高等数学-邓泽华主讲

第一讲函数、极限与连续

考纲要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间

的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.

9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最

大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

问题1如何求函数的定义域？

答求定义域的步骤是：

⑴根据运算要求(如分式要求分母不等于零，开偶次方要求被开方数大于等于零，对数Inx

要求真数x>0,反正弦arcsinx要求凶<1等)列不等式(组)

⑵解不等式(组)

例1.已知/(x)=e,，f[(p(x)]=\-x,e(x)2(),求例x)的定义域.【(—8,()]]

2.设/(x)=sinx,f[(p(x)]=\-x2,求双幻的定义域.亚]]

问题2已知函数/(x),如何求复合函数/S(x)]?

答用代入法，即以夕(幻代替/(x)中的x,就可以求出

例1.已知/(x)=,

2.设/")=,

问题3已知复合函数/3(x)],如何求函数/(外？

答用换元法，即令，二°(x),代入/S(x)],求出/⑺，就可以求出/*).

例1.已知/(sin?x)=,求/(x)；

2.设/(x+,)=r+二，求/(x).

XX

问题4已知函数y=/(x),如何求其反函数？

答求反函数的步骤是：先由y=/(x)解得犬=/々(丫)，再交换x,y,得其反函数

例1.求y=cosx(XE[-乃,()])的反函数.

1—2x~,x<—1,

2.求/(x)=<x3,-1Wx42,的反函数g(x).

12x—16,x>2

问题5如何将|/(x)|,max{/(x),g(x)}」/(x)],sgn/(x)表示成分段函数的形式？

答关键是找出分段函数的分段点，|/(外|的分段点是使/。)=0的点，

max{/(x),g(x)}的分段点是使/(x)=g(x)的点，"(尤)]的分段点是使/(幻取整数的

点，sgnf(x)的分段点是使/(%)=0的点.

例将下列函数表示成分段函数：

1./(幻=卜一4

2.7(x)=max|2-x,x2].

问题6叙述函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义.

答⑴有界性：设函数/(幻在X上有定义，如果存在“〉()，使得VxeX,都有

\f(x)\<M,则称/(x)在X上有界.

⑵单调性：设函数在区间/上有定义，如果々6/，当王<々时，总有

/(x))</(x2),则称/(x)在/上是递增的.如果当玉<々时，总有

/(%,)>/(x2),则称/(x)在/上是递减的.

⑶奇偶性：设函数/(x)的定义域。关于原点对称，如果VxeO,总有/(—x)=/(x),

则称/(x)是偶函数,如果Vxe。，总有/(—x)=—/(x),则称/(x)是奇函数.

⑷周期性：设函数/(x)的定义域为。，如果存在了力0,使得WxeD,都有

/(x+T)=/(%),则称/(x)是周期函数.

问题7叙述基本初等函数和初等函数的定义.

答基本初等函数是指：基函数y=x"、指数函数y=a*(a>0，。声1)、对数函数

y=lognx(a〉0,a*l)、三角函数)'=$布》(cosx,tanx,cotx,secx,escx)反三角函数

y=arcsinx(arccosx,arctanx,arccotx),读者要会画它们的图形，并通过图形记住它们的性

质.

初等函数：由常数和基本初等函数通过有限次四则运算，有限次函数复合得到的，能用一

个式子表示的函数称为初等函数.

问题8如何理解极限的定义？

答以lim/(x)=4为例，lim/(x)=4表示自变量X—>/时，相应的函数值/(x)无

X—>xoX—>10

限接近一个常数4,即/(x)与A的距离|/(x)-川可以任意小，也就是说，只要x和与接近

到一定程度，就可以小于任何正数£,即

Ve〉0,三6>0,当<6时，有|/(x)-川<£或者<f(x)<A+e.

2

取£=1,有A—l</(x)<A+l,得局部有界性：

AAA

若A>0,取£=一，有/(x)>A--=->(),得局部保号性；

222

若re(O,A),取£=A-r,则有/(x)>A-(A-r)=r,

由此可见，函数的极限limf(x)=A反映的是函数的局部性态.

