高中数学解题思路

目录

jkyy024.ccm）

刖百..............................................................2

第一章高中数学解题基本方法....................3

一、配方法.............................3

二、换元法................................7

三、待定系数法...........................14

四、定义法...............................19

五、数学归纳法...........................23

六、参数法...............................28

七、反证法...............................32

八、消去法.......

九、分析与综合法…

十、特殊与一般法…

H^一、类比与归纳法

十二、观察与实验法

第二章高中数学常用的数学思想.................35

一、数形结合思想.........................35

二、分类讨论思想.........................41

三、函数与方程思想.......................47

四、转化（化归）思想.....................54

第三章高考热点问题和解题策略.................59

一、应用问题.............................59

二、探索性问题...........................65

三、选择题解答策略.......................71

四、填空题解答策略.......................77

附录..........................................

一、高考数学试卷分析...................

二、两套高考模拟试卷...................

三、参考答案...........................

2

、乙—i-

刖H

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到

一个新问题，总想用熟悉的题型去"套"，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方

法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法

的考杳，特别是突出考杳能力的成题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有

意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学

头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和

演绎等；

④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想

等。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，

可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学

思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、

处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，

数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操

作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常

常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就

是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数

学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析

与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：

函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有

关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。

再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，

对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习

题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

3

第一章高中数学解题基本方法

~*、酉己方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已

知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与

“添项"、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未

知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次

曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式斜母2=a?+2a计b?,将这个公

式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a~+b~=tj)~—2ab=(a—tj)~+2ah

b

a2+ab+b2=鼾tj)2—ab=(3—tj)2+3ab=鼾­)2+(tj)2;

a2+b2+c2+ab+bc+cs=；[(g+2+什。？+2]

a2+b2+c2=(9-1-b+c)2—2@b+bc+c@=(3-I-b—2—23b—be—ca)=---

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1+sin2c=1+2siincose=(sine+cose)2;

x2+-V=(^-)2-2=-)2+2;……等等。

XXX

I、再现性题组：

1.在正项等比数列就“}中，为♦为+2%♦为坳•%=25,则为+为=o

2方程x2+y2—4kx-2升5g0表示圆的充要条件是»

A{OKI或k>lCk€R口仁/或

3.已知sin4a+cos4a=1,则sint+cost的值为o

A1B-1C1或一1D0

4函数产log,62x2+5肝3的单调递增区间是o

2

A(—8,I]B停，H®°)C(-254JD4,3

5.已知方程x2+Dx+kl=0的两根不、々,则点PG1，泡)在圆x2廿)=1上，则

实数A_____2.

【简解】1小题：利用等比数列性质am_p为“+〃=a,“2,将已知等式左边后配方(为+

%)2易求。答案是：£

2小题：配方成圆的标准方程形式*a2+匕可2=『，解』乂即可，选B

3小题：已知等式经配方成(sin2a+cos2a)2—2sin2acos2a=1,求出sinxcost,

然后求出所求式的平方值，再开方求解。选G

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选R

5小题：答案AVH。

口、示范性题组：

4

例L已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24则这个长方体的一条对角

线长为______且

A273EV14C5D6

【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x.y.z,则

2(xy+yz+xz)=11,_________

<4,.；，而欲求对角线长FT73,将其配凑成两已知式的组合形式

可得。

【解】设长方体长宽高分别为\y,z,由已知“长方体的全面积为IL其12条棱的长度

2(xy+yz+xz)=11

之和为24’而得:

4(x+y+z)=24

长方体所求对角线长为：ylx2+y2+z2-J(x+y+z)2-2(xy+yz+xz)=

V62—11=5

所以选B

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析

三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2.设方程X2+k肝—的两实根为P0若M)2+g)2《7成立，求实数k的取

