白淑敏-崔红卫概率论与数理统计课后习题答案

白淑敏崔红卫概率论与数理统计

习题1.1

1.试判断下列试验是否为随机试验：

(1)在恒力的作用下一质点作匀加速运动；

(2)在5个同样的球(标号1,2,3,4,5,)中，任意取一个，观察所取球的标号；

(3)在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果.

解

(1)不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果.

(2)是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：

1,2,3,4,5,且取球之前不能确定取出几号球.

(3)是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x表示，则有

xe(m-E,m+E),其中m为小包白糖的重量，£为称量结果的误差限.易见每次称量会

有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生.

2.写出下列试验的样本空间.

(1)将一枚硬币连掷三次；

(2)观察在时间[0,d内进入某一商店的顾客人数；

(3)将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；

(4)在单位圆内任取一点，记录它的坐标.

解

(1)Q={(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反

正)，(反反反)}；

(2)Q={0,1,2,3,.....)；

(3)Q={(3,4),(5,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),

(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)).

(4)在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为(x,y),则x,y应满足条件f+Vw]

故此试验的样本空间为Q={*,y)|x2+/<l.}

3.将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数.令4="两次掷出的点数相同"，B=

“点数之和为10"，C="最小点数为4”.试分别指出事件4、B、C以及AU6、

ABC、A-C、C-A、BC各自含有的样本点.

解

A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)};

B={(4,6),(5,5),(6,4)};

C={(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(6,4)};

AU5={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)};

ABC=0

AC={(1,1),(2,2),(3,3),(5,5),(6,6)};

C-A={(4,5),(4,6),(5,4),(6,4)};

5C={(5,5)).

4.在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，….记事

件4

(k=l,2,…)表示“接到的呼唤次数小于,试用人.间的运算表示下列事件：

(1)呼唤次数大于2；

(2)呼唤次数在5到10次范围内；

(3)呼唤次数与8的偏差大于2.

解⑴耳；⑵&一小⑶4UA?.

5.试用事件A、8、C及其运算关系式表示下列事件：

(1)A发生而8不发生；

(2)A不发生但3、C至少有一个发生；

(3)A、8、。中只有一个发生；

(4)A、8、C中至多有一个发生；

(5)A、8、C中至少有两个发生；

(6)A、B、C不同时发生.

解

(1)AB；(2)A(BUC)；(3)ABCUABCUABC；(4)IBUACUBC;

(5)ABUBCUAC;(6)ABC

6.在某大学金融学院的学生中任选一名学生.若事件A表示被选学生是女生，事件8表

示该生是大学二年级学生，事件C表示该生是运动员.

(1)叙述A3。的意义.

(2)在什么条件下A5C=C成立？

(3)在什么条件下Xu8成立？

解

(1)该生是二年级女生，但非运动员.

(2)全学院运动员都是二年级女生.

(3)全系男生都在二年级

7.化简下列各事件：

(1)(A-B)UA：

(2)(A-B)UB：

(3)(A-B)A:

(4)(A-B)B

(5)(AUB)n(AUB)n(AUA)..

解.⑴(A-8)IM=A;

(2)(A-6)U6=AUB；

(3)(A-B)A=A-B；

(4)(A—6)6=6

(5)(A(jB)(AUB)n(AUB)=i4(AUB)=AB.

习题1.2

1.已知事件A、B、AUB的概率分别为0.4,0.3,0.6.求尸(A历

解由公式P(AU8)=P(A)+P(B)_P(AB)及题设条件得

P(AB)=0.4+0.3-0.6=0.1

又P(AB)=P(A—B)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3

2.设P(A)=P(B)=尸(C)=L,P(A8)=0,P(AC)=P(BC)=—,求(1)A、

416

B、C中至少有一个发生的概率；(2)A、B、。都不发生的概率。

解(1)由已知P(A6)=0,且有ABCuAB,所以由概率的单调性知P(A8C)=0

再山概率的加法公式，得A、8、C中至少有一个发生的概率为

P（AU8UC）=P（4）+P（B）+P（C）—P（AB）—

P（AC）-P（BC）+P（ABC）

32

=------=0.625

416

（2）因为“A、6、。都不发生”的对立事件为“A、8、。中至少有一个发

生”，所以得

尸（A、B、C都不发生）=1-0.625=0.375。

3.设P（A）=p,P（B）=q，尸（AUB）=「，求P（4历），P（AB）,P（AB））.

