第1章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（解析版）

第1章二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江杭州·九年级期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（

）A．y＝（x＋3）2＋2 B．y＝（x＋3）2﹣2 C．x＝（x﹣3）2＋2 D．y＝（x﹣3）2﹣2【答案】A【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为y=（x+3）2+2．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（

）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2【答案】A【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．【详解】解：根据题意得：，解得，故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．3．（2022·浙江·九年级专题练习）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（

）A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+【答案】C【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．4．（2022·浙江·九年级专题练习）若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（

）A．4 B．9 C．12 D．﹣5【答案】B【分析】根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．【详解】解：∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0）．∵当x＝2时，y＝4，∴4＝4k，解得，k＝1，∴该函数解析式为：y＝x2，把x＝﹣3代入得，y＝9，故选：B．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．5．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．6．（2022·浙江·九年级专题练习）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（

）（精确到0.1）A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3【答案】C【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，即可求解．【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，∴另一个交点坐标为：（2.3，0），则方程的另一个近似根为x＝2.3，故选：C．【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题的关键．7．（2022·浙江·九年级专题练习）抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（

）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n【答案】B【分析】根据题意可得抛物线的定点坐标即为（x1，0），代入解析式即可求解．【详解】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（

）A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2【答案】A【分析】根据题意，令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，根据二次函数图象与x轴由两个不同交点，则判别式大于0，解不等式即可求解．【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．9．（2022·浙江·九年级专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2【答案】C【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，由题意可得：y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，故选：C．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．10．（2022·浙江台州·九年级期末）抛物线y＝（x−2）2＋3的顶点坐标是（

）A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）【答案】A【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【详解】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．11．（2022·浙江·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【答案】D【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．12．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）已知一元二次方程2x2+bx1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx1的图象上有三个点（0，y1）、（1，y2）、（y3），则y1，y2，y3的大小关系为（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【答案】C【分析】利用一元二次方程根的意义求得b值，将b值代入二次函数的解析式，求出抛物线的对称轴，利用二次函数图象的性质即可得出结论．【详解】∵元二次方程2x2+bx-1=0的一个根是1，∴2+b-1=0，∴b=-1，∴二次函数y=2x2-x-1=2(x-)2-，∴抛物线y=2x2-x-1的对称轴为直线x=，∵该抛物线开口向上，点(0，y1)、(-1，y2)．（，y3)到对称轴的距离分别为：且<<，所以<<，故选：C．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根的意义，利用二次函数的增减性解答是解题的关键．13．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．【详解】解：对于二次函数，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．二、填空题14．（2022·浙江·九年级专题练习）如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为__．