随机信号分析课后习题答案

第一次作业：练习一之1、2、3题

1.1离散随机变量X由0,1,2,3四个样本组成，相当

于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为

1/2,1/4,1/8,和l/8o求随机变量的数学期望和方差。

117

\O&3

E[X]=fx/(X-王!-X+X+X=

解：/4-8-8-

/=!

8-

O[X]=W(x,一E[X])2£=(02-—令2*；+(1一马2、；+(2-32、:+(3―m2,:

i=]oZ34oooo

71

—=1.109

64

1.2设连续随机变量X的概率分布函数为

ox<0

71

F(x)=<0.5+Asin[-(x-l)]0<x<2

12x>2

求⑴蠲A；(2)X取值在(0.5,1)内的概率P(O.5<X<I)。

jrTT

解：_^(x),—Acos[-(x-l)]0<x<2

dx0其他

由J/(x)Jx=1

-00

/日82

j—Acos[—(x-1)]dr=Asin[—(x-1)]=2A

-oo222

A」

2

1711TCA/2

P(0.5<x<l)=F(l)-F(0.5)=-sin[-(l-l)]——sin[-(0.5-1)]=—=0.35

22224

1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函

数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

(1)F(x)=1一/x>0

0x<0

0x<0

(2)F(x)=<Ar20<x<1

1x>l

(3)F(x)=-[u(x)-u(x-a)]a>0

a

(4)F(x)-—M(X)--~-u(x—a)a>Q

aa

解(1)F(x)=<1-62xN。

0x<0

当xNO时，对于/NX],有尸⑷)N尸(X1),P(x)是单调

非减函数；

04F(x)W1成立；

尸(x+)=F(x)也成立。

所以，"X)是连续随机变量的概率分布函数。

求得，/(》)=£也=%2x>0

dx0x<0

0x<0

(2)F(x)=<Ax20<x<l

1x>l

在A>0时、对于有尸(4)”(/)，F(x)是单

调非减函数；

欲使OK尸(尤)41和尸(x+)=F(x)成立,必须使A=lo

所以，在A=1时\尸⑴是连续随机变量的概率分

布函数。

同理，｛)=皿=[2"1>X>0

dx[0x<0

欲满足j/(x)dx=l,也必须使A=l。

所以，l>x>0

x<0

(3)F(x)=~[u(x)-u(x-a)]a>0

a

x

上式可改写为F⑴=》(x)一心一⑼°-%<a«>0

0其他

对于％2〉。>/，P(X1)不成立。

所以「尸⑴不是连续随机变量的概率分布函数。

(4)F[x}-—M(X)--~-u(x—a)a>0

aa

x

--[u(x)+u(x-a)]-u(x-a)a>0

a

0x<0

=v—x0<x<aa>0

a

2

—x-1a<x

、a

当"x时，不满足0"(x)41,所以F(x)不是连续随机变

量的概率分布函数。

第二次作业：练习一之4、5、6、7题

1.4随机变量X在位，切上均匀分布，求它的数学期望和

方差。

解：因X在[a,句上均匀分布

，/.---aW下WB

0其他

E[X]=]xf(x)dx=f-^dA=亨

-i部-a2

E[X2]=fx2/U)dx=f-^dx=1(a2+2|3+『)

1aP-a3

81

D[X]=j(x-E[X])2/(x)dr=E[X2]-(E[X])2=—(P-a)2

-00

1.5设随机变量X的概率密度为九(幻=：求

o具他

Y=5X+1的概率密度函数。

解：反函数x=g)=(y-i)/5

h'(y)=1/5<1y<6

fI=1x1/5=

fY(y)=fx(h(y))Ih(y)1/5

于是有加y)=[E1<y<6

其他

1.6设随机变量X1,X”…,X”在［a,b］上均匀分布，且互相独立。

若Y=»X,,求

(l)n=2时，随机变量Y的概率密度。

(2)n=3时.，随机变量Y的概率密度。

'1,

---a<x<b

解：力(a)=<i=1,2,…,〃

0其它

n=2时，A(y)=/x,(y)*/x2(y)

00

/「(>)=J/xg/xJy-xM

-00

='f•—L四积分上下限选错了，此题答案有误

Jb-ab-a

1

b-a

同理，n=3时，4(y)=—!—

b-a

1.7设随机变量X的数学期望和方差分别为m和山求随

机变量y=-3x—2的数学期望、方差及X和Y的相关矩。

解：数学期望：E[Y]=-3m-2

2

方差：£>[y]=(-3)CT-0=9o

2

Rxy=E[XY]=E[X(-3X-2)]=E[-3X-2X]