解.由

P（AU.=P（A）+P（B）-P（A5）

得

尸（A8）=尸（A）+P（B）_P（AU8）=p+q_r

则

P（A6）=P（A）-P（A8）=p-（<p+q—r）=r-q

P（AB）=P（5）—P（A5）=q-^p+q-r^=r-p

P"=P（AU8）=1_P（AU8）=1T

4.设A、6、C是三个随机事件，且有A^C,P（A）=0.9,

F（5UC）=0.8,求P（A-8C）.

解因

P（BUC）=P（BC）=1-P（BC）

则

P（BC）=l-P（BUC）=l-0.8=0.2

又由An8,AnC知Az>BC,于是

P（A-5C）=P（A）-P（BC）=0.9-0.2=0.7

5.某城市共有A、B、C三种报纸发行.已知该市某一年龄段的市民中，有45%的

人喜欢阅读A报，34%的人喜欢阅读B报，20%的人喜欢阅读c报，10%的人同时喜欢阅读

A报和B报，6%的同时人喜欢阅读报A和C报，4%的人同时喜欢阅读C报和B报，1%的

人A、B、C三种报纸都喜欢读.从该市这一年龄段的市民中任选,人，求下列事件的概

率：(1)至少喜欢读一种报纸；(2)不喜欢读任何一种报纸；(3)只喜欢读A报；(4)只

喜欢读一种报纸.

解设A、B、C分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读A报、B报、

C报

由题设知

P(A)=0.45,P(B)=0.34,尸(C)=0.20

P(AB)=0.10,P(BC)=0.04,P(AC)=0.06

P(A5C)=0.010

(1)该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-

P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=0.45+0.34+0.2-0.1-0.06-0.04+0.01=0.8

(2)该巾这一年龄段的巾民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率

P(ABC)^P(AUBUC)=1-P(A(JBUC)

=1-0.8=0.2

(3)该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读4报的概率

P(ABC)^P(AB)-P(ABC)

=P(A)-P(AB)-[P(AC)-P(ABC)J

=0.45—0.1—0.06+0.01=0.3

(4)同理可以求得：该市这一年龄段的后民中任选一人只喜欢读B报的概率

P(ABC)=P(AB)-P(ABC)

=0.34-0.1-0.04+0.01=0.21

该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读C报的概率

P(ABC)=P(AC)-P(ABC)

=P(C)-P(AC)-[P(BC)-P(ABC)]

=0.20-0.06-0.04+0.01=0.11

故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率

P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.3+0.21+0.11=0.62

6.设尸(48)=0,则下列说法哪些是正确的？

(1)A和8不相容；(2)A和3相容；(3)A8是不可能事件；(4)AB不一定是不

可能事件

(5)P(A)=0或P(8)=0；(6)P(A-B)=P(A)o

解因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以(4)正确：

又因为P(4-B)=P(A)-尸(AB)=P(A),所以(6)正确.

习题1.3

1.将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率.

解设—="3本外文书排在一起”。10本书总的排法有10!种;3本书排成一列共有3!

种，将这3本书排列后作为一个元素与另外7本书在一起有8!种排法，所以，事件A含有

的样本点数为3!8!,故

3ISI1

P(A)=—^=—=0.0667.

''10!15

2.假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.

解设4=“能打开门”。样本空间的样本点总数是G：=45,事件A含有的样本点数

为则

a,、C；+C：C；3+2124

尸(A)=—―=----=—=0n.533.