【答案】﹣3【分析】根据二次函数的定义，可得m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3且m≠2，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．15．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．【答案】x1＝﹣3，x2＝1【分析】根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．【详解】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．【点睛】本题考查了一次函数与抛物线交点问题，理解交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．16．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是_________．【答案】②③⑤【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点坐标，即可判断①，根据对称轴的位置以及开口方向即可判断②，根据对称轴以及抛物线与轴的交点坐标结合函数图象即可判断③与⑤，令即可判断④，进而即可求解．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），∴c＝3，∴abc＜0，①错误．由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，∴当x＜0时，y随x增大而增大，∴②正确．∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，∴抛物线经过点（3，0），∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3，③正确．由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴④错误．∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，∴⑤正确．故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．17．（2022·浙江金华·九年级期末）如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为______m．【答案】8【分析】由目前桥下水面宽4m，求得对应y的值，再由水位下降1.5m，得到此时y的值，代入解析式即可求得x的值，即可求出水面的宽．【详解】解：目前桥下水面宽4m，即x=2时，当水位下降1.5m，即此时水面的宽为8m故答案为：8．【点睛】本题考查二次函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．18．（2022·浙江·九年级专题练习）若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是__．【答案】【分析】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可；【详解】解：设二次函数解析式为，把代入得：，解得：，则二次函数解析式为，故答案为：．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19．（2022·浙江·九年级专题练习）将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是___．【答案】2【分析】根据二次函数向上平移的规律得出平移后的函数解析式，再将点（-2，5）代入即可求出结果．【详解】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的平移、代数式的求值，掌握二次函数平移的规律是解题的关键．20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为__；自变量x的取值范围为__．【答案】

【分析】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为：；由题意可得：，解得：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长．21．（2022·浙江·九年级专题练习）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______．【答案】【分析】n个球队都要与除自己之外的（n-1）球队个打一场，因此要打n（n-1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n-1），得出关系式．【详解】解：m=n（n-1）=n2-n，故答案为：m=n（n-1）=n2-n．【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．22．（2022·浙江台州·九年级期末）抛物线的顶点坐标为_____．【答案】【分析】因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．【详解】解：抛物线解析式为，二次函数图象的顶点坐标是．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．三、解答题23．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝1时y＝3；当x＝﹣1时，y＝1，求这个二次函数的解析式．【答案】y＝x2+x+1【分析】根据题意，可得出抛物线过（1，3），（﹣1，1）两点，将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．【详解】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：，解得；故此函数的解析式为y＝x2+x+1．【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数的解析式的方法是解题的关键．24．（2022·浙江金华·九年级期末）已知抛物线．(1)求抛物线与x轴的交点坐标．(2)求抛物线的顶点坐标．【答案】(1)、(2)【分析】（1）令，解一元二次方程，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标；（2）将抛物线一般式化成顶点式，即可求出顶点坐标．（1）解：令，，∴抛物线与轴的交点坐标为：、（2）解：∵∴抛物线的顶点坐标为：【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标、将二次函数一般式化成顶点式等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．25．（2022·浙江·九年级专题练习）已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝8，求y关于x的解析式．【答案】【分析】根据题意设出函数关系式，把“x＝3时，y＝8；当x＝1时，y＝6”代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式．【详解】解：∵y1与x成正比例，∴y1＝k1x（k1≠0）；∵y2与x2成正比例，∴y2＝k2x2（k2≠0）；∴y＝y1+y2＝k1x+k2x2，∵当x＝1时，y＝6；x＝3时，y＝8，∴，解得，，∴，即y关于x的函数解析式是：．