XT而

问题9极限与左右极限有何关系？哪些情形下要求左右极限？

答极限与左右极限的关系是：lim/(x)=A«/(xj)=/(%；)=A.

X-»Xo

求分段函数分段点的极限时，如果分段点两值IJ函数表达式不同时，要求左右极限，此外,

,arctan8型极限要求左右极限.

fx-1,x<0,,

例1.设/(x)=1求limf(x).

x+1,x>0,I。

2.求lim—-.

,v->01r

2-ex

问题10叙述极限的性质.

答数列极限的性质如下：

性质1(唯一性)如果数列｛x,J收敛，则它的极限是唯一的.

性质2(有界性)如果数列｛%｝收敛，则数列｛x,J一定有界.

由此可得：无界数列必发散.

性质3(保号性)如果口01%=。且。>0,则存在NeZ+,V〃>N,x„>0；

“―>8

如果/lI—i>moox,,="且a<0,则存在NeZ+,Vn〉N,x“<().

推论如果limx〃=a,且则a20；如果limx〃=a,且尤〃<0,则。40.

?：­»«*>〃T8

性质4(子数列的收敛性)如果数列｛x“｝收敛于。，则它的任一子数列也收敛于a.

特别，若lim/=a,则limxn+k=a

函数极限的性质如下:

3

性质1(唯一性)如果lim存在，则极限是唯一•的.

XT"

性质2(局部有界性)如果lim/(x)存在，则/(x)在某17(%)内有界.

性质3(局部保号性)如果n01/。)=4且4>0,则在某方(%)内，/(x)>0；

Xf0

如果1加/(幻=4且4<0,则在某方(％)内，/(x)<0.

XT*O

推论如果lim/(x)=A,且在某方(%)内，/(x)>0,则ANO；

如果lim/(x)=4,且在某方(%)内，/(%)<(),则AWO.

性质4(函数极限与数列极限的关系)

设lim/(x)存在，x„eU(x0)且lim=%,则lim/(xn)=limf(x).

X—>AQ〃一»8〃一>8X—>的

注意⑴若limx“=x0而】im/(x“)不存在，则lim/(x)不存在.

"T8”―>8A—>xo

⑵若lim/=玉),limx；=玉),而lim/(x“)Wlim/区)，则lim/(x)不存在

〃一》8"Too"Too"TooXT而

例1.有界数列是否一定收敛？说明理由.

答收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛，例如摆动数列X,=(-1)"T有界，但是不收

敛.

2.证明limsin，不存在.

x->0JQ

问题11叙述极限的运算法则.

答极限运算法则是极限运算的理论基础，法则的作用是：将复杂极限分解为简单极限，

从而简化极限的运算，常用的极限运算法则有：

定理1(极限的四则运算法则)设函数/和g在点X。有极限，则

⑴lim(/(x)+g(x))=lim/(x)+limg(x)；

XTX。刀一/

⑵lim(c/(x))=clim/(x),其中c为常数；

XTX。XT%

4

⑶lim/(x)-g(x)=lim/(x)-limg(x)；

A-»J0XT/

(4)lim(丛»]=]■"")，其中limg(x)#0.

limg(x)J%

XT询

注意极限的四则运算法则的条件是：各函数的极限都存在，且分母的极限不为零.

定理2(复合函数的极限运算法则)设limf(〃)=A,limg(x)=〃o,且在点x0的某去

M-»M0XT/

心邻域内有g(x)W〃o,则复合函数了=/屹*)]当工一与时的极限存在，且

limf[g(x)]=hmf(u)=A.

定理3(塞指函数极限法则)设lim/(x)=A>0,limg(x)=B,则Hm/(x严)=肝.

XTXQX—>AOXT."

注意极限的幕指函数极限法则的条件是：各函数的极限都存在且底的极限大于零.

定理4(洛必达法则)如果(1)lim/LD为9或者无型；(2)iim〃D存在或者为无

XT"g(x)08

穷大，贝him丛»=lim华^

iog(x)…g(x)

问题12⑴若lim(/(x)+g(%)),lim/(x)存在，问limg(x)是否存在?