E[X2]=D[X]+(E[X])2=c+m2

2

相关矩：RXY=—3a—3m—2m

第三次作业：练习一之9、10、11题

1.9随机变量X和Y分别在[0,回和[0,引上均匀分布，且互

相独立。对于匕<4,证明：

2b

P(x<fecosK)=—

7ia

证：e.X和y分别在和[04]上均匀分布

2八乃

0<x<a0KyW—

aTC2

有〃X)=和/(丫)=

0其它0其它

x<hcosY0<x<hcosy

八7tx<bcosY

bcosy<b<a0<y<—

2

p(x</?cosy)=p(0<x<bcosy,0<y

”/2bcosy

=Jdyjf(x,y)dxdy

00

乃/2bcosy

=jdyJ/(x)/(y)dxdy因为rv.X和y相

00

互独立

bcosy

---dxdy

0a7i

产/2/-x1

r2b

-----cosyay

0a兀

2b

m

命题得证

X„X

1.10已知二维随机变量（2）的联合概率密度为

力小（再,尤2），随机变量（x„x2）与随机变量（片,为）的关系由

下式唯一确定

=%匕+"为匕=aX,+/?X2

[X[=cj+4L

Y2=CX1+dX2

证明：（匕,%）的联合概率密度为

力也（乃，乃）=荷!而九此（为为+4%，。出+4乃）

证：做由力必（弘,力）到£占（国,％2）的—.维变换

/x|X2（X|,%2）—1，|力必为）

/八握（〉1，丁2）—jJTfxtx2

现生

dxdxab

l2-ad-be

②2以d

dx2

1

人必（口，乃）+by,cy+dy)

\ad-bc\i2ill2

1.11随机变量X,Y的联合概率密度为

/xy(x，y)=Asin(x+y)Q<x,y<—

求(1)系数A；(2)X,Y的数学期望；(3)X,Y的方差;

(4)X,Y的相关矩及相关系数。

解：

兀nKTC乃

22222

(1)JJfxY(x、y)dxdy=|JAsin(x+y)dxdy=Ajsinxdxjcosydy+Ajcosxdxjsinydy

oo0000

=2A=1

71

8J2]2

fx(x)=\fY(x,y)dy+y)dy=—jsinxcosydy+—jcosxsinydy

(2)X

2()2°

-00

1.、

=—(zsinx+cosx)

同理6(x)=；(siny+cosy)

冗n

I।।2।2।2

jy—(siny+cosy)dy=—Jysinydy+—jycosydy=——jyd

mx=mYcosy+siny

022222o

ӣ

I2-2

11.•11(r

-£2+IcosI2£1

-2-2-2--2-*lslin

Oo・oo

£

-4

3

2712

二-2

―)2-夜Jsin(y+—

上+J

162

71n

2

(4)相关矩Rxy=E[XY]=^xyfXY(x,y)dxcly=jjxy^-sin(x+y)dxdy=y_1

0000，2

2

协'方差C\y=RXY一讥X]仇F]=g-3—1

2lo

.目关系数％=4=_£_y+;:

(Tx(Jy〃+8乃一32

第四次作业：练习一之12、13、14、15题

1.12求随机变量X的特征函数，已知随机变量X的概率

密度

fx(X)=2Lx>0

00<x>

j<MaxjtM

M：①x⑼=\fxWedx=2\u(t)e-edx

—co—oo

利用傅氏变换：w(f)e"—

a+JCD

尔,、2

%(M=-----

a-JCD

1.13已知随机变量X服从柯西分布求他的

笈cr+x

特征函数。

解：①X(⑼=U(x)e"%x=

-i2%”+尤

利用傅氏变换：4^~6-加

a~+x

%3)="刎

1.14求概率密度为/x(x)=；e川的随机变量X的特征函数。

.00100

解：0X⑼=J/x(x)ejm'dx=1\e^ejmxdx

利用傅氏变换：？三~”喇

aCD

%®）=\+a>

1.15已知相互独立的随机变量X”X2,X3,…，心的特

征函数，求Xi，X2,X3,…，Xn线性组合y=|>,x,+c的特

征函数。伯和。是常数。"

