高中数学必修5导学案

11t；abc

§1.1.1正弦定理从而----=-----=-----.

sinAsinBsinC

类似可推出，当△ABC是钝角三角形时，以上关系

i.掌握正弦定理的内容；式仍然成立.请你试试导.

2.掌握正弦定理的证明方法；

3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

心学习过程

一、课前准备新知：正弦定理

试验：固定△ABC的边在•个三角形中，各边和它所对角的的比

CB及乙B,帆4c绕着相等，即

顶点C转动.a_b_c

sinAsinBsinC

思考：ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎

样的数量关系？试试：

(1)在AA8c中，淀成立的等式是().

A.«sinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=/?sinAD.acosB=bcosA

(2)已知△48C中，a=4fb=8,Z4=30°,贝ij

显然，边48的长度随着其对角/C的大小的增大ZB等于.

而.能否用一个等式把这种关系精确地表

示出来？［理解定理］

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的

正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数

k使a=ZsinA,,c=ksinC；

二、新课导学

(2)等价于____________,

派学习探究sinAsinBsinC

探究1：在初中，我们已学cbac

----=----，----=-----.

过如何解直角三角形，下面sinCsinBsinAsinC

就首先来探讨直角三角形(3)正弦定理的基本作用为：

中，角与边的等式关系.如①已知三角形的任意两角及其•边可以求其他边，

图，在RtAABC中，设

BC=a,AC=b9AB=Cf

根据锐角三角函数中正弦函数的定义,②已知三角形的任意两边与其中一边的对甭可以

有q=sinA,—=sinB,XsinC=1=->求其他角的正弦值，

ccc

如sinA=—sinB；sinC=.

从而在直角三角形ABC中，，—b

sinAsinBsinC(4)一般地，已知三角形的某些边和角，求其它

的边和角的过程叫作解三角形.

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否

派典型例题

仍然成立？

例1.在AABC中，已知A=45",B=60,a=42cm,

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：解三角形.

当AA8C是锐角三角形时，设边A8上的高是

CD,根据任意角三角函数的定义，

有C£>=asinB=bsinA,贝

sinAsinB

同理可得，=，—，

sinCsinB

2013年下学期♦高二月日班级：姓名：第一章解三角形痣P

—=—=—=2/?,其中2R为外接圆直径.

sinAsinBsinC

变式：在A48C中，已知8=45°,C=60°,

〃=12cm,解一:角形.

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.在A48C中，若竺1=2,则&48。是（）.

cos8a

A.等腰二角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

2.已知△ABC中，A：8：C=I：1：4,

则a：方：c等于（）.

A.1：1：4B.1：1：2

例2.在A48C中，《Ml/^,A=45',a=2,bB,C.C.1：1：V3D.2：2：6

3.在△ABC中，若sinA>sin8,则A与8的大小

关系为（）.

A.A>BB.A<B

C.A>BD.4、8的大小关系不能确定

4.已知△ABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3,则

a.b.c=_________.

5.已知AA8C中，/A=60。，a=G，则

Q+b+c_

sinA+sin8+sinC

心课后作业

1.已知△ABC中，AB=6,N4=30°,ZB=120°,

变式：在AA8C中，目淑行,8=60°,c=l,aA,C-解此三角形.

三、总结提升

派学习小结

1.正弦定理：—

sinAsinBsinC2.已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=k:伙+1）:

2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义,2k（k网,求实数上的取值范围为.

还有②等积法，③外接圆法，④向量法.

3.应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角.

派知识拓展

2

§1.1.2余弦定理

［理解定理］

一©一一学习目标一(1)若C=90°,贝iJcosC=—,这时

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是

1.掌握余弦定理的两种表示形式；

余弦定理的特例.

2.证明余弦定理的向量方法：

(2)余弦定理及其推论的基本作用为：

3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求

心学习过程出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各和它所对角试试：

的—的一相等，即==•(1)ZVIBC中，。=34，c=2,8=150°,求匕.

复习2：在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30。,

解此三角形.

(2)"尤中，a=2,%=&,c=6+1，求A.

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

派典型例题

例1.在ZXABC中，已知°=豆，。=亚，8=45',

二、新课导学

求A,C和c.

派探究新知

问题：在A4BC中，AB、BC、CA的长分别为c、

同理可得:a2=b2+c2-26ccosA，

c1=a2+h2-2a/?cosC.

新知：余弦定理：三角形中任何一边的—等于其

他两边的的和减去这两边与它们的夹角的

的积的两倍.

变式：在△ABC中，若4B=6，AC=5,且cosC

Q

思考：这个式子中有几个量？=—,则BC=.

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个10

量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

2013年下学期♦高二月日班级：姓名：第一章解三角形痣P

若/+从=。2,则角C是直角；

若/+从<02,则角。是钝角；

若/+/>c2,则角C是锐角.

例2.在aABC中，已知三边长〃=3,b=4,卷学习评价

c=V37,求三角形的最大内角.

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.•般D.较差

派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知°=6，c=2,B=150°,则边b的长为

（）.

A.—B.V34C.—D.V22

22

2.已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角

为（）.

