高考数学二轮复习 稳取120分保分练（二）文-人教版高三数学试题

稳取120分保分练(二)一、选择题1．设集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|eq\r(x2)>2}，则A∩B＝()A．(2,3] B．(2,3)C．(－2,3] D．(－2,3)解析：选AA＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞2}，故A∩B＝(2,3]．2．设i为虚数单位，若z＝eq\f(a－i,1＋i)(a∈R)是纯虚数，则a的值是()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选Cz＝eq\f(a－i,1＋i)＝eq\f(a－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(a－1,2)－eq\f(a＋1,2)i，∵z是纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,a＋1≠0，))解得a＝1.3．若θ是第二象限角且sinθ＝eq\f(12,13)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝()A．－eq\f(17,7) B．－eq\f(7,17)C.eq\f(17,7) D.eq\f(7,17)解析：选B由θ是第二象限角且sinθ＝eq\f(12,13)知，cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(5,13)，则tanθ＝－eq\f(12,5).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(tanθ＋tan\f(π,4),1－tanθtan\f(π,4))＝－eq\f(7,17).4．设F是抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，直线l过点F且与抛物线E交于A，B两点，若F是AB的中点且|AB|＝8，则p的值是()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xF＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝8，即p＝4.5．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y－ax＋3a≥0，))目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则正数a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C．1 D．2解析：选A画出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y－ax＋3a≥0))表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝2x＋y经过点A时，取得最小值1，设A(1，m)，则有2×1＋m＝1，解得m＝－1，即A(1，－1)．将A(1，－1)代入y＝a(x－3)，得a＝eq\f(1,2).6．在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF＝2DF，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)a－eq\f(1,6)b B.eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)bC.eq\f(1,6)a－eq\f(1,3)b D.eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b解析：选Deq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，故选D.7．设max{m，n}表示m，n中的最大值，则关于函数f(x)＝max{sinx＋cosx，sinx－cosx}的结论中，正确结论的个数是()①函数f(x)的周期T＝2π；②函数f(x)的值域为[－1，eq\r(2)]；③函数f(x)是偶函数；④函数f(x)的图象与直线x＝2y有3个交点．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C如图是函数f(x)与直线x＝2y在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确．8．程序框图如图所示．如果程序运行的结果S的值比2018小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入()A．K≤10? B．K≥10?C．K≤9? D．K≥9?解析：选CK＝12，S＝1，不满足条件，执行循环体，S＝1×12＝12，此时K＝11；不满足条件，执行循环体，S＝12×11＝132，此时K＝10；不满足条件，执行循环体，S＝132×10＝1320，此时K＝9；不满足条件，执行循环体，S＝1320×9>2018，此时K＝8，所以当K＝9时，满足条件，K＝8时不满足条件，所以判断条件应为“K≤9？”．故选C.9．设实数a＞b＞0，c＞0，则下列不等式一定正确的是()A．0<eq\f(a,b)<1 B．lneq\f(a,b)>0C．ca＞cb D．ac－bc＜0解析：选B由于a＞b＞0，eq\f(a,b)>1，A错误；lneq\f(a,b)>ln1＝0，B正确；当0＜c＜1时，ca＜cb，当c＝1时，ca＝cb，当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，C错误；a＞b＞0，c＞0，故ac－bc＞0，D错误．10．下列方格纸中每个小正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是()A．3 B．6C．2eq\r(5) D．5解析：选D画出立体图(如图)．由图知，该几何体最长棱的棱长是AD＝5.11．设P为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M.若|PM|＝2|MF2|，则双曲线的离心率是()A．1＋eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(2) D．4＋eq\r(2)解析：选A由题意，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，∴kF1P＝eq\f(b2,2ac)，∴直线PA的方程为y－eq\f(b2,a)＝－eq\f(2ac,b2)(x－c)，令y＝0，可得xA＝eq\f(b4＋2a2c2,2a2c)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b4＋2a2c2,2a2c)，0)).∵E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|＝2|MF2|，∴M是△PF1A的重心，且Mc，eq\f(b2,3a)，而xM＝eq\f(－c＋c＋xA,3)，∴xA＝3c＝eq\f(b4＋2a2c2,2a2c)，∴e4－6e2＋1＝0，∵e＞1，∴e＝1＋eq\r(2)，故选A.12．设函数f(x)＝xex，g(x)＝x2＋2x，h(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(2π,3)))，若对任意的x∈R，都有h(x)－f(x)≤k[g(x)＋2]成立，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e)＋1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,e)＋3))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,e)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,e)，＋∞))解析：选C由题设h(x)－f(x)≤k[g(x)＋2]恒成立，等价于f(x)＋kg(x)≥h(x)－2k.