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设出解析式是解题的关键．26．（2022·浙江·九年级专题练习）在y＝ax2+bx+c中，当x＝2时y的值是﹣15，x＝1时y的值是﹣9，x＝﹣1时y的值是﹣3，求a，b、c的值．【答案】a，b、c的值分别是：﹣1、﹣3、﹣5．【分析】将点（2，﹣15）、（1，﹣9），（﹣1，﹣3）分别代入二次函数的解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组即可．【详解】解：根据题意，得，解得，∴a，b、c的值分别是：﹣1、﹣3、﹣5．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题时，利用了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上的点，一定满足该二次函数的解析式．27．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，则y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【答案】小王的做法是错误的，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【详解】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：∵二次函数y=x2，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，∵-1≤x≤2，∴当x=0时取得最小值，最小值是0，当x=2时取得最大值，此时y=4，由上可得，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意x的取值范围．28．（2022·浙江金华·九年级专题练习）“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【答案】(1)当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元(2)当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元【分析】（1）设每件纪念品销售价上涨x元，根据题意列出一元二次方程，解出方程，根据销售单价不高于60元即可求解．（2）根据题意列出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式，根据函数的增减性即可求解．（1）解：设每件纪念品销售价上涨x元，由题意得：（x+4）（300–10x）＝2640，整理得：x2﹣26x+144＝0，即（x–8）（x–18）=0，解得：x1＝8，x2＝18，∵销售单价不高于60元，∴x＝8，答：当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元．（2）根据题意得：w＝（x+4）（300–10x），＝–10x2+260x+1200＝–10（x–13）2+2890，∵–10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=13，∴当x＝13时，w最大且最大值为2890，∵，所以，当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题意找准等量关系，列出方程及函数关系式是解题的关键．【典型】一、单选题1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2-4．故选C．【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．2．（2021·浙江杭州·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据顶点坐标得到对称轴表达式，根据二次函数的对称性，得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称，即可判断①；结合①中结论，根据函数图像即可判断②；首先根据对称轴得到a和b的关系，然后根据顶点坐标得到a和c的关系，求出当x=4时，y的值即可判断③；根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点，即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判断④．【详解】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为∴函数的对称轴为x＝∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0于是①的结论正确；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，于是②错误；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，∴抛物线与直线y＝﹣1交点的坐标和∵抛物线时，x＝﹣1或3，即抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，二次函数和一元二次方程，二次函数和不等式，题目综合性较强，熟练掌握二次函数的基本知识并灵活运用是本题的关键．3．（2021·浙江·九年级专题练习）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（

）A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【答案】B【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．【详解】解：将（0.5，6），（1，9）代入y=at2+bt（a＜0）得：，解得：，故抛物线解析式为：y=-6t2+15t，当（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．故选B．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．4．（2021·浙江温州·九年级期中）小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（

