第1章 解直角三角形【单元提升卷】（浙教版）（解析版）

第1章解直角三角形【单元提升卷】（浙教版）（满分120分，完卷时间100分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试范围：九上全部内容单选题（每题3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，则cos∠A的值为()A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，设BC=5k，AB=13k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可得解．【详解】如图，∵sin∠A=，∴设BC=5k，AB=13k，由勾股定理得，AC==12k，∴cos∠A=．故选A．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝【答案】D【分析】根据三角函数的定义求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2．∴AC＝，∴sinA＝，tanA＝，cosB＝，tanB＝．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．3．一个公共房门前的台阶高出地面1.2m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(

)A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°m D．AB＝m【答案】B【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．【详解】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；故选B．【点睛】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．4．如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°．在Rt△CBE中，BC=50m，∴CE=BC•sin60°=．故选A．5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tanα<1(α为锐角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据锐角三角函数的性质、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系进行判断．【详解】①sin60°=cos30°，故①错误；②tanα>0(α为锐角)，故②错误；③2cos30°=2×=≠＝cos60°，故③错误；④sin30°＝cos60°，正确.故选A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的性质、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系，属于基础题型，比较简单．6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】根据判别式的意义得到Δ=，从而可求出α的正弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=，解得：sinα=，∵α为锐角，∴α=30°．故选B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值．7．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．【详解】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，∴∴，∴（1-）x=1，∴x=．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为(

)A．2 B．3 C．4 D．3【答案】A【分析】过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出AD=CD，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可．【详解】过A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴AD=CD=，在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2，∴AB=2AD=2，故选A．【点睛】此题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．9．在正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为(

)​A．​

B．​

C．​ D．​【答案】C【分析】连接BC，则利用勾股定理可得AC=，BC=，AB=，从而可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中求解sin∠BAC的值即可．【详解】连接BC，则可得AC=，BC=，AB=，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，在RT△ABC中，sin∠BAC=．故选C．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是求出AB、AC、BC的长度，判断出△ABC是直角三角形．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．填空题（每题3分，共24分）11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为________.【答案】【详解】试题分析：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，所以．考点：锐角三角函数．12．已知α为锐角，且2cos2α－5cosα＋2＝0，则α＝________．【答案】60°【分析】用换元法先求出cosα的值，再利用特殊角的三角函数值求出α即可.【详解】解：设cosα=A，则原式=,解得，A=2（因为cosα≠2，舍）或，∴cosα=，∴α=60°.故答案为60°．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值，应用换元法使问题简化是解题的关键.13．如图，小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=____°．【答案】30【详解】解：由题意得AB＝4米，BC＝2米在Rt△ABC中，，∴∠A＝30°．故答案为：30．14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．【答案】【详解】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案为．15．如图，在中，∠B=60°，AB=2，BC=，求∠ACB的度数为____．【答案】45°【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC，∠B=60°，∠ADB=90°，AB=2，则BD=1，AD=，根据BC=1+，则CD=BC－BD=1+－1=，则AD=CD，所以△ACD为等腰直角三角形，即∠ACB=45°考点：直角三角形的性质16．2cos30°－tan45°－＝_________．【答案】0【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可.【详解】解：原式=2×-1-，=-1-（-1），=0.故答案为0.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．17．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于_______．【答案】acosα＋bsinβ【分析】过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，可得四边形DFCE是矩形，从而利用三角函数表示出AE,DF的长，即可求出AC的长.【详解】解：过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵AC⊥BC,∴四边形DFCE是矩形，∴DF=CE,∵AE=AD×cosα=acosα,CE=DF=BD×sinβ=bsinβ,∴AC=AE+EC=acosα＋bsinβ.故答案为acosα＋bsinβ.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和矩形的性质和判定，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键.18．如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为_______厘米【答案】(2－4)【分析】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O'作O'D⊥AB于点D，在直角△AO'D中利用三角函数求得AD的长，则AB'=2AD，然后根据BB'=AB'-AB即可求解．【详解】解：在等腰直角△OAB中，AB=4，则OA=AB=2cm，∠AO'D=×120°=60°，过O'作O'D⊥AB于点D,则AD=AO'•sin60°=2×=cm,则AB'=2AD=2cm，故BB'=AB'-AB=2-4（cm）．故答案为（2-4）．【点睛】此题考查了三角函数的基本概念，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．三、解答题（共66分）19．计算：．【答案】【详解】试题分析：求出各特殊角的三角函数值后，进行二次根式化简.试题解析：.考点：1.特殊角的三角函数值；2.二次根式化简.20．计算：（﹣3）2+（）0﹣+2﹣1+•tan30°．【答案】9．【详解】试题分析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．试题解析：原式=9+1﹣2++×=9．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．21．计算：．【答案】2+【详解】试题分析：根据特殊角三角函数值，可得答案．试题解析：解：原式=﹣=﹣=2+﹣=2+．22．计算：【答案】【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可.试题解析：原式考点：三角函数值的计算．23．等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．【答案】△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′【详解】解：如图所示，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC

，又∵AB=AC，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD=∠BAC，在Rt△ABD中，sin∠BAD==0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′．故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′．

24．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【答案】9海里/时【分析】首先求得线段AC的长，然后利用勾股定理求得线段AB的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．【详解】解：根据题意得：AC=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．∴AC2+AB2=BC2．∴AB2=BC2-AC2=302-242=324∴AB=18．∴乙船的航速是：18÷2=9（海里/时）．25．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．【答案】CE的长为（4+）米【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【详解】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．26．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）【答案】不需要改道行驶【详解】解：过点A作AH⊥CF交CF于点H，由图可知，∵∠ACH=75°－15°=60°，∴．∵AH＞100米，∴消防车不需要改道行驶．过点A作AH⊥CF交CF于点H，应用三角函数求出AH的长，大于100米，不需要改道行驶，不大于100米，需要改道行驶．27．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面与通道平行)，通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度.(1)求通道斜面的长为米;(2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为30°，求此时的长.(结果保留根号)【答案】(1)7.4米；（2）（8+3-3）米【详解】试题分析:（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，根据已知得出DM=CM=CD=3，则AN=DM=3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：，得出BN=AN=6，然后根据勾股定理求出AB；（2）先解Rt△MED，求出EM=DM=3，得出EC=EM-CM=3-3，再根据BE=BC-EC即可求解．试题解析：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD=135°，∴∠DCM=45°．∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，∴DM=CM=CD=3，∴AN=DM=3，∵通道斜面AB的坡度i=1：，∴tan∠ABN