2020届山东济宁兖州区高三网络模拟考试数学试题（解析）

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2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考试数学试题

一、单选题

1.已知集合4={丁}=2，，*61^,8={x"=lg(2_x)}则AC|8=()

A.(0,2)B.(F,2]C.(F，2)D.(0,2]

【答案】A

【解析】先根据指数函数的值域求出集合力，然后根据对数函数有意义求出集合B,最

后根据交集的定义求出所求即可.

【详解】

,**/!={y\y=2X,xRR}=[y]y>0},lg(2-x)}={M2-x<0}={A|X<2}=(-

8,2),

.••/n8={M0<x<2}=(0,2),

故选A.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合Z,8是解决本题的关键，比

较基础.

I

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2.若复数二」(aeR层纯虚数，则复数2a+2/在复平面内对应的点位丑)

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】化简复数，由它是纯虚数，求得。，从而确定2a+2i对应的点的坐标.

1+z

【详解】

2a+2/2(tz+Q(l-z),Ia+1=0

=a+l+(一)，是纯虚数，则一,0,a=-1,

1+z(1+0(1-/)

2a+2i=-2+2i,对应点为(々2),在第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考有复数的概念与几何意义.本题属于基础题.

3.AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于AQI时称空

气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是

()

八AQ1

250

QLAII11I11II1II

e科怏龄'龄心徐京术24日向

A.这12天的AQI的中位数是9()

2

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B.12天中超过7天空气质量为“优良”

C.从3月4日到9日，空气质量越来越好

D.这12天的AQI的平均值为10（）

【答案】C

95+92

【解析】这12天的AQI指数值的中位数是二y—=93.5,故A不正确；这12天

中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92共6天，故B不正确；；

从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值为

110,故D不正确.

故选C.

4.直线/：2x-y+e=0的倾斜角为a，则sin（兀-a）sin]+aj的值为（）

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】先由倾斜角和斜率的关系得到tana=2，再利用诱导公式和同角三角函数基本

tqnzy

关系将原式变形为一s一7，代入tana=2计算即可.

tan-«+l

【详解】

解：由已知得lane=2,

.,、.，兀、.sinacosatana22

'7<2）sin2a+cos2atan2a+l22+l5

3

»*

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故选：D.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，是基础题.

5.已知正数机，〃满足加(〃-1)=8〃，则m+2〃的最小值是().

A.18B.16C.8D.10

【答案】A

Q1

【解析】根据正数加,“满足，”(〃-1)=8〃，可得一+―=1,然后由

mn

〃?+2〃=W+2〃)(5+£],利用基本不等式求出〃2+2〃的最小值.

【详解】

Q1

解：•••正数"2,〃满足以〃-1)=8〃,.-.-+-^1.

mn

1677m

当且仅当一=—,即根=12,〃=3时取等号，

tnn

.•.，”+2〃的最小值为18.

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属于基础题.

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71

6.等腰直角三角形ABC中，ZACB=e,AC=6C=2,点P是斜边AB上一点，

且8P=2PA,那么守不+守丽=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【解析】将通用也与而进行表示，代入可得答案.

【详解】

.__1_____1____2___1___

解:由题意彳导:CP^CA+AP^CA+-AB^CA+-（AC+CB）^-CA+-CB

3333

CPCA+CPCB^-CA+-CB2^+-^4,

3333

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难.

7.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经A卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、

艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（—表示一根阳线,-------表示一根阴线），

从，桂卜中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）

5

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1155

A.—B.-C.—D.—

1472814

【答案】D

【解析】直接根据概率公式计算即可.

【详解】

从八卦中任取两卦，基本事件有=28种，

其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，

"25

•••这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p=-=—

n14

故选：D

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题.

8.已知函数g(x)=e'-e-』，/(%)=烟0),若4=/(-3)/=/；),c=/(3),

则a,6,c的大小关系为()

k.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】由题意可得g(x)=e'-e-'为奇函数，且在R上单调递增，进而判断出/(x)为

偶函数，且在(0,+8)上递增，即可比较大小.

【详解】

..6

»*

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解：依题意，有g(T)=-g(x),则g(x)=e'-e-'为奇函数，且在R上单调递增，

所以/'(x)为偶函数.