X—XT.%X—>A0

⑵若limf(x)g(x)，limf(x)存在，问limg(x)是否存在?

•S.qxfq

答⑴若lim(/(x)+g(x)),limf(x)存在，limg(x)一定存在，因为由极限运算法则

X—»xoXT，%XT与

知limg(x)=lim[(/(x)+g(x))-/⑴]存在.

⑵若lim/(x)g(x),lim/(x)存在，limg(x)不一定存在，因为由极限的运算法则知

X-^XQ.r—.r—>.t0

hmg(x)=lim-----——不一定存在例如limxsin—=0,limx=0，而

XTM)XT.于(x)x->0xx->0

,1

xsm-]

lim-----=limsin一不存在.

XTOxXTO%

5

问题13叙述极限存在准则.

答定理1（单调有界准则）单调有界数列一定收敛.

注意若｛当｝递增，且有上界V,则limx“存在且limx“WM；

//—>«■〃一>8

若｛%“｝递减，且有下界血，则limx”存在且limx”2加.

L,〃一>8M—>oo

定理2（夹逼准则）设数列｛%｝,｛%｝,｛zj满足:⑴y“<x”<z"（〃=1,2,…）;⑵

limy〃=lim=。，则limx=a.

“Too»ooX—>oon

问题14求极限有哪些方法？

答求极限是重要的考点，必须熟练掌握各类极限（尤其是不定式）的求法.与极限有关

的考点还有：确定极限式中的常数、已知一个极限求另一个极限、无穷小比较、连续性的讨论、

间断点的分类、可导性的讨论、渐近线、用极限定义函数、用极限研究函数的局部性态等.

求极限的方法有：

⑴极限的定义

⑵连续的定义

⑶导数的定义（增量比”的极限）

Ax:

⑷定积分的定义（积分和的极限）

⑸两个重要极限（类型与形式的统一rS"（x）.1,（］+研月）词re（夕（x）—0））

夕（x）

⑹无穷小与有界函数的乘积是无穷小

⑺单调有界准则（证明极限存在，常用于求递推式的极限）

⑻夹逼准则（适当放缩）

⑼极限存在的充要条件（极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等）

（⑼初等变形（根式有理化、对数恒等式等）

（1D变量替换（倒代换等）

⑫极限运算法则（注意法则的条件）

⑬等价无穷小代换（只有商或者积的分子、分母的无穷小因子才能代换）

0OO

（M）洛必达法则（适用于一或者一且导数之比的极限存在或者为8）

0°°

（15）微分中值定理

⑯泰勒公式（五个函数的麦克劳林公式）

⑰积分中值定理

问题15求极限时，如何正确地使用等价无穷小代换？

答等价无穷小代换是简化极限运算的重要方法，使用时要注意两点：

⑴记住常用的等价无穷小：

当xT（）R寸，sinx~tanx~arcsinx~arctanx-e'-1~ln（l+x）~x，

6

->

1-cosx——,(1+x)"-1~ax(aw()),诡-1~xIna,

其中无穷小X改为无穷小夕（x）时各式仍成立.

⑵这种方法只有在求商或者积的极限时才能使用，且只能将商或者积的分子、分母中的无

穷小因子进行等价无穷小代换.

常见的错误有：

（不是无穷小因子不能代换）

limx-sinx==o

XT。A—>0X，

lim（吧2）F=lim（为系=1（基指函数不能代换）

XTOXx—>0x

问题16如何求不定式的极限？

0OO八,、08

答不定式有七种类型：->一、0・8、8一8、广、0。、8。，其中V、一是两种基

0808

0OO

本类型，其余五种不定式均可化为一、一，方法如下：

08

（）.8型：/超=上=上；

1/g1//

8-8型：f-g（通常利用通分、根式有理化、倒代换）；

一、0。、8。型：/*=/2（慕指型通常利用对数恒等式）.

求不定式的极限，不能直接使用极限的四则运算法则和幕指函数法则，通常要综合运用初

等变形（根式有理化、对数恒等式等）、变量替换（倒代换、线性代换等）、极限运算法则、等

价无穷小代换、洛必达法则，先化简，再计算.

