当代控制理论课后习题答案5

（当代控制理论）课后习题答案

（当代控制理论）第5章习题解答

5.1已知系统的状态空间模型为CxyBuAxx

=+=,,画出参加状态反应后的系统构造图，写出其状态空间表达式。

答：具有状态反应的闭环系统状态空间模型为：

uKx=?+v（）x

ABKxBvyCx

=?+=

相应的闭环系统构造图为

fcy

闭环系统构造图

5.2

画出状态反应和输出反应的构造图，并写出状态反应和输出反应的闭环系统状态空间

模型。

答：具有状态反应的闭环系统状态空间模型为

uKx=?+v()xABKxBvyCx

=?+=

相应的反应控制系统构造图为

具有输出反应的闭环系统状态空间模型为

uFy=?+v()xABFCxBvyCx

=?+=

相应的反应控制系统构造图为

5.3状态反应对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反应对系统能控性和能观性的影

响怎样?

答：状态反应不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。输出反应不改变系统

的能控性和能观性。

5.4通过检验能控性矩阵能否满秩的方法证实定理5.1.1。答：参加状态反应后得到闭环系统

KS,其状态空间模型为

OxABKxBvyCx

=?+=

开环系统的能控性矩阵为

OSl[J[]ncABB

ABAB?r="

闭环系统KS的能控性矩阵为

l[(),][()()]ncKABKBBABKBABKB?r?=??"

由于

222

()()()()(ABKBABBKB

ABK

BAABKBKABKBKB

)

ABABKBBKABKBKB?=??=??+=???#

以此类推，总能够写成的线性组合。因而，存在一个适当

非奇异的矩阵U,使得

()mABKB?l///mmABABABB?[()/][/]cKcABKBABUr?=r

由此可得：若rank([,])cABn「=,即有个线性无关的列向量，则n[()[cKABKBH^有个线性无关

的列向量，故

nrank([()J)cKABKBnr?=

5.5状态反应和输出反应各有什么优缺点。

答：状态反应的优点是，不改变系统的能控性，能够获得更好的系统性能。其缺点是，不

能保证系统的能观性，状态x必须可测，成本高。

输出反应的优点是：保持系统的能控性和能观性不变，构造简单，只用到外部可测信号。

其缺点是，由于用到的信号少，它所到达的系统性能往往有限，有时甚至都不能到达闭环系统

的稳定性。

5.6应用能控性检验矩阵的方法证实状态反应不改变系统的能控性。然而，对下面系统

[]01023131xxuyx

????

=+??????????=能够通过选择适当的状态反应增益矩阵来改变闭环系统的能观性。

答:对于用能控性检验矩阵的方法证实状态反应不改变系统的能控性，在题5.4中已经证实。

开环系统的能观性矩阵为

[]031,20CACCA????

「==????

?????

由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。

设口1

2Kkk=,引入状态反应uKxv=?+后，闭环系统的状态矩阵是

120213AABKkk??=?=????????

闭环系统的能观性矩阵为

012312CACkkCA??????r==??????????

???取口2

0K=?,则可得

03100AC????r=??

????

该矩阵不是满秩的，故系统是不能观的。这个例子讲明了状态反应的引入使得原来能观的

系统变得不能观了。

5.7证实定理5.1.2o

证实：先证能控性。对任一输出反应系统都可对应地构造等价的一个状态反应系统。由定

理5.1.1知，状态反应不改变系统的能控性，因此，输出反应也不改变系统的能控性。

设被控系统的状态空间模型为:

OSxAxBuyCx

=+=

引入状态反应后，闭环系统的状态空间模型为

FS()xABFCxBvyCx

=?+=

系统和的能观矩阵分别为

OSFSOlnCCAQCA??????

?=??????

#,Ol()()FnCCABFCQCABFC???

??

