高考数学二轮复习 第二篇 第15练 立体几何精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第15练立体几何[明晰考情]1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明与探求，空间几何体的表面积、体积，平面图形的折叠问题.2.题目难度：中档难度.考点一空间的平行、垂直关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；②利用勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质.1.如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.(1)求证：AE∥平面DBC；(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.证明(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足.又∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，∴DO⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，∴AE∥DO.又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴DO⊥AB.又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，∴AB⊥平面DBC.∵DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，∴DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，∴AD⊥DC.2.(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2eq\r(3).如图，连接OB.因为AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题意可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以点C到平面POM的距离为eq\f(4\r(5),5).考点二几何体的表面积、体积方法技巧(1)空间几何体的表面积是各个面的面积之和，求解时可利用相应的面积公式计算.(2)几何体体积的常用解法①直接法；②割补法；③等积转换法.4.(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱锥Q－ABP的体积.(1)证明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC且QE＝eq\f(1,3)DC.由(1)知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD⊂平面ACD，所以DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q－ABP的体积VQ－ABP＝eq\f(1,3)×S△ABP×QE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°×1＝1.5.如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积.(1)证明连接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∵D，D1分别是BC和B1C1的中点，∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD，∴四边形B1BDD1为平行四边形，∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，∴四边形AA1D1D为平行四边形，∴A1D1∥AD.又∵A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，∴A1D1∥平面AB1D.(2)解在△ABC中，边长均为4，则AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A－B1BC的高.在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq\r(3)，在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，∴△B1BC的面积为4eq\r(3).∴三棱锥B1－ABC的体积即为三棱锥A－B1BC的体积V＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2eq\r(3)＝8.6.(2018·龙岩质检)已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求直线.证明如下：取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，NG＝eq\f(1,2)DH，由(1)可知EN∥平面ABC，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，DH＝eq\r(3)，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，NG＝eq\f(\r(3),2)，又AC＝AB＝3，BC＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AH＝2eq\r(2).∴VE－ABC＝VN－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·NG＝eq\f(\r(6),3).考点三立体几何的综合问题方法技巧(1)和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系.(2)立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明.7.(2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A－BCD.(1)求证：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱锥A－BCD的体积为eq\f(\r(6),3)，且∠AOC是钝角，求AC的长.(1)证明∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AO，BD⊥CO.折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC.∵BD⊂平面BCD，∴平面AOC⊥平面BCD.(2)解由(1)知BD⊥平面AOC，∴VA－BCD＝eq\f(1,3)S△AOC·BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)OA·OC·sin∠AOC·BD＝eq\f(\r(6),3)，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin∠AOC×2eq\r(2)＝eq\f(\r(6),3)，∴sin∠AOC＝eq\f(\r(3),2).又∵∠AOC是钝角，∴∠AOC＝120°.在△AOC中，由余弦定理，得AC2＝OA2＋OC2－2·OA·OC·cos∠AOC＝(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2－2×eq\r(2)×eq\r(2)×cos120°＝6，∴AC＝eq\r(6).9.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值.解(1)∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱锥P－ABC的高，且PA＝1，∴三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∴MN⊥AC.又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN⊂平面BMN，∴AC⊥平面MBN.又∵BM⊂平面MBN，∴AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，从而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2)，由MN∥PA，得eq\f(PM,MC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,3).综上所述，在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM且eq\f(PM,MC)＝eq\f(1,3).典例(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2eq\r(7)，求四棱锥P—ABCD的体积.审题路线图(1)eq\x(平面ABCD内，∠BAD＝∠ABC＝90°)→eq\x(BC∥AD)→eq\x(BC∥平面PAD)(2)eq\x(欲求VP－ABCD)→eq\x(求SABCD和棱锥的高)eq\o(→,\s\up7(取AD中点M))eq\x(证明PM⊥平面ABCD)→eq\x(利用S△PCD＝2\r(7)求解线段长度)规范解答·评分标准(1)证明在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.1分又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.3分(2)解如图，取AD的中点M，连接PM，CM.因为侧面PAD为等边三角形，所以PM⊥AD，又底面ABCD⊥平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，所以PM⊥底面ABCD.4分由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.6分因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.8分设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因为△PCD的面积为2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7).解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\f(2×2＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).12分构建答题模板[第一步]证关系：空间中的线面关系以线线关系为基础，先寻找图形中的线线平行或线线垂直，再利用判定定理证线面平行或线面垂直.[第二步]找底面：计算几何体的体积，关键是确定几何体的底面和相应的高，理清计算的思路.[第三步]巧计算：利用已知条件巧妙搭建和要求体积的关系，计算所求面积或体积.1.(2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.2.(2017·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积.(1)证明因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)解因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以三棱锥E－BCD的体积V＝eq\f(1,3)DE·S△BDC＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).3.(2018·柳州模拟)如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在线段AB上.(1)证明：AP⊥PB；(2)求三棱锥P－EBC的表面积.(1)证明由题意知PE⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴PE⊥BC，又AB⊥BC且AB∩PE＝E，AB，PE⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，又AP⊥CP且BC∩CP＝C，BC，CP⊂平面PBC，∴AP⊥平