例

1.limx(Vx2+100+x)[-50]

XT—

,sinx1

2.lim-•3

XTOsinx6

3.

X—>8X2

lim(47-cot2x)[-2,

4.

3

1「/2+cosx、x“

5.lrim—[(---r-1]

XT°X36

2+exsinx

6.)

4+

\+exTl

(1Y2

7.limntan—【滔】

〃一>8n)

7

问题17如何求和的极限?

答求和的极限，常用方法有：

⑴先求和(等差、等比、裂项相消、错位相减)，再求极限;

⑵夹逼法(关键是适当放缩)；

⑶定积分(适用于积分和，见第三讲问题9).

12n_1,

例1.lim(-------+---------+…+--------)[-1

ifn+n+ln+n+2n~+n+n2

2.题与k(k+4)

问题18如何利用递推式求极限？

答当数列由递推式给出时，必须先证明极限存在(常常利用单调有界准则)，再利用递推

式求极限.

例1.设q=血，4,+]=j2+a"，求lima”.[2]

2.设0<否<3,x„+l=JXH(3-X„)(n=1,2,•••)，求limx”.[-]

"T82

问题19如何确定极限式中的常数？

答确定极限式中的常数，关键是找到所求常数满足的等式(方程)，除了利用已知极限外,

还要产于发现极限式中隐含的信息，如

⑴若lim丛。存在且limg(x)=0,则lim/(x)=0；

x—>ag(x)x—>ax-^a

⑵若lim/(x)g(x)存在且limg(尤)=8,则

x—^ax—>«

limf(x)=O.

xTa

2

z\n(A-[­x)-ax—bx3生0业心fr,.5.

例1.已知hm----------------=2,求常数a,/7.Ia=l,b=—]

J。j22

2.已知lim(3x-Jax。+/?白+1)=2,求常数tz/.[a=9,/?=-12]

问题20如何从已知极限求另一个极限？

答关键是从已知极限中找出所求极限的相关信息，请看下面的例题.

例1.已知lim竺妇芈»=0,求1加6+4(幻.[36]

XTOXTOx，

问题21何谓无穷小比较？怎样进行无穷小比较？

答所谓无穷小比较就是比较无穷小趋于零的速度的快慢，进行无穷小比较，关键是求它

8

们比值的极限lim等：

0(x)

设a,夕是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小，

⑴若lim2=0,则称仅是比a高阶的无穷小，记作夕=o(a)；

a

⑵若lim2=8,则称夕是比a低阶的无穷小；

a

⑶若lim2=c*0,则称尸是与a同阶的无穷小；

a

⑷若=则称P与a是等价的无穷小，记作夕~a；

a

⑸若lim-4=c^0则称夕是a的k阶无穷小.

a

,,1

例1.设x7Ofl寸，e*-(ax-+bx+l)是比厂高阶的无穷小，求常数a/.【a=—,b=1]

2

2.设XTO时，ew_e"与x"是同阶无穷小，则"=.【3】

问题22如何判断函数的连续性？

答首先要理解函数在一点连续和在一个区间上连续的定义：

-+

函数/(x)在点/连续=lim/(x)=/(x0)Q/(x0)=/(x0)=/(x0)>

函数在一个区间上连续是指它在这个区间上每一点都连续(在区间端点指单假IJ连续)，

由于初等函数在其定义区间上连续，重点是判断分段函数分段点的连续性.

例设/(x)=["+l'确定a,。,使/(X)在其定义域内连续[。=11=0]

x+x+/?,|x|>1.

问题23如何判断间断点类型？

答间断点分类标准是：间断点％处的左、右极限是否都存在，若函数在间断点与处的左、

右极限都存在，则称％为第一类间断点(可去间断点、跳跃间断点)，否则称不为第二类间断

点(无穷间断点、振荡间断点等).

要判断间断点类型，关键是求出间断点处的左右极限.

例求/(x)=(l+x)'4在(0,2")内的间断点并判断其类型.