qp

值范围。

【解】方程X2+kx+2=0的两实根为Rq,由韦达定理得：计q=-k,pq=2,

心)2+£)2=/+/=+p2)22p2q2=[(p+疗-2pqf-2p，?=

qp(pq)2(pq¥(pq『

(k2-4)2―8——

------/——<7,解得k-J10或QJ10。

4

又Rq为方程x2+kx+2=0的两实根，△=1?一A0即42日或X—272

综合起来，k的取值范围是：-AWk-2近或者272<k<V10o

【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“△”；已知方程有两根

时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到的4pq后，观察已知不等式，从其结构

特征联想到先通分后配方，表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对讨论，结果将

出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对的讨论，但解答是不严密、不完整的，这

一点我们要尤为注意和重视。

nb

例3.设非零复数ab满足a2+a计b2=0,求(~~-)1998+(~~-)1998。

a+ba+力

【分析】对已知式可以联想：变形为C)2+G)+1=。，则/=3(3为1的立方

bbb

虚根)；或配方为鼾02=ab。则代入所求式即得。

【解】由a?+a计b2=0变形得：F)2+P)+1=0，

bb

5

ao_1hj—a

设3=—,则3-+«+1=0,可知3为1的立方虚根，所以：一=—,«3==lo

hcoa

又由a2+ab+b2=0变形得：b)2=ab,

nurr，"、1X8,，'、1998\999,x9992、999,C、999999,

所以(---r)+(----)=(TT)+(~r)=(r)+(~)=3+

a+ba+bababba

1999=2。

【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用3的性质，计算

表达式中的高次募。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

,,aab—1±v3z

【另解】由a?+aHb?=0变形得：(-)2+e)+1=0,解出一=―--后，化

bba2

成三角形式，代入所求表达式的变形式e)999+2)999后，完成后面的运算。此方法用于

ba

-l±V3z

只是未一L•联想到3时进行解题。

2

|IIQ•

假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2+aN-b2=0解出：后二^~-b,

直接代人所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的

计算。

田、巩固性题组：

1.函数尸上(&b为常数)的最小值为

A8B(""尸CD最小值不存在

22

2a、§是方程x2-2ax+升6=0的两实根，则&-1)2+6T)?的最小值是

A一孚R8C18D不存在

3.已知xy€史，且满足叶3广1=0,则函数H2,+8>'有»

A最大值姐B最大值立C最小值2^/2B最小值变

22

4.椭圆x2-2ax+3y2+a2-6=。的一个焦点在直线肝y+4=0上，则a=0

A2B-6C-2或一6D2或6

5.化简：Rl-sin8+J2+2cos8的结果是»

A2sin4B2sin4-4cos4C-2sin4D4cos-2sin4

6.设耳和F2为双曲线反-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足/耳PF,=90,

4

则^耳理的面积是O

7.若A1,则f⑨=X2+2肝_L的最小值为o

x+\

8.已知四<34〈。兀，cos&-6)=12,sin&)=-3,求sin冬的值。。2

24135

年高考题)

9.设二次函数f⑨=Ax2+Bx-FC给定mr(nKn)，且满足尺[缶田)2+mn2]+2A[B(nRj)

—QnrQ+B"+。=0。

6

①解不等式f⑨K

②是否存在一个实数t,使当te(nrt,n-t)时，f«<0?若不存在，说出理由；若存

在，指出t的取值范围。

10.设s>l,t>l,n£Rx=log,t+lo§s,y=lo&4t+log,4s+m(lo&2t+log,2s),

①将y表示为x的函数产f⑨，并求出f⑨的定义域；

②若关于x的方程f3=0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

二、换元法

7

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，

这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换

研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题

简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来,

隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和

推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究

方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知

或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通

过变形才能发现。例如解不等式：4V+2V-2>0,先变形为设=t(tX»,而变为熟悉

的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角

知识中有某点联系进行换元。如求函数尸4+的值域时，易发现x€[0,1],设1

=Sin2a,ae口,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中

主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量Xy适合条件x2+y2=r2(rXD

时，则可作三角代换x=rco§、y=rsiifi化为三角问题。

Ss

均值换元，如遇到x+产S形式时，设传耳+t,y=--t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范

围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例

中的tX)和a€K),—]<>

I、再现性题组：

1.y=sinx-cosx+sinx+cosx的最大值是o

2设f代+i)=io&心_x,)(a>l),则f⑨的值域是»