当X＞0时，有g(x)＞g(O),

任取N＞々＞。，贝！1g(玉)＞g(9)＞。，由不等式的性质可得不g(%)＞工28(々)＞0，

即/(%)＞/(%)＞。，所以，函数/(X)在(0,+8)上递增，

因此,/图＜(|卜/图＜八3),

故选：C.

【点睛】

本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，

属于中档题.

二、多选题

9.下列判断正确的是()

人.命题〃："古＞0，使得d+x+ko，则P的否定：“Vx«O，都有V+x+i^o”

JT

B.AABC中，角A5,。成等差数列的充要条件是8=］；

C.线性回归直线$=%+©必经过点(石,)，1),(%2，书，…(工,2,,)的中心点(元歹)

D.若随机变量4服从正态分布N(l,b2),p(jw4)=0.79,则尸(弊-2)=021；

7

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【答案】BCD

【解析】A.通过特称命题的否定的为全称命题来判断；

B.利用等差数列的概率及三角形的内角和来判断；

C.通过线性回归直线y=bx+a必过样本点中心来判断；

D.根据随机变量J的对称性来判断.

【详解】

A.命题p：'弓尤>0,使得f+x+ivo，则。的否定为:KVx>0，都有/+尤+120”，

故错误；

2B=A+C7i

B.角成等差数列o.0尸。8=丁，故正确；

A+B+C=7T3

C.线性回归直线y=bx+a必经过点（%,y）,（天,必），…（七,X,）的中心点（只了），故正

确；

D.若随机变量J服从正态分布N（l,4）,<4）=0.79,

则P^<-2）=P（^>4）=1-P信<4）=1-0.79=0.21,故正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查特称命题的否定，考查等差中项的应用，考查回归直线的性质，考查正态分布

的对称性，是基础题.

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形,ZDAB=60°,侧面PAD为

二•：8

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正三角形，且平面PAD_L平面ABCD,则下列说法正确的是（）

A.在棱上存在点例，使AD_L平面PMB

B.异面直线与//所成的角为90°

C.二面角P-3C—A的大小为45°

D.50,平面PAC

【答案】ABC

【解析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.

【详解】

解：如图，对于A，取AD的中点M,连接,••,侧面PA。为正三角形，

：.PM±AD,又底面ABC。是菱形，ND4B=60°,是等边三角形，

AD±BM,又PMcBM=M,PM,8Wu平面PMB,

9

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A£)_L平面P8M，故A正确.

对于B,•.•4。，平面依“,：.AD±PB,即异面直线A£)与P6所成的角为90。，

故3正确.

对于C,，•平面BBCn平面ABCD=BC,BC//AD,平面,

:.BCLPBBC1BM,

.•./?8加是二面角。—6。一4的平面角，设AB=1,则8M=正，PM=—,

22

PM

在RtAPBM中，tanNPBM=——=1,即ZPBM=45,故二面角P-BC-A的

BM

大小为45。，故C正确.

对于。，因为BO与Q4不垂直，所以与平面PAC不垂直，故。错误.

故选/ABC

【点睛】

本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.

11.已知向量碗.=卜足工,一J5),5=(cosx,cos2x),函数/(x)=2而不+有+1,下

列命题，说法正确的选项是()

A.f^-x^=2-f(x)

TC

H的图像关于'=I对称

x

C.若0<X|<x2<y，则/（X|）</（2）

10

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兀71

D.若和々，/6，则/（芭）+/（%2）＞/（%3）

【答案】BD

【解析】首先根据条件可得/（x）=2sin（2x-51+l,再根据三角函数的性质，通过

代入验证，整体运算，逐一判断即可.

【详解】

函数/（x）=2sin（2x-1J+l,

A:当x=0时，/仁一,=/闺=1,2二〃力=2-〃0）=1+6，故A错；

B:/仁-x）=2sin（-2%）+1,当x=?时，对应的函数值取得最小值为T,所以B

正确；

所以函数/(%)=2sin(2x—?1+1在

C:时,

不单调，故C错；

D：因为xe，所以.等，二/（X）€[6+1,31,

又2（肉1）＞3，即

兀兀

2/（力神＞/（%）3和尤2,尤3€]，、（%）+/（々）＞/（七）恒成立,故D对;

故选：BD.