问题24如何求曲线的渐近线？

答曲线的渐近线有三种：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，求法如下：

设曲线C的方程为y=/(x).

⑴若lim/(x)=c(lim/(x)=c,lim/(x)=c),则y=c是曲线C的水平渐近线;

9

⑵若lim/(x)=8(lim/(x)=oo,lim/(x)=8),则x=c是曲线C的垂直渐近线；

XTCx->c+xtL

⑶若lim/L»=a,lim"(x)—ax]=b(单仰J极限也可以)，则y=ax+b是曲线C的斜

X—>8%X—>8

渐近线.

注意在同一过程中，有水平渐近线就没有斜渐近线.

3

例1.曲线丁=巧丝-的斜渐近线方程为____.【y=x+二】

yjx2

1

2.曲线y=xe1的渐近线方程为.[x=0；y=x]

问题25如何求含参数的极限(极限定义的函数)？

答含参数的极限通常与参数的符号、大小有关，要对参数进行讨论.

1-re，，v

例1.求/(x)=lim—的间断点并指出其类型.[1=0,第二类】

…x+e

2.讨论/(x)=limln(e'+x")—>0)的连续性【》>。连续】

“T8〃

3.设/(x)=limdl+3'",求/(x).

〃—8V11

问题26如何利用极限的保号性研究函数的局部性态？

答关键是利用极限的保号性：若limf(x)=A>(<)0,则在某日(％)内f(x)>(<)0,

1“

得到一个不等式，再结合其它知识，得到函数的局部性态.

例

1.设—=—1,贝在x=a().

…(x-a)

(A)可导，且广(a)W()(B)取极大值(C)取极小值(D)不可导【B】

2.设/(x)在(/(())内连续，且/(())=(),lim-^»=2,则/(x)在x=0().

1-cosx

(A)可导，且八0)声0(B)取极大值(C)取极小值(D)不可导【C】

问题27闭区间上的连续函数有哪些性质？

答闭区间上连续函数的性质是微积分理论的重要组成部分

定理1(有界性定理)如果函数/在闭区间以力]上连续，则它在上有界.

定理2(最大值和最小值定理)如果函数/在闭区间[a,“上连续,，则它在上有最大值

和最小值.

定理3(零点定理)如果函数/在闭区间上连续，且/(a)-f(0)<0,则至少存在一

点、(a,b),使/C)=0.

定理4(介值定理)如果函数/在闭区间[a,“上连续，且则/在[a,H上

1()

必取得介于之间的任何一个值.

推论如果函数/在闭区间“上连续，则/在上必取得介于它的最大值和最小值

之间的任何一个值.

第二讲导数及其应用

考纲要求

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线

的切线和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连

续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微

分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

4.会求分段函数的导数.会求隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数.

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,

了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数的极值的方法，掌握函数

最大值和最小值的求法及其简单的应用.

8.会用导数判断函数图形的凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线.

9.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

问题1叙述导数、微分的定义与几何意义

答I.导数的定义函数y=/(x)在点/处的导数

八%)=lim包二lim仆馆>-"％)=lim,㈤一"..

AS。AXXT%x-xQ

函数y=/(x)在点x0处左导数/'(%)=lim,

Ar->0'A¥

函数)，=/(x)在点X。处右导数/；(与)=lim/史》一"»,

Ax

函数y=/(x)在点x0处可导<=>/〕>(>)=f^(x())；

导数的几何意义：若函数y=/(x)在点与处可导，则/'(%)表示曲线y=/(x)在点

(其中为=/(/))处的切线的斜率，曲线y=f(x)在点加(马,用)处的切线的方

程为

丫一/(%)—%).

2彳散分的定义设y=/(x)，如果△)，=AAx+o(Ax),则称函数/(x)在点x可微，并称

dy=AAv为f(x)在点x的微分.当f(x)在点x可微时，有办二/'(x)Ax=f\x)dx.

当是曲线上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上的点的纵坐标的相应增量.

3.函数y=/(x)在点玉)处有极限、连续、可导、可微的关系是

IWWU丽U丽—丽

11

例1.函数y=f(x)在点/处可导与极限lim/+—一./(为一人)存在有何关系?