）A．y=500(x+1)2 B．y=x2+500 C．y=x2+500x D．y=x2+5x【答案】A【详解】解：一年后的本息和为500(1+x)，这也是第二年的本金，所以两年后的本息和y=500(1+x)2.故选A.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，关键在于找到本息和的等量关系，要注意的是第二年的本金为第一年的本息和.二、解答题5．（2022·浙江·九年级专题练习）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？【答案】（1）k=2；（2）y=【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．【详解】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，当x=0.5时，y=．【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．6．（2022·浙江·九年级专题练习）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【答案】（1）y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【详解】（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30）．又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣30）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣4860．∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴30≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．7．（2021·浙江温州·三模）在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2bx+c的图像交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）．(1)求出b和c的值．(2)二次函数图像上一点M向上平移2m（m＞0）个单位得到M′，若M′再向左平移2m个单位，可以与抛物线上的点P重合；若M′再向右平移m个单位，可以与抛物线上的点Q重合，求出M点的坐标．【答案】(1)b＝1，c＝﹣3(2)M（，）【分析】（1）设交点式y＝（x+1）（x﹣3），化简成一般式可得b，c的值；（2）用m表示出Q，M的坐标，利用纵坐标之差为2m列式即可．(1)设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），化简得y＝x2﹣2x﹣3，∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣3，(2)PQ＝3m，对称轴x＝1，∴Q的横坐标为1，M的横坐标为1，∴（1）2﹣2（1）﹣3﹣[（1）2﹣2（1）﹣3]＝2m，解得m＝1或0（舍去），∴m＝1，M（，），故M点的坐标M（，）．【点睛】本题主要考查了二次函数的交点式和一般式的互换，以及含参二次函数的平移求坐标，正确理解平移和坐标对称是解决本题的关键．8．（2021·浙江·绍兴市元培中学九年级阶段练习）如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足抛物线解析式．已知球达到最高2.6m的D点时，与M点的水平距离EM为6m．（1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式；（2）球网BC与点M的水平距离为9m，高度为2.43m．球场的边界距M点的水平距离为18m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．【答案】（1）见解析，；（2）该球员的判断不对，球会出界，见解析.【分析】（1）直角坐标系的建立要使点的坐标容易确定，因此可以以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，由题意即可确定点A，E，D的坐标，已知顶点D及抛物线上一点A的坐标，可设顶点式，利用待定系数法求解析式即可；（2）利用（1）所求解析式可求出球运行的高度和水平距离，与题中所给的球网BC的高度及球场的边界距M点的水平距离进行大小比较即可判断能否过网能否出界.【详解】解：（1）如图，以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A，E，D的坐标分别为（0，2），（6，0），（6，2.6）设球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k由题意知抛物线的顶点为（6，2.6）故y＝a（x﹣6）2+2.6将点A（0，2）代入得2＝36a+2.6∴a＝﹣，故此时抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+2.6（2）该球员的判断不对，理由如下：当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43∴球能过网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0解得：x1＝6+＞18，x2＝6﹣（舍）故球会出界．【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法及在实际生活中的应用，熟练掌握抛物线解析式的求法及其在实际问题中表示的具体意义是解题的关键.9．（2021·浙江宁波·二模）某商店经营一种小商品，进价为40元，据市场调查，销售价是60元时，平均每天销售量是300件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．⑴假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式；⑵每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣20x2+100x+6000；（2）每件小商品销售价是2.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6125元．【分析】（1）根据总利润=（实际售价﹣进价）×销售量，即可得函数解析式；（2）将（1）中函数解析式配方即可得最值情况．【详解】（1）依题意有：y=（60﹣x﹣40）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000；（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣2.5）2+6125；∵a=﹣20＜0，∴当x=2.5时y取最大值，最大值是6125，即降价2.5元时利润最大，∴每件小商品销售价是2.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6125元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．【易错】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•上城区期末）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A．y＝2x﹣3，不是二次函数，故A不符合题意；B．y＝﹣，不是二次函数，故B不符合题意；C．y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不是二次函数，故C不符合题意；D．y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，是二次函数，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．2．（2022•西湖区校级开学）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向上，∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝﹣2时取得最大值11，当x＝1时，取得最小值2，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．