高考数学重点难点23求圆锥曲线方程

高中数学难点23求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等

价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们

熟练掌握好圆锦曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题

等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

・难点磁场

22

1.(★★★★★)双曲线--J=l(beN)的两个焦点Fi、F2,P为双曲线上一点，\0P\

4b-

V5,IPF|l,IQF2lJPF2l成等比数列，则b2=.

2.(*★★★汝口图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其

弧长比为3：1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线/：x-2y=0的距离最小的圆

的方程.

・案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚

轴)旋转所成的曲面，其中A、4'是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点,

B、B'是下底直径的两个端点，已知A4'=14m,CC'=18m,Bfiz=22m,塔高20m.

(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.

(2)求冷却塔的容积(精确到10n?,塔壁厚度不计，)取3.14).

命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用

所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积.

错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点.

技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积.

解：如图，建立直角坐标系xOy,使44'在x轴上，44'的中,

点为坐标原点。，CC与BB'平行于x轴.飞--------T

设双曲线方程为+-卡■=1(">0力>0),则=7—-----J------卜力

又设B(ll,yi),C(9/2)因为点仄C在双曲线上，所以有

里一止=1竺一

72h2~572b2~

由题意，知丫2—M=20,由以上三式得：丫］=-12,》2=8/=7应

22

故双曲线方程为二-二=1.

4998

（2）由双曲线方程，得丁=，/+49

223

设冷却塔的容积为"n?）,则£^Jy=^£2（ly+49）Jy=^（1）-+49y）l!12，经

计算，得y=4.25Xl（）3（m3）

答：冷却塔的容积为425X1（^3

［例2］过点（1,0）的直线/与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为也的椭圆C相

2

交于A、8两点，直线y=；x过线段A8的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线

/对称，试求直线/与椭圆C的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础

性强，属★★★★★级题目.

知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.

错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问

题是解决好本题的关键.

技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆

锥曲线方程，两式相减得关于直线力B斜率的等式.解法二，用韦达定理.

解法一：由e=£=,W—~~=L从而a2=2b2,c^b.

a2a22

设椭圆方程为f+2y2=2但加）,8（尤2,），2）在椭圆上.

贝ljXt2+2y\2=2b2,x^+2y2=2b2,两式相减得，（x/—%22）+20,12—

疥=0,91=_上山」

玉一心2（必+为）

设AB中点为（沏,%）,则kAlt=—3-，又（沏9）在直线尸1上，yo=［xo,于是一

2yo222yo

—1,^B=-1,设I的方程为y=-x+\.

右焦点©0）关于/的对称点设为（x'，），'）,

If

3-=l

xf=l

则I解得

上=-3+1y'=\-b

122

99

由点(1/一b)在椭圆匕得1+2(1—⑦2=2b2,/=—,a2=—.

168

...所求椭圆C的方程为半+和=以的方程为y=-X+L

解法二：山e=£=遂s得^—T—=L从而。2=2/£=尻

a2a22

设椭圆C的方程为丁+2)2=2成/的方程为y=k(x-l),

将I的方程代入C的方程，得(1+2户4产x+2产—2/=0,则x］+X2=----7，力+)'2=k3

1+2K.

2k

—1)+做12-1)=攵(尤］+必)-2k=

}+2k2

直线/：尸gx过4B的中点(三产-k12k2

.+为)，则解得《=o,或上

21+2公21+2/

-1.

若k=0,则/的方程为尸0,焦点厂(c,0)关于直线/的对称点就是F点本身，不能在椭圆C

上，所以8=0舍去，从而&=-1,直线/的方程为广一(x—1),即)=-x+1,以下同解法一.

［例3］如图，已知△POP2的面积为9三7，P为线段夕出2的一个三等分点，求以直线

4

OP1、0P2为渐近线且过点P的离心率为反的双曲线方程.

2

命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决

问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方

程.

错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出

△PQ2的面积是学生感到困难的.

技巧与方法：利用点尸在曲线上和△尸。尸2的面积建立关于参数。、b的两个方程，从

而求出。、h的值.

解：以。为原点，/PQP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.

22

设双曲线方程为--彳=1（〃>0力>0）

ab

33

.••两渐近线OPi、OP2方程分别为y=1x和y=一1x

设点Pig,■|々）12。2,—1应）（修>0内2>0）,则由点P分质所成的比才=黄=2,得尸点坐

标为（中,『）,又点「在双曲线［率T上，所以齿立（X]―24/_[

9〃2

即（为+2应）2—但一2^2尸=9〃2,整理得Sx\X2=9a2①

又I。41=JX|2+%]2=半毛JOp|=

X2

93

2tanPjOx_X2_12

sinPOP=

}21+tan2Pox]+213

4

11131227

••儿勺。玛=耳1。巴110%l・sinP]。%=--XjX--=

2T

a

即X}X2=—②

2

由①、②得々2=4力2=9

29

故双曲线方程为二-二=1.

49

•锦囊妙计

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在

哪个坐标轴上时，可设方程为//2A2+/?J?2=1（tn>0,n>0）.

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

・歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)已知直线x+2y—3=0与圆/+尸+*-6)＞+而=0相交于P、。两点，。为坐标

原点，若OP，。。，则皿等于()

A.3B.-3C.lD.-1

2.(***初中心在原点，焦点在坐标为(0,±5后)的椭圆被直线3彳一丫-2=0截得的

弦的中点的横坐标吗，则椭圆方程演)

A2x22y2B.空+支=]

A.-----+-^—=1

25757525

2222

D.jj

25757525

二、填空题

3.(****)直线I的方程为y=x+3,在/上任取一点P,若过点?且以双曲线12/—4丁=3

的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为.