???=???????#能够看出，(CABFC)?每个行均可表为,T

TTT

CAC????各行的线性组合，同理有是各行的线性组合，如此等等。据此能够导出:

2()CABFC?2〃()T

TTTTTCACAC????oForankQrankQ<

由于又能够看成为的输出反应系统，因此有

oSFSoorankQrankQF<

由以上两式可得

oorankQrankQF=

因而，系统完全能观测等价于完全能观测。FSOS

5.8采用状态反应实现闭环极点任意配置的条件是什么？

答：采用状态反应实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。

5.9采用状态反应实现闭环极点任意配置，其状态反应增益矩阵K的行数和列数怎样确

定，计算方法有几种？

答：状态反应增益矩阵K的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有：

1.直接法；2.变换法；3.利用爱克曼公式求解。

5.10为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？

答：对一个线性时不变系统，其稳定性和动态性能主要是由系统极点所决定，闭环极点在

复平面的适当位置上就能够保证系统具有一定的性能。因而，为了得到期望的系统性能，能够

通过改变闭环系统极点位置的方式来实现，这就是极点配置的思想。

解决极点配置问题的思路如下:

1、要改变系统的行为，自然想到所考虑的系统应该是能控的。因而，从能控系统入手来分

析系统的求解问题；

2、一般的能控系统也是很复杂的，为了求解问题，从最简单的能控系统开场，即从三阶的

能控标准型模型出发分析极点配置问题的解，进而推广到阶能控标准型模型；

n3、对一般的能控系统，设法将它化成等价的能控标准型模型，进而利用第2步的方法得

到极点配置问题的解。

解决极点配置问题的详细方法和步骤如下：(1)直接法：

1、检验系统的能控性。假如系统是能控的，则继续第2步。

2、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为

11211()()()nnnnbb入入XXUX入入？？Ob???=+++””+

3、系统矩阵ABK?的特征多项式

llldet[()]nnnOIABKaaaXAA????=++++”入

4、两个多项式相等即等号两边入同次幕的系数相等，导出关于K的分量的一个线性方程组，

求解该线性方程组，可得要求的增益矩阵l,nkk"K。[2)变换法：

1、检验系统的能控性。假如系统是能控的，则继续第2步。

2、利用系统矩阵A的特征多项式

llldet()nnnOIAaa入入XX???=++++”a

确定的值。

011z//naaa?"3,确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵T。若给定的状态方程已

经是能

控标准形，那么Tl=。非奇异线性变换矩阵T可由下式决定:

l[,](cc

B[,])TAAB?=「0b「4、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为

11211()()()nnnnbb入入XXUUX?????：**〉。

5、确定极点配置状态反应增益矩阵K：

[]00

1122

HnnnnKbabababaT????=????"

5.11已知系统状态方程

111011xxu????=+????????

计算状态反应增益矩阵，使得闭环极点为2?和3?,并画出反应系统的构造图。答：由，,

得能控性矩阵为1101A??=??

??11B??

=????

[]12(JllcABBAB??

「==????

det((z))10cABr=?#

所以系统是能控的。

由于

211det()210

1IA入入入入入？？？？

?==?+?????系统的能控标准形矩阵对是

0112A??=?????,01B??=????

故状态变换矩阵为：

l[J([,])ccTABAB?=rr01121211?????=??????????1110???=????

根据给定的期望闭环极点，可得闭环特征多项式为：

212()()⑵(3)5人入入入入入入入??=++=++6

因而，状态反应增益矩阵是

[]57KT=[]125=?

构造图为

当前位置：文档视界(当代控制理论)课后习题答案5.pdf

(当代控制理论)课后习题答案5.pdf

而，故系统是能控的。因而，若系统性能不知足要求，能够通过配置闭环系统极点来改善

系统性能。det((J)10cABr=?#⑶设状态反应增益矩阵口1

2Kkk=,可得

()IABKX??122

llkk入入+???=??++??

2212det(())⑶22IABKkkk入入入??=+++++

由指定的闭环极点3?和，可得期望的闭环特征多项式为：

3?22⑶6入入入9+=++

由此可得：，即121,3kk==[]13K=

极点配置后的闭环系统为:

210()141xABKxBvxv?????

=?+=+????•??•????

它的单位阶跃响应曲线为:

StepResponse

Time(sec)

Amplitude

比照两图能够发现，系统的动态性能大大改善。

5.13已知系统的传递函数为2(1)

()(3sGsss+=

)

+,根据其能控标准形实现设计一个状态反应

控制器，将闭环极点配置在一2,—2和一1处，并讲明所得的闭环系统状态空间模型能否

能观。

答：由系统的传递函数2(1)

()(3sGsss)

+=

+,能够得到系统的能控标准形为：

设状态反应增益矩阵口1

2

3Kkkk=,则

()IABKA??12310013kkkXXA???