3．（2022•鄞州区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，错误；②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，∴②错误；③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴③错误；④∵﹣＝1，∴b＝﹣2a由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，∴④正确；⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，∴⑤正确；故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键．4．（2022•柯城区二模）当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（）A．2 B．±2 C．2或 D．2或【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值．【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，∴4﹣2a＝﹣1，∴a＝，不合题意，舍去．当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．∴3﹣a2＝﹣1．∴a2＝4，∵1≤a≤3，∴a＝2．当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．∴12﹣6a＝﹣1．∴a＝．∵a≥3．∴不合题意，舍去．综上：a＝2．故选A．【点评】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．5．（2022•义乌市校级开学）如图，已知点A（，2），B（0，1），射线AB绕点A逆时针旋转30°，与x轴交于点C，则过A，B，C三点的二次函数y＝ax2+bx+1中a，b的值分别为（）A．a＝2，b＝﹣ B．a＝，b＝﹣ C．a＝3，b＝﹣ D．a＝﹣，b＝【分析】作辅助线，根据平行相似可证明△BOD∽△AED，列比例式可得点C的坐标，列方程组可得结论．【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，∵点A（，2），∴AE＝2，OE＝，∵B（0，1），∴OB＝1，∵OB∥AE，∴△BOD∽△AED，∴＝，∴DE＝2，∴∠ADE＝30°，∵∠DAC＝30°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝＝＝，∴C（，0），把A（，2）和C（，0）代入二次函数y＝ax2+bx+1中得：，解得：．故选：A．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，此题正确构建直角三角形利用含30°角的直角三角形的性质确定点C的坐标是解本题的关键．6．（2022•临安区一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论a＞0及a＜0时各选项求解．【解答】解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，P2（x2，y2）关于直线x＝2的对称点为P（4﹣x2，y2），若x1+x2＜4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得x1＜4﹣x2，当抛物线开口向上时，y1＞y2，∴选项A错误．若x1+x2＞4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得4﹣x2＜x1＜x2，当抛物线开口向下时，y1＞y2，∴选项B错误．若a（x1+x2﹣4）＞0，当x1+x2＜4时，则a＜0，﹣a＞0，抛物线开口向上，∴y1＞y2，当x1+x2＞4时，则a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，∴y1＞y2，选项C正确．若a（x1+x2﹣4）＜0，当x1+x2＜4时，a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，∴y1＜y2，选项D错误．解法二：作差法，∵y1＝﹣a+4ax1+c，y2＝﹣ax22+4ax2+c，∴y1﹣y2＝﹣a+4ax1+c﹣（﹣ax22+4ax2+c）＝﹣a（x﹣x）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，当a（x1+x2﹣4）＞0时，则﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，∴y1＞y2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．二．解答题（共8小题）7．（2022•拱墅区校级开学）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式；（2）若n＝m﹣2，且当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若该函数的图象经过（0，s），（4，t）两点（s，t是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：9＜st＜16．【分析】（1）将点（2，6）代入函数解析式，求出m，n．（2）根据二次函数的增减性与对称轴的关系求解．（3）建立关于s，t的不等式求解．【解答】解：（1）∵m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），∴6＝（2﹣1）（2﹣n），∴n＝﹣4，∴y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4．（2）函数y＝（x﹣m）（x﹣n）中，当y＝0时，（x﹣m）（x﹣n）＝0．∴x＝m或x＝n．∵n＝m﹣2，∴抛物线的对称轴为：x＝＝＝m﹣1，∵当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，抛物线开口向上，∴对称轴x＝m﹣1≥﹣3，∴m≥﹣2．（3）由题意得：，∴，∴st＝mn•（4﹣m）（4﹣n）＝（﹣m2+4m）（﹣n2+4n）＝[﹣（m﹣2）2+4][﹣（n﹣2）2+4]．∵2≤m＜n≤3．∴3＜﹣（m﹣2）2+4≤4，3≤﹣（n﹣2）2+4＜4，∴9＜st＜16．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．8．（2022•临安区一模）设二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m2+2m+2（m是常数）．（1）当m＝3时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）试判断二次函数图象与x轴的交点情况；（3）设二次函数的图象与y轴交于点（0，n），当﹣2≤m≤2时，求n的最大值．【分析】（1）将m＝3代入二次函数解析式，再把函数解析式化成顶点式即可得出结论；（2）判断根的判别式Δ的正负即可得出结论；（3）用m表达n，利用二次函数的性质可得出n的最大值．