1n4545

3.某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是5,末

位是3,中间号不是0,只好试拨.求其试拨一次即拨对的概率.

解设A="试拨一次即拨对"。由题意，样本空间的样本点总数为用个，而正确的号

码只有一个。因此

P(A)=-r=-«--0.-0-0-48.

用7x6x5

4.从装有5只红球4只黄球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：

(1)取到同色球；

(2)取到的球的颜色各不相同.

解(1)设4="取到3只同色球”。任取3只球的样本点总数是=220,取到3只

红球的样本点数是C：=10,取到3只黄球的样本点数是C：=4,取到3只白球的样本点

数是C；=l,则

「0+4+1=15

=0.0682.

G；220220

（2）设8="取到的球颜色各不相同”。任取3只球的样本点总数是C：2=220,取到

的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是。卜C：・C；=60,

则

P（B）=VC=里-0.2727.

G；220

5.将上题中的抽取方式改为“放回抽样”，即每次取出1球，记下颜色后放回，再作

抽取，连取三次，求上述两个事件的概率.

解（1）设4="取到3只同色球”。样本空间的样本点总数是123=1728,取到3只

红球的样本点数是53=125,取到3只黄球的样本点数是4,=64,取到3只白球的样本点

数是=27,则

125+64+27216…「

=-----------------=-------=0.125.

17281728

设8="取到的球颜色各不相同”。任取3只球的样本点总数是12'=1728,取到的

球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是。卜。卜。＞4；=360,

则

0.2083.

1231728

6.一部四卷的文集，按任意次序放到书架上,问各卷自左向右，或自右向左的卷号的顺序

恰好为1,2,3,4的概率是多少？

解设A=｛文集排列为1,2,3,4或4,3,2」的次序｝,而一切可能的排列总数为〃=4!,有

利于所讨论的事件的排序项序总数为仁2,即按1,2,3,4及4,3,2,1两种次序排列。则所求概率

为

k21

p(A)=-=—=—=0.0833

n4!12

7.从5双不同的的鞋中任取4只，求这4只鞋中至少有两只配成一双的概率.

解(1)设4="4只鞋中至少有两只配成一双},因为有利于事件A的取法总数为

C；C；-C；(即先从5双中任取一双，再在其余8只中任取2只的取法共有种。C；是

所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用中扣掉)，所以有

-(-)==0.61905.

8.两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率.

解设A="前两个邮筒内没有信因为每封信有4种投法，所以两封信共有42=16种

投法，而A所包含的样本点数为22,从而

P(A)=——=0.25.

16

9.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.

解设A="6位同学中有4个人的生日在同一个月份”。每位同学的生日可能是12个月

份中的一个月份，6位同学的生日可能有126种不同分布方式，而事件A的样本点数为

于是，所求概率为

P(A)=。:。卜"=0.0073.

126

10.某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小忖.设

甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。

解设分别表示两船到达某地的时刻,用A表示两船中的任何一船都不需等待码头

空出。依题设，样本空间

Q={(x,y)|0<x<24,0<y<24},

事件A={(x,y)|x-y>2或y-x>1}QQ

显然这是一个几何概型，故

习题1.4

1.设P(A)=0.5,P(B)=0.6.问(1)什么条件下可以取最大值，其值是多

少？(2)什么条件下可以取最小值，其值是多少？

解

(1)因为

P(A8)=P(A)P(B|A)=0.5P(B|A).

要使P(A8)最大，则需「(6|A)最大，当P(8|A)=1时，可以取最大值，此

时

P（AB）=0.5；

(2)因为

尸（AB）=P（A）+P（B）—尸（AUB）=0.5+0.6—P（AU8）

所以P(AU6)=1时，P(A8)取最小值，此时

P（A5）=1.1-1=0.1

2.设箱中有5个零件，其中2个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三

次才取到合格品的概率.