??=???

??++??

3232det(())⑶llABKkkkM入??=++++入

由指定的闭环极点2?、和可得期望的闭环特征多项式:

2?1?232⑵(1)58入入入M++=+++4

由此可得：，即1234,8,2kkk===[]4

因而，要设计的状态反应控制器是

82K=O

[]482ux=?

极点配置后的闭环系统为：

该系统的能观性矩阵为：

[]2110011484oCACCACA????

????「==????

???????????

[]det()OoACr=

因而所得的闭环系统状态空间模型是不能观的。

5.14已知系统的传递函数为

⑴⑵

()(l)(2)(3ssGssss?+=

)+?+

试问能否用状态反应将闭环系统的传递函数变为

1

()(2)(3csGsss?=

)

++

若有可能，试给出相应的状态反应控制器，并画出控制系统构造图。答：能够用状态反应

将闭环系统的传递函数变为1

()(2)(3csGsss)

?=

++o

根据原系统的传递函数能够得到能控标准形。由定理5.1.3,对能控的单输入单输出系统，

只要不发生零极点相消的现象，状态反应就不能改变零点。因而我们只能用状态反应把原系统

变换为

2(1)(2)

()(2)(3cssGsss)

?+=

++

即将闭环系统极点配置在、和2?2?3?的位置上O原系统的状态方程为:

[]211yx=?

设状态反应增益矩阵口1

2

3Kkkk=,则

()IABKX??123100165kkkXXX?2??

??=???

????++??

32321det(())(2)(5)6IABKkkk入入入入??=+++?+?

由指定的闭环极点2?、和可得期望的闭环特征多项式：

2?3?232(2)⑶7161人入入入入++=+++2

由此可得：，即12318,21,5kkk===[]18215K=。因而，要设计的状态反应控制器

是

[]18215ux=?

相应的闭环系统是：

1000010121671xxv????=+??

???????

??????????[]211yx=?

构造图为

5.15已知系统的状态空间模型

00

52

010********[001]xxuyx???????=?+??

????????=?????

(1)验证开环系统是不稳定的，系统是能控能观的；(2)证实该系统能够采用输出反应使

得闭环系统渐近稳定；T12[]uhhy=(3)验证该系统不能采用输出反应任意配置闭环系统极点。

T12[]uhhy=答:

(1)由于系统的特征值为-0.1607,6.5676,14.4931,所以开环系统是不稳定的。系统的能控

性矩阵是

L]cABr=200555122114011112???

????????????

其秩rank=3,所以系统是完全能控的[JcABr系统的能观性矩阵是

[]0001,013138AC??

??「=??

????

由于rank口0,AC「=3,故系统也是完全能观的。12)在输出反应口1

2T

uhhyH=y=作用下，闭环系统为

()x

ABHCxyCx

=+=

其闭环状态矩阵是：

[]11122200520002510112001102101301013hhABHChhhh??+??????

??

?・?・・?・?・?・?・+=?•+'?•=??????????

该系统的特征多项式为：

32212det(())⑶(21)(25)IABHChhhh入入XX?+=+??+?+++?10b

设配置极点后的系统特征多项

式为3221bb入入入+++,则有即需知足

13115

222

bb2b???=

闭环系统渐近稳定，则须有三个负根，即，和b都必为正，这与上式矛盾，故原系统

不可能用输出反应lb2b3[]12T

uhh=yl来镇静原系统。

22

211032125hbhhbhb

??=??

?+=???=?

原题有误。

5.16极点配置能够改善系统的过渡经过性能，加快系统的响应速度。它对稳态性能有何影

响？怎样消除对稳态性能的负面影响？

答：极点配置能够改善系统的过渡经过性能，加快系统的响应性能，但可能使闭环系统产

生稳态误差。能够引进一个积分器来抑制或消除系统的稳态误差，这样一种跟踪控制器的设计

问题能够通过建立增广系统，进而求解增广系统的极点配置问题来得到既保持所期望的动态性

能，又无静差的比例一积分控制器。

5.17考虑例542中的倒立摆系统，假定风以一个水平力作用在摆杆上，以5(作

()wt)wt

用在小车上，此时系统的动态方程是

01

00000

010140001000011016[1000]x

AxBuEwxuwyCxx

??????

?•??"????•??•????=++=++?•???•??????