【解答】解：（1）当m＝3时，二次函数y＝x2﹣4x+17＝（x﹣2）2+13．∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13）．（2）令x2﹣（m+1）x+m2+2m+2＝0，∴Δ＝（m+1）2﹣4（m2+2m+2）＝﹣3（m+1）2﹣4＜0，∴该一元二次方程无解，∴二次函数图象与x轴无交点；（3）令x＝0，∴n＝m2+2m+2＝（m+1）2+1，∴函数的对称轴为直线m＝﹣1，∵﹣2≤m≤2，∴当﹣2≤m＜﹣1时，n随m的增大而减小；当﹣1＜m≤2时，n随m的增大而增大，∴当m＝﹣2时，n＝2；当m＝﹣1时，n＝1，当m＝2时，n＝10．∴n的最大值为10．【点评】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的解以及二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题基础．9．（2022•拱墅区模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k．（1）若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式；（2）若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围；（3）若在k≤x≤2k﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值．【分析】（1）根据该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求出对称轴，得到k的值即可．（2）根据该函数与x轴有两个交点，Δ≥0即可．（3）利用对称轴判断在哪取得最大值和最小值，作差就得到结论．【解答】解：（1）∵该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，∴该函数图象的对称轴是直线x＝1．又∵y＝﹣（x﹣k）2+k的对称轴是直线x＝k，∴k＝1即函数的表达式是y＝﹣（x﹣1）2+1．（2）y＝﹣（x﹣k）2+k＝﹣x2+2kx﹣k2+k．∵该函数与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4•（﹣1）•（k﹣k2）＝4k≥0．即：k≥0．（3）∵在k≤x≤2k﹣3范围内，∴2k﹣3≥k．解得：k≥3．∵函数图象开口向下且对称轴是直线x＝k，∴x＝k时，y有最大值，y最大值＝k，x＝2k﹣3时，y有最小值，y最小值＝﹣k2+7k﹣9．∵该函数的最大值与最小值的差为4，∴k﹣（﹣k2+7k﹣9）＝4，即k2﹣6k+5＝0．解得：k1＝1（舍去），k2＝5．∴k的值是5．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，先求出k的取值范围值是解题的关键．10．（2022春•拱墅区校级期末）如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB＝18米），另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余．（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．【分析】（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，用总长减去一个2倍的长加上2即可求得与墙平行的墙长；根据面积为120平方米结合矩形的面积列出方程求解即可．（2）根据（1）中所列等式，根据二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是（36﹣2x+2）．即（38﹣2x）米．根据题意得：x（38﹣2x）＝120，整理，得2x2﹣38x+120＝0，解得x1＝15，x2＝4．当x1＝15时，36﹣2x＝6＜18，符合题意．当x2＝4时，36﹣2x＝28＞18，不符合题意．答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为15米，则与墙平行的边长为8米．（2）存在，理由如下：根据（1）中条件可知，S＝x（38﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，∵38﹣2x≤18，∴x≥10，∵﹣2＜0，∴当x≥10时，S随x的增大而减小，∴当x＝10时，S的最大值为180，此时38﹣2x＝18＝18，符合题意，∴当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为10米，则与墙平行的边长为18米时，面积的最大值为180平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，难度不大．11．（2022春•西湖区校级期末）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得：，解得：．∴a＝1，b＝30；∴y＝x2+30x；（2）由（1）得：y＝x2+30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w，则w＝x2+30x+70（100﹣x）＝x2﹣40x+7000＝（x﹣20）2+6600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．答：A城生产20件，B城生产80件．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．12．（2022•海曙区校级模拟）某城市发生疫情，第x天（1≤x≤15）新增病例y（人）如下表所示：x1234…11…y2112235…182…（1）疫情前15天的人数模型基本符合二次函数y＝ax2+bx+c．根据图表，求出二次函数解析式．（3）由于疫情传染性强，第15天开始新增病例人数模型发生变化，第x天（x≥15）新增病例y（人）近似满足y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）．请预计第几天新增病例清零．（3）为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需当天提供一张病床的要求，政府应该在哪一天提供的病床最多？最多应该提供多少张？【分析】（1）把x＝1，y＝2和x＝2，y＝11，x＝3，y＝22代入二次函数y＝ax2+bx+c解方程组即可；（2）令y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13）中y＝0，解方程即可求得；（3）分别求出当当0＜x＜15时和当x＞15时，y的最大值，再进行比较可得出结论．【解答】解：（1）把（1，2），（2，11），（3，22）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得，．∴二次函数解析式为y＝x2+6x﹣5；（2）由（1）知，当x＝15时，y＝310，将（15，310）代入y＝﹣5（x﹣m）（x﹣13），解得：m＝46．