解】解：（1）；（2）解：，，，或，或．【点睛】本题考查实数的混合运算，根据平方根解方程．掌握实数的混合运算法则和平方根的性质是解题关键．13．（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）计算：(1)．(2)．【答案】(1)9(2)【分析】根据算术平方根和立方根的概念、绝对值化简进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根的概念、绝对值化简，解题的关键是熟练掌握含有算术平方根、立方根和绝对值的化简．14．（2023春·湖北襄阳·七年级校联考期中）计算下列各题．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可；（2）先化简绝对值、计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可；（3）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题的关键．15．（2023春·湖北鄂州·七年级校联考期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．

(1)实数m的值是__________；(2)求的值；(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可直接求出m的值是；（2）将（1）所求m的值代入计算即可；（3）根据相反