A.60B.75C.120D.150

3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的

取值范围是（）.

A.^5<x<V13B.y/13<x<5

C.2<x<y/5D.V5<x<5

4.在△ABC中，1而1=3,1AC1=2,而与急的

夹角为60°,则衣1=.

变式：在AABC中，若/=/+〃+儿，求角A.5.在△ABC中，已知三边a、b、c满足

b2+a2-c2^ab,则NC等于_______.

心课后作业

13

1.在△ABC中，已知4=7,b=8,cosC=—,求

14

最大角的余弦值.

三、总结提升2.在△48C中，A8=5,8C=7,AC=8,求而•胫

X学习小结的值.

1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同

规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的应用范围：

①已知三边，求三角；

②已知两边及它们的夹角，求第三边.

派知识拓展

在△ABC中，

4

思考：解的个数情况为何会发生变化？

§1.1正弦定理和余弦定理（练习）新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）.

a.一学习目标一

1.进一步熟悉正、余弦定理内容；

2.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解

三角形时，有两解或一解或无解等情形.

心学习过程试试：

1.用图示分析（A为直角时）解的情况?

一、课前准备

复习1：在解三角形时

已知三边求角，用定理；

已知两边和夹角，求第三边，用定理;

已知两角和一边，用定理.2.用图示分析（A为钝角时.）解的情况？

复习2：在AABC中，已知A=-,a=25&,b

6

=50五,解此三角形.

派典型例题

例1.在△48C中，已知a=80,6=100,4=45。,

试判断此三角形的解的情况.

二、新课导学

派学习探究

探究：在△A8C中，已知下列条件，解三角形.

①A——，a=25,b=50；

6

②A=-b=50亚;

693

③A=—,67=50,b=50y[2.

6

变式：在AABC中，若a=l,c=-,ZC=40°,

2

则符合题意的b的值有个.

2013年下学期♦高二月日班级:姓名:第一章解三角形

女

n月0"

.Kb,那么可以分下面三种情况来讨论:

z)若

(1

va>hsinA,则有两解;

z.若

(2

\)a=bsinA,则只有一解；

z)若

(3

xa<hsinA,则无解.

例2.在AABC中，A=60°,b=\,求

a+b+c

的值.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

sinA+sin8+sinC

A.很好B.较好C.一般D.较差

派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知°、匕为△ABC的边，A、B分别是a、b的

对角，且期4=2,则上心的值=（）.

sinB3b

2,已知在AABC中，sitvl：sinB:sinC=3：5：7,

那么这个三角形的最大角是（）.

A.135°B.90°C.120°D.150°

3.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三

角形形状为（）.

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.由增加长度决定

4.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5:6,则cosB

变式：在△ABC中，若Q=55,b=l6,且

-afesinC=22073,求角C.5.已知△ABC中，hcosC=ccosB,试判断△ABC

2的形状.

/课后作业

1.在AABC中，a=xcm,b-2cm,ZB=45°,

如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范

围.

三、总结提升

派学习小结

1.已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2.已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）;

3.2.在AABC中，其三边分别为。、b、c,且满足

4.已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用

—absinC="+"----,求角C.

正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和

24

无解三种情况）.

派知识拓展

在AABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况：

①当4为钝角或直角时，必须才能有且只有

一解；否则无解；

②当4为锐角时，

如果那么只有一解；

6

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个

不可到达的点之间的距离的问题

题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，

§1.2应用举例一①测量距离再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已

知角算出AC的对角，

.0.…学习目标…应用正弦定理算出AB边.

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关测量距离的实际问题

心学习过程

一、课前准备

复习1：燧ABC中，ZC=60°,a+b=273+2,

c=2&,则/A为.

新知1：基线

在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.

例2.如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达）,

复习2：在△ABC中，sinA=sin8+smC,判断三

设计种测量A、B两点间距离的方法.

cosB+cosC

角形的形状.

分析：这是例1的变式题，研究的―—

是两个的点之间的距离

测量问题.

首先需要构造三角形，所以需要已

确定C、。两点.

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与

一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和8C,

再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

二、新课导学

X典型例题

例1.如图，设4、8两点在河的两岸，要测量两点

之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边

选定一点C,测出AC的距离是55m,NB4c=51。，

ZACB=75°.求A、8两点的距离（精确到0.bn）.

H

提问1：AABC中，根据已知的边和对应角，运用

哪个定理比较适当？

变式：若在河岸选取相距40米的C、。两点，测得

NBCA=60°,ZAC£>=30°,NCDB=45°,ZBDA

=60°.

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？

2013年下学期♦高二月日班级:姓名：第一章解三角形碉夕

则球的半径等于(~

A.5cm

B.5近cm

C.5(72+l)cm

练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于aD.6cm

«〃?，灯塔4在观察站C的北偏东30°,灯塔B在2.台风中心从4地以每小时20千米的速度向东北

观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少？方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区,

城市8在A的正东40千米处，B城市处于危险区

内的时间为().