11

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【点睛】

本题考查以向量为背景的三角函数性质的问题，熟练掌握性质的求解和判断是关键，是

中档题.

12.设椭圆的方程为［+1=1,斜率4为的直线不经过原点。，而且与椭圆相交于

A,B两氨，M为线段AB的中点.下列结论正确的是()

A.直线AB与垂直；

B.若点M坐标为(1/)，则直线方程为2x+y-3=0；

(13、

C.若直线方程为y=x+i,则点M坐标为l叠

134yz

D.若直线方程为＞=x+2，则

【答案】BD

【解析】根据椭圆的中点弦的性质心酸左加=-4■判断ABC;将直线方程为y=x+2,

ar

与椭圆方程］+q=1联立，求出交点，进而可求出弦长.

【详解】

4

对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质=--=-2*-1,

所以A项不正确；

对于B项，根据kAB•kOM=-2,所以kAR=-2,

12

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所以直线方程为y_l=_2(x—l),即2x+y-3=0,

所以B项正确；

14

对于C项，若直线方程为y=x+l,点，则原屋％=卜4=4〜2,

所以C项不正确；

对于D项，若直线方程为y=x+2,与椭圆方程!+[=1联立，

24

彳导至U2/+(x+2)2—4=0,整理彳导:3X2+4%=0,

4

解得玉=。,％2=一1，

所以卜g—o=半,

所以D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查椭圆中点线问题，熟记关系式心/生”=-4■可减少计算，是基础题.

三、填空题

13

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13.。犬+9］的展开式中，X、项的系数是_________.

【答案】240

【解析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3,计算展开式中含有/项的

系数即可.

【详解】

由题意得：乙=C；（2x）6-r（?,只需6-,可得厂=2,

代回原式可得［=240无3,

故答案：240.

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难.

22

14.以双曲线3r=1（。＞0为＞0）的右焦点F（c,0）为圆心，a为半径的圆与

Q-b"

。的一条渐近线交于A,B两点,若|AB|=gc,则双曲线C的离心率为.

【答案】矩

5

【解析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可.

【详解】

解：•••双曲线的一个焦点为尸（c,0）,双曲线的一条渐近线为y=2*,即/-孙=0,

a

A-14

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\bc\be,

焦点到渐近线的距离d==—=b

j>Ja'2+'b2c

'：\Af\=\Bf\=a,

I，4=VAF2—DF2—yJa2—b2

则同=2\AC\=2V«2-b2=|c,

4

平方得4（浜-3）=gd,

即岸-c2+a2=—c2,

9

则2浜=当c2,

9

则,

则c=^-a,

5

即离心率&=之叵,

5

故答案为：述.

5

15

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【点睛】

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决

本题的关键.

15.已知函数“龙)满足/(x—3)=/(x+3),若在区间

［Y，4］内关于x的方程3/(x)=Z(x-5)恰有4个不同的实数解,则实数Z的取值范

【答案】-半，-!U{o}

I7引

【解析】由题意，把在区间［Y,4］内关于X的方程3/(x)=5)恰有4个不同的

实数解，转化为函数)'=/")与y=g(x-5)的图象在区间［-4,4］内有4个不同的交

点，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数/(x)满足/(x-3)=/(x+3)，即/(x)可举+6)，即函数/(x)是

以6为周期的周期函数，

「.16

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又由在区间［T4］内关于x的方程3/(x)=攵(％-5)恰有4个不同的实数解，

即在区间4］内关于x的方程/(%)=g(x-5)恰有4个不同的实数解，

即函数y="X)与y=g(X-5)的图象在区间［-4,4］内有4个不同的交点，

又由函数，作出函数的图象，如图所示，

［l-|x-3|,xe(2,4］

k

由直线y=§(x-5)，可知直线恒过点P(5,0),

当攵=0时，此时直线＞=0与函数V=/(X)的图象恰有4个交点，

当直线过点A(—3,3)时，此时］=与之=-：,即％=-=,此时函数y=〃x)与直

3—3—5oo

k

线y=y(x-5)有5个同的交点,

当直线y=-|(x-5)与半圆y=y/4-x2相切时，此时圆心到直线米-3y-5左=0的

距离等于圆的半径，即j［［［SA=2，解得攵=-冬"或左=马答(舍去)，此

时函数V=/(%)与直线y=g(x-5)有3个同的交点，

此时函数＞=与直线)，=g(x—5)恰有4个同的交点，则-2叵＜k＜--

综上可知，实数4的取值范围是(-各答，-|)U{0}-

17

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本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数的解析式和周期作出

