高考数学二轮复习 专题检测（十一）空间几何体的三视图、表面积及体积 理（普通生含解析）-人教版高三数学试题

专题检测（十一）空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：选D先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．2．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A．100π B.eq\f(256,3)πC.eq\f(400,3)π D.eq\f(500,3)π解析：选D因为切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π，即该西瓜的体积为eq\f(500,3)π.3．(2019届高三·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A．4π B．2πC.eq\f(4π,3) D．π解析：选B由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面积为eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，则该几何体的体积为eq\f(2π,3)×3＝2π.4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其直观图如图所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq\r(2)，∠C＝90，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2eq\r(2))×2＝4＋4eq\r(2).5．(2018·惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为()A.eq\f(1,2)π B.eq\f(\r(3),2)πC．3π D.eq\f(4,3)π解析：选B还原几何体为如图所示的三棱锥A­BCD，将其放入棱长为1的正方体中，如图所示，则三棱锥A­BCD外接球的半径R＝eq\f(\r(3),2)，该几何体的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π，故选B.6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A.eq\f(4,3)cm3 B.eq\f(8,3)cm3C．2cm3 D．4cm3解析：选B由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3)(cm3)．7．如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60，则多面体E­ABCD的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B．8πC．16π D．64π解析：选C由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝eq\r(3)，所以R2＝4，所以多面体E­ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.8．(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A．63π B．72πC．79π D．99π解析：选A由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝63π.9．(2019届高三·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．28 B．24＋2eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)解析：选B根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×eq\r(22＋12)＝24＋2eq\r(5)，故选B.10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和eq\r(3)的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(\r(3)π,3)解析：选B由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l＝2，底面半径r＝1，高h＝eq\r(3).由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，故选B.11．(2019届高三·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．50cm2 B．61cm2C．84cm2 D．86cm2解析：选D根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5cm,5cm,1cm；中间长方体的长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm；最上面长方体的长、宽、高分别为1cm,1cm,1cm)叠合而成，长、宽、高分别为5cm,5cm,1cm的长方体的表面积为2(5×5＋5×1＋5×1)＝2×35＝70(cm2)；长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm的长方体的表面积为2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm2)；长、宽、高分别为1cm，1cm,1cm的长方体的表面积为2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm2)．由于几何体的叠加而减少的面积为2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm2)，所以所求表面积为70＋30＋6－20＝86(cm2)．12．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为()A．1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(9,2) D．与M点的位置有关解析：选B∵eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的eq\f(1,3)，即为eq\f(D1C1,3)＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，∴VM­PBC＝VP­MBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2).13．(2018·洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)解析：选C由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一个对角线长为2的正方形，底面积S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，高h＝1，则该几何体的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(2,3)，故选C.14．(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2,3)解析：选D由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1­BB1C1和一个三棱锥C­BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D­ABC1D1，四棱锥D­ABC1D1的底面积为S四边形ABC1D1＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，高h＝eq\f(\r(2),2)，其体积V＝eq\f(1,3)S四边形ABC1D1h＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2,3).15．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：选C法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥S­ABCD，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VS­ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·SD＝eq\f(1,3).法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3).16．(2018·福州质检)已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为()A．10π B．25πC．50π D．100π解析：选D设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9π，得△ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为AB⊥BC，所以点D为AC的中点，所以DC＝3.因为PA⊥平面ABC，易证PB⊥BC，所以PC为球O的直径．又PA＝8，所以OD＝eq\f(1,2)PA＝4，所以R＝OC＝eq\r(42＋32)＝5，所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π.二、填空题17．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________．解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥P­ABCD所示，底面ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，作PO⊥AD于点O，则O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)18.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因为AB＝2，所以BO＝eq\r(3).因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B­ACC1D的体积为eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)19.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________．解析：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝4cosα，圆柱的高为8sinα.所以圆柱的侧面积为32πsin2α.当且仅当α＝eq\f(π,4)时，sin2α＝1，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32π.答案：32π20．(2018·沈阳质检)已