A.0.5小时B.1小时

C.1.5小时D.2小时

3.在AABC中，已知

(a2+/>2)sin(A-2?)=(a2-〃)sin(A+B),

则AABC的形状().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.在AA8C中,已知a=4,b=6,C=120°,贝sHin已

的值是.

5.一船以每小时15km的速度向东航行，船在4处

看到一个灯塔8在北偏东60。，行驶4h后，船到

达C处，看到这个灯塔在北偏东15。，这时船与灯

塔的距离为km.

三、总结提升0课后作业

派学习小结1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选

1.解斜三角形应用题的一般步骤：取相距的C、。两点，并测得/ACB=75°,

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示NBCD=45°,ZADC=30°,ZADB=45°,A、

意图B、C、。在同一个平面，求两目标4、8间的距离.

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量

与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解

斜三角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出

三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，

从而得出实际问题的解.

2.基线的选取：

测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，

使测量具有较高的精确度.

2.某船在海面A处测得灯塔C与A相距1073海里，

且在北偏东30。方向；测得灯塔B与A相距1576海

※自我评价你完成本节导学案的情况为().里，且在北偏西75。方向.船由4向正北方向航行

A.很好B.较好C.一般D.较差到D处，测得灯塔B在南偏西60。方向.这时灯塔

派当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：C与。相距多少海里？

1.水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大

小，用锐角45。的等腰直角三角板的斜边紧靠球

面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使

8

建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的

方法.

分析：选择基线”G,使“、G、8三点共线,

要求48,先求4E

§1.2应用举例一②测量高度在AACE中，可测得角,关键求AC

在A4CO中，可测得角，线段，又有a

故可求得AC

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；

2.测量中的有关名称.

一、课前准备

复习1：在AABC中,则A4BC的

cosBa3

形状是怎样？

派典型例题

复习2：在A48c中，a、b、c分别为NA、NB、例1.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A

NC的对边,若a:b:c=l:l:石，求A.RC的值.的俯角a=54%0',在塔底C处测得4处的俯角

〃=50。匕已知铁塔BC部分的高为27.3加，求出

山高CD（精确到1m）

二、新课导学

派学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角…从指北方向顺时针转到目标方向线的水

平转角：

坡度一沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角一视线与水平线的夹角当视线在水平

线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称

为俯角.

探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为

2013年下学期♦高二月日班级：姓名：第一章解三角形飞

；中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

派知识拓展

在湖面上高九处，测得云之仰角为a,湖中云之

影的俯角为p，则云高为hsm（a+‘）.

sin（a-p）

例2.如图，一•辆汽车在一条水平的公路上向正东…⑥一一学习诩fL.

行驶，到4处时测得公路南侧远处一山顶。在东偏

南15°的方向上，行驶5Am后到达B处，测得此山※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

顶在东偏南25°的方向上，仰角为8’，求此山的高A.很好B.较好C.一般D.较差

派当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.在AABC中，下列关系中一定成立的是（）.

A.a>bsinAB.a=bs\nA

C.a<hsinAD.a>hsinA

2.在△ABC中，AB=3,BC=V13,AC=4,贝।勉AC

上的高为（）.

在ABCQ中，已知8。或8C都可求出CD,根据

A.—B.—C.-D.373

条件，易计算出哪条边的长？222

3.。、C、8在地面同一直线上，OC=100米，从。、

C两地测得A的仰角分别为30。和45°,则4点离地

面的高48等于（）米.

A.100B.504

C.50（百-1）D.50（5/3+1）

4.在地面上C点,测得一塔塔顶A和塔基B的仰角

分别是60。和30。,已知塔基B高出地面20皿，则

塔身AB的高为m.

5.在AABC中，b=2五,a=2,且三角形有两

解，则4的取值范围是.

变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的

A、8两个目标，测得目标A在南偏西57°,俯角心课后作业

是60°,测得目标B在南偏东78°,俯角是45°,

试求山高.1.为测某塔AB的高度，在一幢与塔43相距20m

的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基

8的俯角为45°,则塔AB的高度为多少机？

2.在平地上有A、B两点，A在山的正东，8在山

的东南，且在A的南25°西300米的地方，在4

侧山顶的仰角是30°,求山高.

三、总结提升

派学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审

题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料

10

北

南

分析：

§1.2应用举例一卷测量角度首先由三角形的内角和定理求出角NABC,

然后用余弦定理算出AC边，

再根据正弦定理算出4c边利AB边的夹角ZCAB.

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关计算角度的实际问题.

心学习过程

一、课前准备

复习1：在△A8C中，已知c=2,C==，且

3

—afesinC=5/3,求a,b.

复习2：设AABC的内角4,B,C的对边分别为a,

例2.某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里

b,c,且4=60°,c=3,求3的值.的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10

c

海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14

海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该

沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私

船？A"

二、新课导学

派典型例题

例1.如图，一艘海轮从4出发，沿北偏东75。的

方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,

沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后达到海岛C.

如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎

样的方向航行，需要航行多少距离?（角度精确到

0.T,距离精确到O.Olnmile）

2013年下学期♦高二月日班级：姓名:第一章解三角形

利用正弦定理或余弦定理解之.；

2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时