函数/（X）的图象，把方程的解答的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用数

形结合法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，

试题综合性强，属于中档试题.

16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽彩，俗称“粽子”，古

称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国

主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将

它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为一；若

该六面体内有一球，则该球体积的最大值为一.

【解析】（1）先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出

该六面体的体积；（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切

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时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.

【详解】

(1)每个三角形面积是S=7xlx2j=T,由对称性可知该六面是由两个正四面合

成的，

可求出该四面体的高为立］=如，故四面体体积为k立、，5=立,

\3334312

因此该六面体体积是正四面体的2倍,所以六面体体积是在；

6

(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的

对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，

连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R,

所以当'=6*JxfxRnR=^~,所以球的体积

6I34J9

V=±£R3=也(四］］述..

3319J729

故答案为：e；嗓.

6729

【点睛】

本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻

辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，

考查运算求解能力.

19

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四、解答题

17.如图，在四边形ABC。中，

ZADB=45°,ZBAD=105°,AD=—,BC=2,AC=3

2

(1)求cosNABC的值；

（2）若记ZABC=a，求sin|^2a-yj的值.

【答案】（1）-且；（2）也MI.

612

ARAn「

【解析】（1）通过正弦定理.-2=.八求出AB=g,再在口45c中由余

smZADBsinZABD

弦定理可得cos/ABC;

（2）由（1）可得cosa=-且，sina=R^，再利用两角和的正弦公式及倍角公式

66

可求sin（2a-今）的值.

【详解】

(1)由题意，因为ZAD8=45°,2840=105°,.•.NAB£)=30。，

20

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*/AD=,BC-2,

2

>/6

中，由正弦定理可得，A8=3,A8=百，

sin45°sin30°

vAC=3.

□AHC中由余弦定理可得'……降I亲=子；

(2)由⑴可得cosa=一^~,sina=

66

sin2a=2sinacosa=-MZcos2a-2cos2a-1-—f

66

，sin(2a」〕」sin2a-里。s2a=56-加

(312212

【点睛】

本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查倍角公式与和角公式的灵活应用，是中档题.

18.在①。3=5，％+。5=64；②=2,。3+“4=3&；③S3=9,%+。5=8b2,

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知等差数列｛4｝的公差为d(d>l)，前〃项和为S“，等比数列他』的公比为q,

且q=",d=q,.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式.

(2)记。“=彳，求数列｛%｝，的前"项和注：如果选择多个条件分别解答，按

21

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第一个解答计分.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，

公比即可,(2)数列｛c,｝是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。

【详解】

方案一：选条件①

(1)a3—5,a2+a5=6%ax—b19d=q,d>\

4+2d=5

2。1+5d=6%d

25

ciu,=—

解得4=1。或:6(舍去)

d=2.3

ia=—

I12

.4=i

4=2

an

=2〃-1

bn=b、q2=万

(2)•““=名

••£=翌=(2〃-1»弓尸

22

s千里之行始于足下

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、2n-271—1

]_d----F(2n-3)x(j+(2n-l)xg

/.T=1+3x-+5x

〃227

、

•d+3x]?+5xi+…+(2…出厂

127

・・・

/=l+2一(2"l)x,)

ZJ-1

fl

-1-

2J

l+2x—,-NT小

=3_(2〃+3)x(g)

zi-1

二7；=6-(2〃+3)x(；)

方案二：选条件②

(1),:b2=2M3+4=3b3,%=bvd=q,d>1

a"=2

2

2%+5d-3a}d

:.<%d=2

[2。]+5d=6d

a,=ICl,=-1

解得1或4d=-2(舍去)

d=2

b=1

<1

a=2

23

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/.an-ax+(n-\)d

=2n-l

b“=b、q2=22

(2):%*

a

%=翌=（2"1）吗严

、2zi-1

.-,7；;=l+3xl+5xf|+…+(2〃-3)x(g)+(2H-1)x

275.