解设4。=1,2,3)表示第i次取到合格品，则所求概率为

p（A•44）=P（A）P（41A）p（414・4）

21,1

=­X—X1=——

5410

4

3.由长期统计资料得知，某地区在4月份下雨(记为事件力)的概率为一,刮风(记

15

71

为事件8)的概率为不，既刮风又下雨的概率为丁.求P(A|8),P(8|A)及P(AU8).

441

解由题设知P(A)=—,P(B)=一,P(Ah)=—,则

151510

3=需=*4

P(AU8)=P(A)+P⑹-尸(AB)

=4+7—1=19

15151030

4.某工厂生产的产品中36%为一等品，54%为二等品，10%为三等品.从中任意

取出1件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率.

解设4=”取出的产品为一等品"，B=”取出的产品为二等品"，C="取出的产

品为三等品“，则

P(A)=36%,P⑻=54%,P(C)=10%.

故所求概率为

「(胴=T=W三=。4

'1'p(c)1-P(c)1-10%

5.一批电子元件中，甲类的占80%,乙类的占12%,丙类的占8%.三类元件

的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9、0.8和0.7.今任取一个元件，求其使用寿

命能达到指定要求的概率.

解设A="任取一个元件为甲类"，B="任取一个元件为乙类"，C="任取一个元

件为丙类"，D="达到指定要求”，则有

P(4)=80%,P(B)=12%,P(C)=8%

P(0|A)=0.9,P(0|B)=0.8,P(£)|C)=0.7

故由全概率公式，有

P(D)=P(A)-P(D\A)+P(B)-P(D\B)+P(C)P[D\C)

=0.8x0.9+0.12x0.8+0.08x0.7=0.872.

6.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱.甲厂每箱装100个,

废品率为0.06,乙厂每箱装120个，废品率是0.05,求：

(1)任取一箱，从中任取1个为废品的概率；

(2)若将所有产品开箱混放，则任取1个为废品的概率为多少？

解(1)设4="任取一箱为甲厂的产品"，4="任取一箱为乙厂的产品"，8="任

取一个产品为废品”，则4，4构成完备事件组，由全概率公式，有

P(B)=P(4)P(川A)+P(4)P(B|4)

32

=—x0.064--X0.05=0.056

55

(2)甲厂产品30箱，每箱100个，废品率为0.06,故共有甲厂产品100x30=3000个,

其中次品3000x0.06=180个；乙厂产品20箱，每箱120个，废品率为0.05,故共有乙/

产品120x20=2400个,其中次品2400x0.05=120个；两厂产品混到一起,共有产品

3000+2400=5400个，其中有次品180+120=300个，所以，从中任取一个为废品的概率是

7.甲袋中有3只白球4只红球，乙袋中有5只白球2只红球.从甲袋中任取2球投入

乙袋，再从乙袋中任取2球.求最后取出的2球全是白球的概率.

解设4表示“第一次取到i只白球”(i=0,1,2),8表示“第二次取到2只均为白球”,

则

4,A，4是。的一个分割.且p(A,)=C孥(i=0,1,2),即

P(A))=*P(4)=*P(4)=；

又

557

尸(同4)=防尸(同4)=仃尸但4)=立

故由全概率公式，可得

2

尸⑻=力尸⑷尸(8|4)

/=0

=-x—+-x—+-x—=0.4008.

718712712

8.设一箱产品共100件，其中次品个数从。到2是等可能的.开箱检验时，从中随机

抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收.

(1)求该箱产品通过验收的概率;

(2)若己知该箱产品己通过验收，求其中确实没有次品的概率.

解(1)设4表示“次品个数为i(i=0,l,2)”，B表示“该箱产品通过验收”.则由题

后、，

有

尸(A))=P(AJ=P(A2)=；

p(14)=o,p(同4)=六丝=0.1

5oo

P(M)=.cyc工焉

5oo1

由全概率公式，得

尸闾=p(4)p(同4)+P(()P(司AJ+P(4)P(同4)

=-xO+-xO.l+-x—=0.10

333110

于是该箱通过验收的概率为

P(B)=1-P(B)=1-0.10=0.9.