Joh

2.函数y=/(x)在点X=0处可导与极限./("-；；)/(())存在有何关系?

问题2如何求曲线的切线？

答关键是求出切点和斜率.

例1.曲线y=lnx上与直线x+y=l垂直的切线方程为.ly=x-\,04-1]

2.设函数y=/(x)由方程盯+21nx=y4所确定，则曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方

程为.[j-y=0,03-2)

3.设/(x)在x=0连续，且lim以»=1,则曲线y=/(x)在点((),/(0))处的切线方程

I。X

为.[y=x]

问题3叙述求导公式与法则.

答1.基本初等函数导数公式(16个)

⑴©'=()⑵。町=必产(3)(axy=ax\na

(4)(e*)'=e，⑸(log“x)-(6)(Inx/=—

xlnaX

(7)(sinx/=cosx(8)(cosx/=-sinx(9)(tanxY=sec2x

⑩(cotx)'=-csc2%(11)(secx)'=secxtanx02)(escx)'=一CSCxcotX

(13)(arcsinx)'=」——

(14)(aarccccosxx)Y---4----―---

Vl-x2

(15)(arctanx)'=—二(16)(arccotxY=----二

l+x1+x2

2.求导法则

定理1(函数的四则运算的求导法则)设〃=〃(1)­=贝工)在点x可导，则它们的和、

差、积、商在点X可导，且

(l)(«(x)±V(X)y=u(x)±v\x);

⑵(〃(x)u(x))'=/(x)u(x)+〃(x)/(x);

⑶(c〃(1))'=c/(x)；

⑷(回)也也您皿£(v(x)^0)

\v(x))V(x)

定理2(反函数的导数)若函数x=e(y)在区间/、,内单调可导，且导数夕'(y)wo,则

它的反函数y=/(x)在对应区间内单调可导，且/'(x)=」一.

(p(y)

定理3(复合导数求导法则)若〃=8(x)在点x处口J导，y=/(〃)在点〃二夕(1)处可.导,

则复合函数y=/S(x)]在点x处可导，且

12

半=半.半=/，(〃)Mx).

axduax

注使用复合函数求导法则的步骤:

⑴将函数读作”的基本初等函数；

⑵对“求导，乘以〃对x的导数.

定理4(莱布尼茨公式)

问题5如何求各类函数的导数(或者微分)

答求导运算是最基本的运算，也是考试中涉及最多的运算，读者必须熟练掌握求导公式、

求导法则(四则运算法则、复合函数求导法则)以及各种函数的一、二阶导数的求法：

⑴初等函数(正确使用求导公式与法则)

⑵分段函数(分段点必须用定义求导)

⑶隐函数(两边求导法、公式法)

⑸抽象函数(正确使用导数记号，注意/'(/)和[/(/)]，的区别)

⑹某指函数(对数求导法)

⑺反函数(导数公式：竺dx=吃j)

dyy

l.y=ln(x+J1+/),求/[-声•【点】

2.设y=-=arctan/,,则半1力=.【多]

3x+2ax4

2

3.设y=l+xe,，求/|x=o，y[,”【y[,=o=e；/|,t=0=2e]

4.设y=y(x)由+y2，n'-4=0所确定，求也.【】

dx2xlnx(/xv+y2,nj)

5.设了二阶可导，且广(x)*0,尤=/'"),)'=『(/)—/«),求g.[-J—1

dxf(?)

6.设y=/(x)与x=[(y)互为反函数，且y=/(x)三阶可导，试用y',y",)严表示

d2xd3x_cl2x_y",以_3尸-y'y”】

歹歹歹=一产斤=7

7.已知函数/(“)具有二阶导数，且7(0)=1,函数)，=y(x)由方程y—xe'T=1所确定,

设2=/(加丫一面外，求生，土|.[―=0,=1]

-dxt=0加LdxI加|,5

问题6如何求分段函数的导数

答分段函数的导数是重点，也是常考点，读者务必通过例题熟练掌握分段函数的求导方

13

法，切记分段函数分段点必须用定义求导.

