8.6.2直线与平面垂直(第2课时)课件高一下学期数学人教A版

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.2直线与平面垂直第2课时

直线与平面垂直的性质

回顾与引入

我们前面研究了直线与平面垂直的定义和判定定理，在判定定理中给出了直线与平面垂直的充分条件，也就就直线，平面具有怎样的位置关系时直线与平面才能垂直.

思考1：接下来首先请大家回顾一下直线与平面垂直的定义和判定定理：1.与平面垂直的定义:

一般地，如果直线

l

与平面

α

内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α垂足平面α

的垂线直线l的垂面

其中直线l

叫做平面α

的垂线，

平面α

叫做直线l

的垂面．

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P

叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理:

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．即简述：nmlαP

思考2：请大家回顾一下直线与平面平行，平面与平面平行的性质所研究的问题.类似地，你认为直线与平面垂直的性质所要研究的问题是什么？

以a⟂α为前提，研究a、α与空间中的其它直线、平面具有怎样的关系，并且主要研究其中的平行和垂直情况。思考3：根据上一节课的知识，你首先想到的是什么？

若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内

的任意直线.即线面垂直的定义所反映出来的性质：返回知识探究

问题1：明确了直线与平面垂直的性质要研究的问题以后，大家对直线与平面垂直的性质还有哪一些猜想？试类比于探究直线与平面平行性质的思路和方法来探究一下？

问题1：明确了直线与平面垂直的性质要研究的问题以后，大家对直线与平面垂直的性质还有哪一些猜想？试类比于探究直线与平面平行性质的思路和方法来探究一下？

问题2：在以上这些性质中，哪一条最能体现直线与平面垂直关系的本质特征？第2条.

因为在这条性质中，反映了直线与平面的垂直关系与直线间的平行关系的相互转化.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理1.内容:垂直于同一个平面的两条直线平行．即

思考(1)：这个定理体现了直线、平面位置关系上怎样的联系？它可以用来解决什么样的问题？

这个定理揭示了“平行”和“垂直”之间的内在联系，可以由两条直线与同一平面垂直来判定这两条直线相互平行.2.作用:判定直线与直线平行思考(2)：你认要直接证明这个定理存在哪一些困难？返回已知:a⊥α,b⊥α.求证:a//b求证：垂直于同一个平面的两条直线平行证明：假设a与b不平行.记b∩α=O,过O作b′//a.则b,b′可确定平面

β.设β∩α＝c，则

a⊥c，b⊥c.∵

b′//a，由a⊥α,b⊥α得∴

b′⊥c.

这与“

在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂垂直”矛盾．

即在平面

β

内，过点O有两条直线

b，b′与

c垂直

.

∴假设不成立，a//b.思考(3)：请你再总结一下反证法的一般过程？第1步，反设.第2步，归谬.第3步，否定假设，肯定原结论.假设结论不成立或结论的否定成立.利用假设推导出矛盾或错误结论.反证法的一般步骤返回例1.如图，直线

l//α.求证：直线l上各点到平面α的距离相等.例析

思考(1):“直线l上各点到平面α的距离相等”可转化为什么问题？

直线l上任意两点到平面α的距离相等.

思考(2):

如何才能证明“直线l上任意两点到平面α的距离相等”？

只需在直线l上任取两点如A、B，过A、B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，然后证明

AA1=BB1即可.思考(3):

如何才能证明“AA1=BB1”？由线面垂直的性质定理易知AA1//BB1,又由题意知，AB//α,因此这个问题就转化为我们前面所学的一个命题：“夹在一个平面和它的平行直线间的平行线段相等”.例1.如图,直线

l//α.求证:直线l上各点到平面α的距离相等.

证明：

在直线l上任取两点如A、B，过A、B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1.

由线面垂直的性质定理得AA1//BB1.

设AA1和BB1确定的平面为β，则α∩β＝A1B1∵直线

A，B为直线l任意的两点，∴直线

l上各点到平面α的距离相等．

思考(4):由此你能想到如何定义直线到平面的距离吗？平面到平面的距离呢？直线到平面的距离

如果一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离都相等，我们把这个距离叫做这条直线到这个平面的距离.平面到平面的距离

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.平面到平面的距离点到平面的距离直线到平面的距离

思考(5):直线到平面的距离吗，平面到平面的距离，点到平面的距离可以怎样转化？

思考(6):在柱体，台体中，哪个量反映两个平行平面间的距离？柱体，台体的高.例析练习3.如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F是EB

的中点．求证：DF∥平面ABC．课堂小结1.直线与平面垂直的性质要研究的问题是什么？我们是如何想到的？2.直线与与平面垂直的性质定理是怎样的？为什么我们要把这个性质作为性质定理？3.本节课中，我们又用到了反证法，你能总结一下反证法的思路吗？其中要注意什么？如何构建矛盾？4.在证明或求解一个用文字语言表述的命题或问题时大致的步骤是怎样的？

第一步，根据题意作出图形，并标注出已知条件；

第二步，写出“已知”，“求证”等，将条件和结论明确、简洁