（2）所求概率为

习题1.5

1.设0<P(3)<l,证明A、8相互独立的充分必要条件是

P(A|5)+P(彳旧)=1

证明充分性

因为

产(AIB)+P(A|B)=1

即

P(A|B)=I-P(A|B)=P(A|B)

故有

P(砌_P(AB)_P(A)--(4B)

P(B)-P(B)一-1-P⑻

nP(AB)[1—P(B)]=P(8)[P(A)—尸(AB)]

=>P（AB）=P（A）P（B）

即力、8相互独立.

必要性

因为A、8相互独立，则有

P(AB)=P(A)P(B),P(AS)=P(A)P(B)

从而

尸(川为=需=「⑷,P(彳同=^=P⑸

即

P(A|B)+P(A|B)=P(A)+P(A)=I

2.甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击.设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4、0.5、0.7,

又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2；若有二门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6；

若三门炮射中，飞机坠毁的概率为0.8；无人射中，飞机不会坠毁.求飞机坠毁的概率.

解设8=“飞机坠毁"，4="i门炮弹射中飞机"(i=1,2,3).显然，构

成完备事件组.三门炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得

P(A,)=0.4x(l-0.5)x(l-0.7)+(l-0.4)x0.5x(l-0.7)

+(l-0.4)x(l-0.5)x0.7=0.36

P(4)=0.4x0.5x(l-0.7)+0.4x(l-0.5)x0.7+(l-0.4)

x0.5x0.7=0.41

P(A,)=0.4x0.5x0.7=0.14

再由题意知

产(同4)=0.2,尸(8巾2)=0.6,尸(用4)=0.8

由全概率公式，得

3

尸⑻=ZP(A)P(B⑷=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x0.8=0.43

i=\

3.假设每名射手命中目标的概率都是0.3.问须多少名射手同时射击，方能以0.99以

上的概率击中目标？

解设有”名射手同时射击，则目标被击中的概率为

£匕(幻=1—4(0)

k=\

由题意，求”，使

1—《(0)20.99

即

l-0.7H>0,99=>0.7"W0.01

可得

H>13.

4.某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：若一年内液晶显示器出现重

大质量问题，商家保证免费予以更换.已知此种液晶显示器一年内出现重大质量问题的概率

为0.005，试计算该商家每月销售的200台电脑中一年内须免费予以更换液晶显示器的台数

不超过1的概率.

解根据题意，这是一个p=0.005的200重的伯努利试验问题，所求概率为

舄oo(O)+6oo⑴=0.995200+-0.005-0.9951"

=0.3670+0.3688=0.7358.

5.某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60%,其余的需重新调试.经重新调试的

产品中有80%经检验合格，而20%会被判定为不合格产品而不能出厂.现该厂生产了200

台仪器，求下列事件的概率：

(1)全部仪器都能出厂；

(2)恰有10台不合格.

解设A="仪器需要重新调试"，那么彳="仪器能直接出厂”；又设8="仪器能

出厂"，则"仪器经调试后能出厂”，且易知B=WUAB.于是

P(B)=P(A)+P(AB)

=呼)+P(A)xP(B\A)=0.6+0.4X0.8=0.92

考察200台仪器，相当于p=P(B)=0.92的200重伯努利试验，贝U

2W)-9

(1)^oo(2OO)=O.92=57xlO

(2)P{X=190}=4x0.92"。x0.08'°=0.0318.

6.某厂的产品，80%按甲工艺加工，20%按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品

的合格率分别为0.8与0.9.现从该厂的产品中放回地取5件来检验，求其中最多只有件

次品的概率.