①设函数H(x)＝f(x)＋kg(x)＝xex＋kx2＋2kx，则H′(x)＝(x＋1)(ex＋2k)．(1)若k＝0，此时H′(x)＝ex(x＋1)，当x＜－1时，H′(x)＜0，当x＞－1时，H′(x)＞0，故x＜－1时，H(x)单调递减，x＞－1时，H(x)单调递增，故H(x)≥H(－1)＝－eq\f(1,e)；而当x＝－1时，h(x)取得最大值2，并且－eq\f(1,e)＜2，故①式不恒成立；(2)若k＜0，注意到H(－2)＝－eq\f(2,e2)，h(－2)－2k＝eq\r(3)－2k>eq\r(3)>－eq\f(2,e2)，故①式不恒成立；(3)若k＞0，此时，H′(x)＝(x＋1)(ex＋2k)，当x＜－1时，H′(x)＜0，当x＞－1时，H′(x)＞0，故x＜－1时，H(x)单调递减，x＞－1时，H(x)单调递增，故H(x)≥H(－1)＝－eq\f(1,e)－k；而当x＝－1时，h(x)取得最大值，且h(x)max＝2，故若使①式恒成立，则－eq\f(1,e)－k≥2－2k，解得k≥2＋eq\f(1,e).二、填空题13．函数g(x)＝eq\f(1,log32x－1)＋eq\r(2x－1)的定义域为________．解析：由题意可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log32x－1≠0，,2x－1>0，,2x－1≥0，))解得x≥eq\f(1,2)且x≠1，故函数g(x)＝eq\f(1,log32x－1)＋eq\r(2x－1)的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)14．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析：∵c＝a＋b，且c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴1＋a·b＝0，解得a·b＝－1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,2×1)＝－eq\f(1,2)，∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)15．已知四棱锥P­ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，AB＝4，则球O的表面积为________．解析：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，∴PE＝eq\r(3)，设底面ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(5)，设O到平面ABCD的距离为d，则R2＝d2＋(eq\r(5))2＝22＋(eq\r(3)－d)2，∴d＝eq\f(1,\r(3))，R2＝eq\f(16,3)，则球O的表面积为S＝4πR2＝eq\f(64π,3).答案：eq\f(64π,3)16．已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，a解析：f(x)＝lnx＋a(1－x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)，若a≤0，则f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；若a＞0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))时，f′(x)＞0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减，故f(x)的最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝－lna＋a－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＞2a－2即为lna＋a－1＜0，令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0，∴当0＜a＜1时，g(a)＜0，当a＞1时，g(a)＞0，∴a的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)三、解答题17．已知等差数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公差为d，且不等式a1x2－3x＋2＜0的解集为(1，d)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn－an＝eq\f(1,n2＋n)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)由不等式a1x2－3x＋2＜0的解集为(1，d)，可得a1＞0且1，d为方程a1x2－3x＋2＝0的两根，即有1＋d＝eq\f(3,a1)，d＝eq\f(2,a1)，解得a1＝1，d＝2，则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)bn－an＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，即bn＝an＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝2n－1＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，则{bn}的前n项和Sn＝(1＋3＋…＋2n－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)))＝eq\f(1,2)n(1＋2n－1)＋1－eq\f(1,n＋1)＝n2＋eq\f(n,n＋1).18．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB，2cos2\f(C,2)－1))，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的面积为2eq\r(3)，a＋b＝6，求c.解：(1)∵由已知可得m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，∴sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC即sinA＝2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝2eq\r(3)，∴ab＝8，又c2＝a2＋b2－2abcosC，即(a＋b)2－3ab＝c2，∴c2＝12，故c＝2eq\r(3).19.如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求A到平面BCE的距离．解：(1)证明：取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB，又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)设A到平面BCE的距离为h.过C作CH⊥AD，交AD于H，连接AE，易知CH⊥平面ABE.∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥AF，又AF⊥CD，DE∩CD＝D，∴AF⊥平面CDE