+(2n-l)xfl

亨=；+3X]£|+5X]£|+...+(2〃-3)X[£|

7

8

=3—(2〃+3)x(；)

:.Tn=6-(2n+3)x|^l

方案三：选条件③

/.S3=9,4+%=8b2,%-b、,d-q,d>1

24

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q+d=3

2%+7d=8qd

21

解得，4=1或8

（舍去）

3

d

8

4=1

g=2

an=%+(n-l)d

=2n-l

=2"~l

(2),••c〃

b”

=(2n-l)x

+3x；+5x[g)+...+(2〃一3)x[；)+(2n-l)x^

riY<IY_,

+5x—+・・・+(2〃-3)x—4-(2H-1)X—

<\2y

申=1+2尹({)+…+[)-(2"1咱

25

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W-I

;1-出

-(2〃-1”出

l+2x

二3-(2〃+3)x[g、

7

.•.7；=6—(2〃+3)x(g)

【点睛】

此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。

19.已知平行四边形A5CD中，AB=1,AD=2,ABLBD.E是线段AO的中

点，沿BQ将ABC。翻折到ABC'。，使得平面平面BCD.

(1)求证：，平面BCD;

(2)求二面角E—3C'—。的余弦值.

【答案】(】)见解析；(2)早

【解析】(1)首先证出C'OJ_BO,再利用面面垂直的性质定理即可证出.

(2)以。为原点,DB,CD,。。所在直线分别为x，匕二轴建立如图所示的空

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间直角坐标系。一盯Z,求出平面BEC,的一个法向量，平面BDC'的一个法向量，利

用空间向量的数量积即可求解.

【详解】

（1）由题意可知CD=B4=C'O=1,BC,=BC=AD=2,ABA.BD,

即+,故CD人BD.

因为平面3co_L平面A3。，平面BC'Ofl平面4RD=8D,C'Ou平面,

所以C'。，平面BCD

(2)由(1)知。。，平面,且CD_LB。,

以。为原点,DB,CD，OC'所在直线分别为x,》，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,

则。（0,0,0）,A（石,1,0）,B（瓜0,0）,0（0,0,1）.

>/31八］

由于E是线段A£>的中点，所以E石子0在平面中,

7

BE,阳=卜6,0,1）.

22J

由1n

BEM=0

设平面BEC'的法向量为n=(x,y,z),则,即22

-6x4-2=0

令x=l,得y=z=百,

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所以平面BE。的一个法向量为5=（1,G,G）,

而平面BOC'的一个法向量为DC=（0,-1,0）.

故cosG，反）=百箴「一母,易知二面角E-BC-O的平面角为锐角,

故二面角E-BC-D的余弦值为卫~.

7

【点睛】

本题考查了面面垂直的性质定理以及空间向量法求二面角，解题的关键是建立恰当的坐

标系，属于基础题.

20.已知抛物线E：y=/,的焦点为尸，过点尸的直线/的斜率为Z，与抛物线E交

于A,B两点,抛物线在点A,3处的切线分别为4,4,两条切线的交点为。.

（1）证明：ZADB=90。;

（2）若MBD的外接圆「与抛物线C有四个不同的交点，求直线/的斜率的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）左＞6或左＜-6

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【解析】（1）联立直线/与抛物线的方程，利用根于系数关系，结合斜率表达式求得

桃2=T即可；

（2）由（1）可知，圆「是以A3为直径的圆且圆「的方程可化简为

/+/_丘_（公+3方_2=0,联立圆与抛物线的方程得到

,--%2+履+/。，圆/与抛物线E有四个不同的交点荆介于

F+1>O,

ok>#或k<-p

二一3〉0

【详解】

解：（1）证明：依题意有尸（0,；）,直线/：＞=履+；,

设，y,）,B（X2,%），直线/与抛物线E相交,

.y=x2，

联立方程1消去）'，化简得x2-kx--^0,

y^kx+—,

I4