解设4=“产品是按甲工艺加工的”，那么.="产品是按乙工艺加工的”；又设8=

“取出一件产品为次品”，则由全概率公式，得

P(8)=P(A).P(8|A)+P(R.P(8R)

=0.8x0.24-0.2x0.1=0.18

现从该厂的产品中放回地取5件来检验,相当于p=尸(8)=0.18的200重伯努利试验，

则所求概率为

1(0)+4⑴

=Cf-0.180.0.825+CJ-0.181.0.824

=0.3707+0.4069«0.78.

综合练习一

—填空题

1.将一颗骰子连掷两次，该试验的样本空间为(Q={(i,/)|i,J=l,2,3,4,5,6}).

2.三事件A、B、。至多发生两个可表示为(入前或NU万U4).

3.若事件A与6互斥，P口)=0.6,尸(AU8)=0.8,则P(B)=(0.4.).

4.已知两个事件A和8满足条件P(AB)=P(彳-万)且P(A)=p,则P(6)=

(I-P)-

5.设48为二随机事件，204)=0.6,尸04—8)=0.2,则「(而)=(0.6).

6.将一枚硬币连掷两次，则出现一次正面一次反面的概率为(-).

2

7.已知两个随机事件A和8满足条件PG4)=0.5,P(8)=0.4,P(AU8)=0.8,则

P(AB)=(0.4).

8.设5产品中有2件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，

则另一件也是不合格品的概率为(!).

7

9.设某系统由元件A和两个并联的元件B,C串联而成，若A、B、C损坏与否相互独立,

且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1,则系统正常工作的的概率为(0.089.).

10.将一只骰子连续掷3次，则至少有一次出现3点的概率为(

216

二选择题

1..对掷一枚硬币的试验，“出现正面”称为(@.

3)样本空间3)必然事件(c)不可能事件(")随机事件

2.设A,B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则必有(⑷)o

(a)P(AB)=P(A)P(B)㈤入与石相容

与否互不相容⑷P(A-8)=P(A)

3.设当A和8同时发生时，事件C必发生，则((b)).

(a)P(C)<P(A)+P(B)-l(b)P(C)>P(A)+P(B)-\

(c)F(C)=P(AB)(d)P(C)=P(A\JB)

4.设P(8)=0.1,P(AUB)=0.5,则P(A历=((J)).

(a)0.1(b)0.2(c)0.3(J)0.4

5.设A、B、。为三个随机事件，且73(^口方)=0.8/“2豆口6=0.95,则

P(AB-C)=((a))

(a)0.15(b)0.25(c)0.35(d)0.45

6.设对于事件A,8,C有尸(A)=p(8)=尸(C)=[,P(8C)=0，p(AB)=P(AC)=-,

48

则A,8,。至少发生一个的概率为((d))

3571

⑷-(b)-(c)-(d)-

8882

7.设48为两个随机事件，且「(5)>0,尸(*5)=1则有((c))

(a)P(Au8)>P(A)(b)P(Au5)>P(5)

(c)P(AD8)=P(A)(d)P(Au8)>P(6)

8.事件A,6相互独立，且尸(A)=0.7,P(6)=0.6,P(A—8)=((b))»

(a)0.88(h)0.28(c)0.18(d)0.42

9.设两个相互独立的事件A与8都不发生的概率为'，A发生B不发生的概率与B发

9

生A不发生的概率相等，则P(A)=((c))

2521

⑷9⑸9⑹3⑷3

10.若4=>8,4=^,2(4)=。9,尸(51)。=0.8,则2缶一6。)=((a)).

(a)0.73)0.8(c)0.9(d)0.1

三解答题

1.判断关于事件的结论

A\JB-B=A

是否成立，为什么？

解利用事件运算的分配律，有

A\JB-B=(A\JB)B=AB\JBB=AB\J0=AB=A-B

显然，A-B一般不等于A,故结论川J8—B=A不一定成立,，只有4?=。时，A\JB-B=A

结论成立.