3.已知数列国｝中，=-1,a“+1,”=%田一a“，则数列通项缘=o

4设实数Xy满足x2+2x卜1=0,则x+y的取值范围是o

,1+3-、

5.方程丁青:3的解是_______________o

1+3

6不等式1O&av-1)-log,<2-v+1-2)〈2的解集是o

产1

【简解】1小题：设sin#oskt€则尸5+t—w，对称轴t=-

当t=啦，Ymax=g+&；

2小题：设X2+1=t(t>1),则f(t)=1O&F(t-l)2+4],所以值域为卜8,1O&蜀；

8

111

3小题：已知变形为————=-L设，=—,则b,=-l,b“=-1+仁1)6D

%+1anan

1

=_n,所以;

n

4小题：设叶尸k,则x2—2kx+1=Q△=4k2—4>0,所以g1或k—1;

5小题：设3、=y,则3y2+2y-1=Q解得y=1,所以x=-1;

5

6小题：设1。&仁一1）=y,则y>1）乜解得一2<y<l,所以x€（log2-11。&九

口、示范性题组：

例L实数xy满足44-5xy+4y2=5（①式），设S=x?+y）,求—--1-—^―

」max°min

的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】由S=x?+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换元，设

x=y[scosa

r~,代入①式求Smax和SmM的值。

y=7Ssina

x=4scosa

一一代入①式得：4S—5S-sin）ccoax=5

y-VSsina

10

解得异菰W

101010

—1<sinit<18-5sin2x<13—<-------4—

138-5sina3

1I313168

,----+----—+——=—

'■5祠5min1010105

85-10

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin&=---的有界性而求，即解不等

QC_10

式：|一^|<b这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

5sSS

【另解】由S=x?+y2,设x?=5+t,y2=--t,t€

则X尸一产代入①式得：4s±5日一/=5,

移项平方整理得lOOt?+39$-160计100=0o

,1010

399—160计logo解得：—<

9

11____3_B_16_8

'■心+==m+历=而=]

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x?+y2与三角公

式cos2a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问

题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式“x?+y2而按照均值换元的思路，设

x2=£+t、y2=£—t,减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种

22

方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和"均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量xy时，可以设x

=aH-b,y=a-b,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设aa+b,y

=a-h代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a?6位j],所以方(?-b)2+斜

1020,101011

=2^-7+b9")=—+—a-€w，再求a—+--的值。

15153Omax)min

11V2

例2,△由的三个内角ABC满足：刈C=2R=+右=一嬴万,求

A-C

cos——(96年全国理)

【分析】由已知"A+C=2g’和”三角形内角和等于180°”的性质，可得

4+C=120°A=60°+a

由“90120”进行均值换元，则设，,再代入可求

8=60。C=60°—a

A-C

CO8X即COS~--

2

A+C=]20。

【解】由△ABC中已知加已2B可得二’

8=60

A=60°+a

由知G=120,设〈。,代入已知等式得:

[C=60°-a

111]1

+-----------------------------+

cosA--------cosC--------cos(600+a)cos(60°-a)1

cosa-

2

1cosacosa

=—2^2,

1J3123.2

—cos<2+—sin<2Tcosa-：sinacos2a—

22444

V2A-CV2

解得：cos：即：COS---

22

10

11V2

【另解】由"O2B得MC=12。,/6°。所以揶+嬴=一届

=-2^2,设——-=-V2+n)---=-V2-m,

cosAcosC

所以cosA=----7=------,cosG=------7=------,两式分别相加、相减得:

-v2+m-V2-m

A+CA-CA—C25/2

cosAl-cosG=2cos-"-cos-"-=cos---=—、------,

222m2-2

A+CA—Cr-A—C2m

cos—cosG=-2sin---sin~--=—"3sin---=-z------

222m~-2

A-C2m2V2A—CA—C

即:sin--------一,代入si1"-+‘os-丁=1整理

回川一2)

4->A—C2V2V2

得：附—16m-12=0,解出n?=6,代入cos~~~-=-5~~-=--

2m-22

【注】本题两种解法由/C=I2。”、“焉+烹一26分别进行均值

换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对

三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由加O

11V2

2B得AbG=12(J,B=60o所以-----+------=--------=—2v2,即cosAl-cosC

cosAcosCcosB

=-2V2cosAcosQ和积互化得：

A+CA-Cr~

2cos~--cos---=—v2[cos+cos(M3,即cosAY号—应cos

2

r-9A.—Cr-9A-CA-C

-"V2Ceos2———1),整理得：4V2cos2+2cos------3--V-2=0,

2

,A-C72

解得：COS~--=--

例3.设a>0,求f凶=2a(sin肝cos力一sinx-cosx-2a之的最大值和最小值。

【解】设sinx+cosx=t,则t€FV2,V2],由(sinx+

2

2t-1

cos*~=1+2sinx・cosx得：sinx-COSA--一

fg=g(t)=一；(t-2&之+；(a>Q),t€FV2,y/l]