4.(★★★★)已知圆过点P(4,—2)、。(一1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4VL

则该圆的方程为.

三、解答题

5.(*****)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F,例是

椭圆上的任意点，IMFI的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆匕存在着以y=x为轴的对

称点必和Mi，且1MlM21=士乎，试求椭圆的方程.

6.(****)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支

撑，求其中最长的支柱的长.

7.(*****)已知圆C|的方程为(x—2尸+(y—1尸=?•，椭圆

G的方程为二7+当~=1(。＞匕＞。)，。2的图心率为'二，如果C[

a2b22

与C2相交于48两点，且线段AB恰为圆G的直径，求直线AB的方程和椭圆。2的方程.

参考答案

难点磁场

1.解析：设F|(-c,O)、F2(C,0)、P(x,y),则

22

\PF{F+IP&F=2(|po|2+|F|0|2)<2(5+C),

即伊尸『+仍尸2|2<50+2。2,

又•.•|尸产1|2+|「3|2=(炉产||一衣尸21)2+2仍尸11*\PF2\,

依双曲线定义，有IPQITPF2l=4,

依已知条件有IPQI•1尸产21=条1尸2产=4。2

/.I6+8C2<50+2C2,.\C2<—,

3

又C2=4+/>2<—Z>2<—b2=\.

33

答案：1

2.解法一：设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴、)，轴的距离分别为冏、lai

♦.•圆P截y轴所得弦长为2,Ar2=a2+l

又由题设知圆尸截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长481=立厂,故/=2后,从而有

2/>2-a2=l

又•.•点P(a,b)到直线x—2)，=0的距离,

因此，5d2=|〃—2h\2=a2+4h2—4ah^a2+4h2—2(6/2+/?2)=2Z>2—a2=l,

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1,从而d取最小值，为此有

a=b”。=1a

2Z=］得或

b=\匕=一1'

*.*r2=2/72,r2=2

于是所求圆的方程为：(X—1)二(y—1)2=2或。+1)2+。，+1)2=2

解法二：设所求圆P的方程为(无一〃9+(y—y=J(r>0)

设4(0,巾)/(0,g)是圆与y轴的两个交点，则乃、g是方程a2+(y—h)2=r2的两根，

•\y\.2=5±\r2-a2

由条件①得1481=2,而1431=1以一力1,得r2-a2=l

设点。但,0)、力(必,0)为圆与工轴的两个交点，则即也是方程。一。)2+/=/的两个根,

.*.%].2=々土J厂2—匕2

山条件②得1。。1=血匕又山1。。1=卜2一川，得2/=/,故2h2=a2+1

设圆心必到直线尤一2尸0的距离为d」。濯

：.a-2b^±亚d,得/=(2任亚42=4/±4否从/+5/

又,.•/=2及一[,故有2b2±4石机/+5/+1=0.把上式看作b的二次方程,

•••方程有实根.

:.4=8(5/—1)20,得5屋21.

2+1=0,

得2b2±4b+2=0,解得b=+l.

从而/=2b?=2,a=±Jr?-1=±1

于是所求圆的方程为（犬一1）2+。-1y=2或（X+1）2+。，+1）2=2

歼灭难点训练

一、1.解析：将直线方程变为x=3—2y,代入圆的方程F+y'+x—6y+m=0,

得（3—23»）2+}'2+（3—2y）+〃?=（）.

整理得5）1一20），+12+m=0,设尸（无必）、。（工2»2）

12+m

贝ll"2=-,-y-,-+-j-2=4.

又,：P、。在直线x=3-2y上,

，X,X2=(3—2y0(3—2y2)=4yly2-6。“+丫2)+9

故)仍+可工2=5)“)，2-6(yi+y2)+9=，〃­3=0,故m=3.

答案：A

2.解析：由题意，可设椭圆方程为：彳+―=1,且/=50+应

ab

即方程为y

50+/

将直线3x-j-2=0代入，整理成关于x的二次方程.

由片+必=1可求得//=25,J=75.

答案：C

二、3.解析：所求椭圆的焦点为吊（一l,0）,F2（l,0）,2"=IPQI+IPF2l.

欲使2a最小，只需在直线/上找一点P.使IPQI+IPFJ最小，利用对称性可解.

22

答案：—+^-=1

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4.解析：设所求圆的方程为（x—af+G一6）2=尸

(4-4)2+(-2—6)2=产a=1a=5

则有，(-1-4)2+(3-6)2=尸=,b=0或b=4

\a\2+(2百)2=户j2=13r2=27

由此可写所求圆的方程.

答案：x2+y2~2x~12=0或x2+7-10A—8y+4=0

三、5.解：IMFImaxUq+C'JMFIminUa-C,则(a+c)(a—c)=/—<2=/?2,

22

=4,设椭圆方程为靛+?=1

设过M\和M2的直线方程为y=~x+m②

将②代入①得：（4+〃2）/2—2〃2mx+〃为2—4。2=0③

设MGl田）、M2a2J2）,M]M2的中点为（XoJo）,

a2in4m

Xo=2)=

则彳(占+尤------T,yo=—xn+m=-----.

24+a-------------4+a

24m

代入y=X,得

4+a4+/

山于a2>4,.*./H=0,/.由③知X]+x）=O内必=一,

4+。/

又IA/]“21=+々)--4x/2=-,

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代入乃+必可尤2可解/=5,故所求椭圆方程为：—+^