2.设6位同学每位都等可能地进入十间教室中任何一间自习，求下列事件的概率：

(1)某指定教室有2位同学；

(2)6位同学所在的教室各不相同；

(3)只有2位同学在同一教室；

(4)至少有2位同学在同一教室.

解因为对教室中的人数没有限制，所以每位同学都有10种选择，6位同学共有IO,种

选法，即样本点总数为IO'.

(1)设4="某指定教室有2位同学”，则A包含的样本点数为C；X94,故

C^x9415x6561

P(A)==0.0984.

1061000000

(2)设8="6位同学所在的教室各不相同”，则8包含的样本点数为A3故

A6151200

P(8)=空=0.1512.

1061000000

(3)设。="只有2位同学在同一教室”，则C包含的样本点数为C；xC：oX/,故

C：xC；0x蜀_453600

P(C)==0.4536

106—1000000

(4)设。="至少有2位同学在同一教室”，则0=8="6个同学均在不同的教室”,

故

P(D)=1-P(D)=1-P(B)=1-0,1512=0.8488

3.(1)从7副同型号的手套中任意取出4只，求恰有一双配套的概率；

(2)若是7副不同型号的手套，上述事件的概率为何？

解(1)设4=“从7副同型号的手套中任意取出4只，恰有•双配套”，则样本空间

的样本点总数为G；=1001，事件A包含的样本点数为C》C；=490,于是

490

=-0.4895.

(2)设8=“从7副不同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”，则样本空间的样

本点总数为，事件6包含的样本点数为2?=420,于是

420

p(5)=-I±r-«0.4196.

')1001

4.甲、乙、丙三个车间生产同种产品，次品率分别为0.05、0.08、0.1.从三个车间

各取1件产品检查，求下列事件的概率：

(1)恰有2件次品；(2)至少有1件次品.

解设A="从甲车间取出的是次品“，B="从乙车间取出的是次品"，C="从丙

厂取出的是次品”.

(1)设D="恰有2件次品"，则O=,于是

P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.05x0.08x0.9+0.05x0.92x0.1+0.95x0.08x0.1

=0.0036+0.0046+0.0076

(2)设£="至少有1件次品”，则

P(E)=1-P(豆)

=1-0.95x0.92x0.9=1-0.7866=0.2134.

5.在［0,1］区间内任取两个数，求两数乘积小于;的概率。

解设任取得两个数为x,y,用A表示两数的乘积小于,这一事件，样本空间

4

Q={(x,y)|O<x<l,O<y<l},

事件A={（x,y）|%y<-,0<x<l,0<y<1,}

4

显然50=1,SA=」+f—=-+—=0.5966

°，44号4x44

利用儿何概型的计算公式有，

q

尸（A）=9=0.5966

s。

6.甲、乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5,问谁先投中

的概率较大，为多少？

解设4表示“甲第i次投中”，吗表示“乙第/次投中”.事件4=“甲先投中”可表

示为

4U4G4uA£4瓦4U4及4瓦4瓦4u……

则甲先投中的概率为

p（A）=p（%）+p（4瓦A2）+P（4瓦&aA?）+P（A瓦4瓦A及4）+……

=0.4+0.6X0.5X0.4+(0.6X0.5)2X0.4+(0.6X0.5)3X0.4+

即甲先投中的概率较大，概率为0.57。

7.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“般的”、“冒失的”。统计资料表明，

上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占

20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%.

（1）求被保险的人一年内出事故的概率。

（2）现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

解（1）设。="被保险的人一年出事故”，A="被保险的人是谨慎的”，8=''被保

险的人是一般的，C="被保险的人是冒失的”显然，A,8,C构成完备事件组.三类人一

年内是否出事故，相互独立，

P（D）=P（A）P（0|A）+P（B）P（。⑻+P（C）P（D|C）

=20%x0.05+50%x0.15+30%x0.3=0.175

.、P(A]P(D\A)001

⑵P(A\D)=V\1'=-------=0.0