高考数学二轮复习 专题三 函数与不等式考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题三函数与不等式考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2015·高考全国卷Ⅱ，5分)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))则z＝x＋y的最大值为________.(必修5P91练习1(2))求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋3y≤15，,y≤x＋1，,x－5y≤3.))试题与教材对比，数字改变实质相同，应引起高度重视.[教材变式训练]一、选择题[变式1](必修5P104B组T3改编)若关于x的不等式－eq\f(1,2)x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1<x<2}，则mn的值为()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2解析：选A.原不等式等价于x2－2mx－2n<0，依题意知－1和2是方程x2－2mx－2n＝0的两根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝2m,－1×2＝－2n))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),n＝1))，∴mn＝eq\f(1,2).[变式2](必修5P91T1改编)实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2≤0,x＋y－4≤0,x－3y＋4≤0))，则z＝2x－y的最小值为()A．－3 B．－1C．0 D．2解析：选A.根据约束条件画出可行域如图所示(阴影部分)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x－3y＋4＝0，))求得A(－1，1)．当目标线：y＝2x－z过点A(－1，1)时，zmin＝2×(－1)－1＝－3.[变式3](必修5P86T3改编)实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0,x－y≤0))，当a>0，b>0时，z＝ax＋by的最大值为12，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2解析：选C.根据约束条件画出可行域如图所示(阴影部分)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6＝0,x－y＝0))，解得A(3，3)．当目标线l：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(1,b)z(a>0，b>0)，过点A(3，3)时，zmax＝3a＋3b＝12，∴a＋b＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,4)(2＋2)＝1.当且仅当a＝b＝2时，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值为1.[变式4](必修1P88例1改编)若f(x)＝lnx＋ax－1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)，＋∞))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)))∪(0，＋∞)D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)))解析：选B.由f(x)＝0得lnx＝－ax＋1，在同一坐标系中画出y＝lnx和y＝－ax＋1的图象如图所示，直线y＝－ax＋1的斜率k＝－a，且恒过(0，1)点．当k≤0，即a≥0时，只有一个交点，从而f(x)只有一个零点，当k>0，且直线与y＝lnx相切于点P(x0，lnx0)时，切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，将x＝0，y＝1代入得lnx0＝2，即x0＝e2，k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e2)，∴a＝－eq\f(1,e2)，∴当a＝－eq\f(1,e2)时，直线y＝－ax＋1与y＝lnx图象只有一个交点，即f(x)只有一个零点，故所求a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)).[变式5](必修1P55思考改编)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x|（－4≤x≤4）,2x＋4（x>4）))，实数a，b，c互不相等且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4，6))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(4，6)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，8))解析：选C.画出函数f(x)的图象如图所示．当12<m≤16时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点，自左而右依次为(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，∵f(x)＝2|x|在[－4，4]上为偶函数，∴a＋b＝0，由12<f(c)≤16⇒12<2c＋4≤16⇒4<c≤6，从而4<a＋b＋c≤6.[变式6](必修1P44T7改编)设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则使f(a)＋1≥f(a＋1)成立的a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：选C.f(a)＋1≥f(a＋1)⇔eq\f(1－a,1＋a)＋1≥eq\f(－a,a＋2)⇔eq\f(2,a＋1)＋eq\f(a,a＋2)≥0⇔eq\f(a2＋3a＋4,（a＋1）（a＋2）)≥0.∵a2＋3a＋4>0对一切a∈R恒成立，∴原不等式⇔(a＋1)(a＋2)>0，∴a<－2或a>－1，故所求a的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．二、填空题[变式7](必修1P57例7，P72例8改编)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(1,3))，b＝logeq\s\do9(\f(2,3))3，c＝log23，则a，b，c的大小顺序为________．解析：∵0<a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(1,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)＝1，logeq\s\do9(\f(2,3))3<logeq\s\do9(\f(2,3))1＝0，log23>log22＝1，∴b<a<c.答案：b<a<c[变式8](必修1P36T1，2改编)定义在R上的奇函数f(x)，当x<0时，有f(x)＝x2＋2，则不等式f(x＋1)<0的解集为________．解析：当x＝0时，f(x)＝0，当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2.∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2（x<0）,0（x＝0）,－x2－2（x>0）))，显然当x<0时，f(x)>2，当x＝0时f(x)＝0，当x>0时，f(x)<－2<0，故f(x＋1)<0⇔x＋1>0⇔x>－1.答案：{x|x>－1}[变式9](必修1P99观察改编)不等式ax2＋log2x<0在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式ax2＋log2x<0，即ax2<logeq\s\do9(\f(1,2))x，∴当a≤0时ax2<logeq\s\do9(\f(1,2))x在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内恒成立．当a>0时，y＝ax2在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是增函数，只需a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)<1，即0<a<4.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，4)．答案：(－∞，4)[变式10](必修1P83B组T4改编)对于函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，g(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)，有下列命题：①f(x)的值域为R，g(x)的最小值为1；②不等式f(x)<g(x)对一切x∈R恒成立；③[f(x)]2＋[g(x)]2<1；④f(2x)＝2f(x)g(x)．则正确命题的序号为________．解析：①显然f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(0)＝0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)的值域是R，又g(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)≥eq\r(ex·e－x)＝1，∴g(x)min＝1，故①正确．②∵g(x)－