∴y＝﹣5（x﹣46）（x﹣13），由题意y＝0，则﹣5（x﹣46）（x﹣13）＝0，解得：x＝46或x＝13，∵第15天开始新增病例逐渐下降，∴预计第46天新增病例清零；（3）由题意得，①当0＜x＜15时，第15天时新增确诊病例最多，y＝310，②当x＞15时，y＝﹣5（x﹣46）（x﹣13）的对称轴为直线x＝29.5，∴当x＝30和x＝29时，y取最大，此时y＝﹣5（30﹣46）（29﹣13）＝1280，∵310＜1280，∴政府应该在第30天提供的病床最多，最多应该提供1280张．【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．13．（2022•义乌市模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC＝2，∠BOC＝60°，D为BC中点．某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E．（1）点E的坐标为（，）．（2）好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R．若y′＝PQ+PR，点P横坐标为x．y′关于x的图象如图2，其中图象最低点F、G横坐标分别为、﹣．①求y′与x之间的函数关系式．②写出该函数的两条性质．（3）已知1＜x＜4①若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由x2﹣4x﹣m＝0得m＝x2﹣4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围，请你完成解题过程．②若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，求直接写出m的取值范围．【分析】（1）解直角三角形求出OB，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式和直线OC的解析式，再联立两解析式求出交点坐标即可；（2）①根据函数解析式可得点R、Q的坐标，然后分情况列出y与x之间的函数关系式即可；②根据函数图象可直接得出其性质；（3）①根据二次函数的对称轴及开口方向，求出1＜x＜4时m＝x2﹣4x的取值范围即可；②将问题转化为1＜x＜4时，二次函数＝x2﹣mx+2与x轴有交点的问题，即需满足x＝1时，y＞0或x＝4时，y＞0且x＝m时，y≤0，据此求解即可．【解答】解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，∴＝，∴OB＝2，∴C（2，2），D（2，），设反比例函数解析式为y＝，直线OC的解析式为y＝k2x，将点D（2，）代入y＝得：＝，解得：k1＝2，∴反比例函数解析式为：y＝，将点C（2，2）代入y＝k2x得：2＝2k2，解得：k2＝，∴直线OC的解析式为y＝x，联立，解得：，，∵点E在第一象限，∴E（，）；故答案为：（，）；（2）①∵反比例函数解析式为y＝，直线OC的解析式为y＝x，点P横坐标为x，∴R（x，），Q（x，x），∴当x＞0时，y'＝PQ+PR＝x+，当x＜0时，y'＝PQ+PR＝﹣x﹣；②由图可知：该函数图象关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大先减小后增大；（3）①二次函数m＝x2﹣4开口向上，对称轴为x＝2，∴在l＜x＜4的情况下，当x＝2时，有最小值m＝﹣4，当x＝4时，m＝0，∴﹣4≤m＜0；②∵当l＜x＜4时，关于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，∴当l＜x＜4时，二次函数y＝x2﹣mx+2与x轴有交点，∵二次函数y＝x2﹣mx+2开口向上，对称轴为x＝＝m，∴当x＝1时，y＝x2﹣mx+2＞0，解得：m＜3，或当x＝4时，y＝x2﹣mx+2＞0，解得：m＜，且当x＝m时，y＝x2﹣mx+2≤0，解得：m≥4或m≤﹣4，综上所述，m的取值范围为4≤m＜．【点评】本题是反比例函数、正比例函数、二次函数的综合题，考查了解直角三角形，待定系数法的应用，求函数图象的交点坐标，二次函数的性质等知识，掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键．14．（2022•鹿城区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2＝BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，∵点B的坐标为（3，0）．∴4a+4＝0，∴a＝﹣1，∴此抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）存在．抛物线的对称轴方程为：x＝1，∵点E的横坐标为2，∴y＝﹣4+4+3＝3，∴点E（2，3），∴设直线AE的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线AE的解析式为：y＝x+1，∴点F（0，1），∵D（0，3），∴D与E关于x＝1对称，作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，四边形DFHG的周长即为最小，设直线EF′的解析式为：y＝mx+n，∴，解得：，∴直线EF′的解析式为：y＝2x﹣1，∴当y＝0时，2x﹣1＝0，得x＝，即H（，0），当x＝1时，y＝1，∴G（1，1）；∴DF＝2，FH＝F′H＝＝，DG＝＝，∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG＝2+++＝2+2；（3）存在．∵BD＝＝3，设M（c，0），∵MN∥BD，∴，即＝，∴MN＝（1+c），DM＝，要使△DNM∽△BMD，需，即DM2＝BD•MN，可得：9+c2＝3×（1+c），解得：c＝或c＝3（舍去）．当x＝时，y＝﹣（﹣1）2+4＝．∴存在，点T的坐标为（，）．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【压轴】一、单选题1．（2022·浙江·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】判定一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨设，结合二次函数的图象与性质逐项判定即可得出结论．【详解】解：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，∵P1P2AB，∴S1＝S2，故①错误；②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误；③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确；④如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．（2021·浙江温州·九年级阶段练习）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（