田

例1.设F(x)=x'其中/(x)在(-8,+8)上具有二阶连续导数，且

J'(O),x=().

/(())=0,求F\x)并讨论F\x)的连续性.

xf(x)-f(x)

,X。0,

【尸'(x)=!,XF\x)在(-8,+oo)上连续］

/(0)

x=0.

2.设/(x)=卜一4[8"),0(x)在x=a连续，讨论/(x)在x=a处的可导性.

问题7哪些情形要用定义求导？

答除了分段函数分段点必须用定义求导外，某些抽象函数也必须用定义求导.此外，求

某些初等函数在一点处的导数，用定义求导较为简单.

例l.^/(x)=x(x-l)(x-2)---(x-100),贝i」/'(0)=.[100!]

2.设/(x+1)=4*)恒成立，/(0)=〃，则广⑴=.lab】

3.设/(x)在(0,+8)有定义，八1)=1,且(0,+8),有盯)=/(x)+f(y),

求/(x).[Inx]

问题8如何求函数的n阶导数？

答求〃阶导数的方法有

⑴归纳法依次求出y',)尸等，观察其规律，写出)("＞；

⑵分解法将函数分解为某些简单函数之和；

⑶用莱布尼茨公式求乘积的n阶导数.

例1.设y=求【丫(")=(一1)"(工一“％7】

x+2

2.设y=求yg.y5)=±(_1)"”！—-----^―

x2-2x-343严(x+1严

问题9如何判别函数的单调性?

答根据函数单调性判别法知，函数单调区间的分界点是其导函数的零点(称为函数的驻

点)或者导数不存在的点.

判别函数单调性的步骤是：

⑴求出函数的驻点和不可导点；

⑵用这些点将函数的定义域分成若干小区间;

⑶确定各小区间上导数的符号(列表)；

⑷判别函数在各小区间上的单调性.

例1.证明/(x)=(1+'在(0,+~)上单调增加.

X

14

2.设/(x)在[。,刈上二次可导且f(())=。，/"(X)<0,证明"D在(0,。]上单调减少.

x

问题10如何求函数的极值？

答根据极他的必要条件知，函数的极值只能在驻点和不可导点取得.

求极值的步骤是：

⑴求出函数的驻点和不可导点；

⑵用这些点将函数的定义域分成若干小区间；

⑶确定各小区间上导数的符号(列表)；

⑷用第•充分条件判别函数在这些点是是否取得极值，是极大值还是极小值.

注对于驻点，也可以用第二充分条件判别.

例l.y=f(x)满足y〃—2y'+4y=0,/(4)〉0,r(x0)=0厕在4处()•

(A)有极大值(B)有极小值(C)在某邻域内递增(D)在某邻域内递减【A】

2.设y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定，求y=y(x)的极值点.【极小点x=1]

?

3.已知函数/。)对一切%满足犷”(幻+3%]/'(刈2=1-0-*,且八与)=(),证明f(xQ)

是/(x)的极小值.

问题11如何判别曲线的凸凹性和拐点？

答根据凸凹性判别法和拐点定义知，曲线凸凹部分的分界点(拐点)只能是二阶导数为

零或者不存在的点.

判别函数的凸凹性和拐点的步骤是：

⑴求出函数二阶导数为零或者不存在的点；

⑵用这些点将函数的定义域分成若干小区间：

⑶确定各小区间上二阶导数的符号(列表)；

⑷判别函数在各小区间上的凸凹性及这些点是否拐点.

例

1.求y=(x—l)•行的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.

2.设y=/(x)有三阶连续导数，且/'(4)=/"(%)=()，/"(X。)丰0问4是否极值点？

(xo，/(x。))是否拐点？证明你的结论.

问题12如何求函数的最值？

答求函数的最值是重点，务必熟练掌握求最值的方法.

分两种情形：

15

⑴若/（x）在［凡切上连续，则求出函数在驻点，不可导点、端点处的函数值，其中最大（小）

的为最大（小）值.

⑵若/（x）在区间/内可导且只有惟一极值，则极小值就是最小值，极大值就是最大值.