时，取最小值：-2a2-2&kg

当2a>V2时，t=V2,取最大值：―2〃+2-\/2a——

11

当（X2a＜血时，t=2a,取最大值：—。

1V2

f3的最小值为一2a2-2后a-;,最大值为《22

22厂1忘

-2a'+2,\2a—（a2—）

I22

【注】此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx-cosx的

内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围（任h历，、反］）与sinx+cosx对应，否则将会

出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位

置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大

值和最小值的题型时，即函数为f（sin狂cosx,sinxcso中,经常用到这样设元的换元法，

转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

（。）（。+）

924+12cl1~

例4设对所于有实数%不等式X10§2-------+2x1O&--+1陶，，X）

aG+14a-

恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

4（a+l）2a（。+1）2

【分析】不等式中log2-——log,­；、1。&笠―-三项有何联系？进行对

aa+14a

数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

2a4（。+1）8（“+1）a+1

【解】设log2---r=t,则log-------=log-------=3+log——=3-

a+12a22a2la

la(a+1)'a+1

币1Og2^-=21°fe^7=-2t>

代入后原不等式简化为（3-t）x2+2tx-2tX）,它对一切实数x恒成立，所以:

'3-t>0f/<32a

解得<t4)即log,----<0

△=4/+8f(3-f)<0']/<0或/>6a+1

2a

(X~-<1,解得(Xa<lo

a+1

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何

4（a+1）2a（a+1）2

设元，关键是发现已知不等式中1。&二——-,10§2-10&“2三项之间的联

aa+14a

系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟

练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所

给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一

点。

sin0cos0cos20sin2010X

例5.已知且2②式），求一的值。

23(/+/)

XyXyy

12

“sin0cos0,,

【解】设------=-------=k,则sirfi=kx,cos9=ky,且sirTO+cos26=

xy

222k2y2k2x21010A:2y2x2

ka'2)=L代入②式得：——H.......-=——-----jr=­z—即：—+—=

xzy3(x2+y2)3x2y2

10

T

X~11nlx/-v3

设丁=匕则t+-=—,解得：t=3或彳，一=±6或士;-

yt33y3

xsin6_cos26

【另解】由一=一--tg),将等式②两边同时除以——,再表示成含tg)的

ycos0x

式子：1+tg4O=(\+tg~0)X------—=?tg26,设tg2(5=t,则3t2—10t+3=0,

3(1+F)

tg-e

1XI-y/3

t=3或7,解得一=±百或土＜-。

3y3

sin0cos9

【注】第一种解法由------=-——■而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。

xy

xsin6

第二种解法将已知变形为一=-不难发现进行结果为tg),再进行换元和变形。两

ycosw

种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

例6.实数xy满足色=+空上=1,若x+y-Q0恒成立，求k的范围。

9lo

(x-1)2(y+1)2,,

【分析】由已知条件八乙+-=L可以发现它与a2+b2=1有相似之处，于

916

是实施三角换元。

(x—1)"(y+1)-x—1y+1

【解】由--------F—=1,设=一=cos9,=sir6,

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x=1+3cos0

即：，…0代入不等式x+y-QO得：

y=-1+4sin6

3coB+4siifi—1O0,即K3coB+4sirt)=5sin。七)

所以小时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式

恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一

般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等

有关问题时，经常使用“三角换元法”。

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本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax+by

+O0(宓©所表示的区域为直线a肝b升c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。

此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终

位于平面上让广的区域。即当直线介y-k=0

在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，

[16(x-l)2+9(y+l)2=144

方程组,-有相等的一组实

[x+y—％=0n

数解，消元后由4=0可求得仁一3,所以I时原不

等式恒成立。

山、巩固性题组：

1.已知f5)=Igx©0,则f④的值为

A21g2B1Ig2C2lg2D-Ig4

333

2.函数产-D4+2的单调增区间是

AF2,B曰D(^>o,-l0o)C

3.设等差数列包｝的公差d=l,且§00=145,则%+2+%++物的值为

2

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