）A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】C【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得△，得到，当点是中点时，最短，当最短时，的面积最小，即阴影部分的面积最小，故可得到阴影部分的面积先减小后增大．【详解】解：令，解得，，，，令，解得，，∵点D与点C关于x轴对称，故，，，则四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得到，，，，，又，，△，，阴影部分的面积=的面积，当点是中点时，最短，即最短时，的面积最小，故可得到阴影部分的面积先减小后增大．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像及正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质．3．（2021·浙江杭州·三模）已知平面直角坐标系中的动点，，满足，，其中，给出下列说法：①动点可以运动到原点；②动点可以运动到第一象限；③动点在轴正半轴上；④动点在第三象限，其中正确说法的序号是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】将变形为，把代入y中，可得，当时，，即①错误；令时，中，，根据的范围即可以在一象限，②正确；，由的范围可知，当时，，即不在正半轴上，即③错误；，由对称轴公式，得时有最大值，把代入：中得最大值为9，即时，，故④正确．【详解】解：满足，，其中，由，得，将代入，得：，当时，，即①错误；∵，∴当时，解得：，故当时可以在第一象限，故②正确；，∵当时，，即不在正半轴上，故③不正确；，当时，即，开口向下有最大值：，∵，∴，即，则在第三象限，故④正确；综上②④正确．故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形的性质．解本题关键要掌握二次函数的性质，和转化未知数的方法以及坐标内点的特点．二、填空题4．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）如图所示，设铁路，B，C之间距离为12，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，单位距离公路费用为4，在上的点M处修筑公路至C，使运费由A到C最省，则当的值为________时，运费最少为________．【答案】

【分析】由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费，再利用一元二次方程根的判别式可得到答案．【详解】解：设则，∴∴上的运费为，上的运费为∴由A到C的总费用为：∴整理得：由题意可得：方程有实数根，∴整理得：当时，则显然所以不符合题意，舍去，∴时，所以费用的最小值为：，此时：设整理得：解得：经检验符合题意，∴∴∴，此时运费为：，故答案为：；【点睛】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，利用一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．5．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．【答案】．【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．【详解】解：∵，，，，∴，，由平移的性质可知：,∴四边形的周长为；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,∴，当B、E、三点共线时，的值最小，设直线的解析式为：，∴，当时，∴∴，将E点坐标代入解析式可得：，解得：，此时，此时四边形的周长为；当时，，，，，此时四边形的周长为：；∵，∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：．【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．三、解答题6．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞0)与y轴交于点C(0，－8)，顶点D的纵坐标是－9．(1)求点D的坐标(用含b的代数式表示)；(2)若直线y＝kx－k(k≠0)与抛物线有一个交点A(x0，y0)；点(x，y)在抛物线上，当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线与直线y＝kx＋12交E，F两点，过点E，F的两条直线分别与新抛物线均只有一公共点，且这两条直线交于点P，直线PE与PF都不与y轴平行，求证：点P在一条定直线上．【答案】(1)(2)①②见解析【分析】(1)把点C的坐标代入，可得c=-8，再由顶点D的纵坐标是－9，可得，据此即可求得；(2)①由题意可得点A的坐标为(1,0)，代入解析式，即可求得解析式；②首先根据平移的规律可求得新抛物线的解析式，设点，，由可得，再设过点E的直线为y=mx+n，可求得过点E的直线为，解得，同理可得过点F的直线为，，最后联立即可求得．(1)解：将C(0，－8)代入解析式，得c=-8顶点D的纵坐标是－9，可得顶点D的横坐标是点D的坐标为；(2)解：①由y=kx-k=k(x-1)可知，该直线必过点(1,0)当x＞x0时，y＞0；当0＜x＜x0时，y＜0该抛物线的开口向上，当点A的坐标为(1,0)时，满足该条件点A的坐标为(1,0)把点A的坐标代入得解得或故该函数的解析式为；②将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移9个单位长度后，得到的新抛物线为：设点，由得，设过点E的直线为y=mx+n得过点E的直线与新抛物线只有一公共点，可得解得，则故过点E的直线为解得同理可得过点F的直线为，联立得：这两条直线的交点P在定直线y=-12上．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，平移的规律，二次函数与方程，一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，综合性质比较强，求出过点E，F的直线是解决本题的关键．7．（2022·浙江·兰溪市实验中学一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．【答案】(1)，(2)或(3)（n为正整数），m的值可以为3．【分析】由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解．分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解．设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解．(1)∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，∴，(2)①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，∴抛物线解析式为，把代入得，解得把代入得，解得或（舍），∴；②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），∴，将代入得，解得，∴，综上，或；(3)如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，则DE为△ABC的中位线，∴，点D坐标为，点E坐标为，由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，则，，解得（n为正整数）．∴m的值可以为3．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质．8．（2022·浙江湖州·九年级期中）抛物线过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交