例1.在抛物线^=4-炉上的第一象限部分求一点P,过P点作切线，使该切线与坐标

轴所围成的三角形面积最小.【（.,|）］

2.作半径r为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高力为何值时，其体积最小？【/?=4r】

问题13如何求曲线的曲率？

答根据曲线y=/（x）的曲率公式K=（］+1」产2，关键是求函数的一、二阶导数.

问题14叙述微分中值定理.

答微分中值定理是微积分理论的重要组成部分，它们建立了函数与导数的联系，从而可

以用导数研究函数.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中

值定理，叙述如下：

定理1（罗尔定理）如果“X）满足：

（1）在［a,可上连续,

（2）在（a,内可导，

⑶=

则至少存在一点彳€（。力），使得广（4）=0.

定理2（拉格朗日中值定理）设“X）在［a,可上连续，在（a⑼内可导，则至少存在一

点fe（。⑼，使/⑸—/⑷=/'©）S-a）.

定理3（柯西中值定理）设〃x）,g（x）在［a,可上连续,在（a,b）内可导,且g'（x）w0,

则至少存在一点Je使

gM）-g（a）g'C）

例1.设/（x）在［a,b］上连续，在（a力）内可导，证明：,使

/©+5纭）=⑷.

b-a

2.设/（x）在值切上连续，在（Q,b）内可导，且/'（x）w（）,证明:

b-a

3.设/（X）在［a,b］（a>0）上连续,在（a,。）内可导，且/（a）=（（b）=1,证明：

七,〃€（〃力），使得（2严=/©）+£/'©），其中“21为正整数.

4〃

问题15如何证明（讨论）关于方程的根（函数的零点）问题？

答函数的零点（方程的根）是重点，也是常考点，务必通过例题熟练掌握证明（讨论）

16

函数零点问题的方法.

I.零点的存在性证明，即证明存在一点J满足一个等式(用零点定理或者罗尔定理)

△利用罗尔定理证明零点问题，难点是构造辅助函数.请记住下面的常用结论：

若方程为/(x)+xf\x)=0,则令F(x)=xf(x)；

若方程为/'(%)+2/(%)=0,则令尸(x)=f(x)eAx；

若方程为f\x)+f(x)g，(x)=O,则令F(x)=f(x)egM；

若方程为/(x)=0,且/(x)连续，则令/(x)=

2.惟一性证明(先证明存在性，再用单调性或者反证法证明唯一性)

3.零点个数的讨论(先求单调区间，再用零点定理)

例1.若卫+色曰+…+/=(),证明方程％…+即=0在(()」)内至

n4-1n

少有一个实根.

2.设f(x)为［()/］上有三阶导数，且/(0)=/(1)=(),又尸(©=//(幻，证明在(()/)内

至少存在一点J使得F"C)=0.

3.设/(x)在［()』］上连续，在(()』)内可导，且/(())>0,证明：方

程f［x)=x在(0,1)内有且仅有一个实根.

4.设/(x)在［(),+oo)上有连续导数，且/'(x)2k〉0,/(())<0,求证/(X)=0在(0,+8)内

有且仅有一个实根.(03-3)

5.设f(x),g(x)在口向上连续,在(a,b)内可导,且/⑷=/(与=0,证明：

3ce(a,b),使/'(c)+/(c)g'(c)=0.

6.设f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导,且/(())+/(1)+/⑵=3,/⑶=1,证明

丈e(0,3),使/6)=0.

7.设函数/(x),g(x)在［a,句上连续，在(。力)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

/(a)=g(a)J(b)=gS),证明：存在使得了"C)=g"C).

8.讨论方程Inx=ax(a>0)有几个实根.

9.讨论曲线y=41nx+Z与y=4x+ln,x的交点个数.

I2

10.在区间(一8,+8)内，方程「中-cosx=()有几个实根？

问题16如何证明不等式？

答证明不等式是常常考题型之一，务必通过例题熟练掌握证明不等式的方法.证明不等

式的方法有

⑴用中值定理利用将函数不等式转化为导数不等式.