解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变

量特征函数之积。

册（。）=E{expb®这+c）］}=e加£［口e“x，］

/=1

第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题

2.1随机过程X(f)=Acosw+Bsinw,其中①为常数，A、B是两

个相互独立的高斯变量，并且讥*=£网=0,E[A2]^E[B2]^a20

求X⑺的数学期望和自相关函数。

角翠：E[X(f)]=E[Acoscot+Bsintyf]=E[4cos(yf]+E\Bsina)t]

=E[A]coscot+£[B]sincot

=0(仇A]=E[8]=0)

Rx(%/2)=E[X«)X«2)]=E[(Acoscot}+5sincotA)(Acos69Z2+BsinM2)]

22

=E[AcosM}coscot2+ABcoscot}sincot2+ABsinct)t}cos+Bsina)txsincot2]

2

=E[A]coscoscot2-^E[A]E[B]cossinM2+E[A]EfB]sincoscot2-\-E[B~]sincot{sincot2

222

=E[A]cosMicost^j+EffiMsin^sinty/2(E[X]=D[X]+(E[X]))

2

=acosco(t27J

=a2cos69(r)(7=L-4)

2.2若随机过程X。）在均方意义下连续，证明它的数学期

望也必然连续。

证：由均方连续的定义limE[|X«+4)-X⑴门=0,

A/->011

展开左式为：limE[X2(/+A/)-X(r+Af)X(r)-X(t+/^t)X(t)+X2(/)]

Aff0

=lim{E[X(t+4)((X(t+Af)—X(?))]-E[XQ)((X«+A)—X(f))]=0

A/f0

固有limE[X«+Af)]-E[X(f)]=0,证得数学期望连续。

2.3证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函

数在他的自变量相等时存在二阶偏导数整…。

1

dt{dt22

证：

而（22）=Um%也+期川-叫小）=1加E1X（4+AGX（f2）]—E[X（GXQ2）]

MTA/J

dt}M-0。

XQ+AGXX（GX«2）]；）（（

ra匕）—r仇XQ{X4+AG—XG}]

MT。4]M-*OAZ,

於砥廿2）二limaXQ2+42）{Xa+AG—X（G}]—XX（f2）{X4+AG-X（G}]

TO.4

dt}dt2细2fo加1加2

=lim+X&）}{X（/AG-X（»]在时存在,

的句4-0Ar,Ar,

也就是limE[{Xa+4）-x"）}2]存在。

加->0Af

2.4判断随机过程x«）=A8s（&+0）是否平稳？其中①为常

数，4、。分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相

互独立。

上

/式。）=2e2Ma>0

O'

0

E[X(t)]=E[ACOS(M+0)]=E[A]E[COS(M+@)]=0

.1.

Z?xQJ+7)=E\A~cos(m+0)cos{<y(Z+r)+0}]=—E[A~]E[cos(2(ot+2⑦+①7)+cos6yr]

^E[A2]cosar与时间的起点无关，且仇X2（f）]<8

因此，是广义平稳的随机过程。

2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成

的随机过程

X(t)=Acoscoj+Bsina)Qt

是宽平稳而不一定是严平稳的。其中如为常数，A、B的

数学期望为零，方差〃相同。

11E：E[X⑺]=E[A]cosco()t+E[B]sin=0

Rx(，/+】)=£[(Acos%+Bsina)ot)(Acos/(r+汇)+8singQ+r)]

=E[A2cos①otcosgQ+r)+A5cos豌，singQ+7)+ABsing，cos+r)+B2sing，singQ+汇)]

2

=E[A]COSCOS+r)+E[A]E[B]cosa)Qtsin+r)+E[A]E[B]sind20Zcosa)Q(t+r)

2

+E[B]sinco0tsing。+r)2

2

=E[A]cosco()tcosgQ+汇)+仇公]singfsincoQ(t+r)

(E[X2]^D[X]+(E[X]Y)

2

=acosC()QT

E[X2(Z)]<OO

因此，是广义平稳的随机过程。

Rx(%也，%)=E[(Acosgf]+8sin%])(Acos%2+Bsin/^XAcosg^+8singf3)]

2

=E[(Acoscos0)^2+A8cosg4sin0)^2+ABsingKcos690f2+82sing。sin)(/1cos690r3+8sin

32

=E[(Acosa)()t]cosgj+A8cosgqsinco0t2+cosa)Qt2+AB?sing)sin^0r2)cos6y0r3]

223

+E[(ABcosco{)t}cosco()t2+ABcos6D()t]singj+AB?sin6yoz)costy(/2+Bsina)^xsin^/2)sin6y()/3]

3cos

=E[Acos卬]cosW3]+aB'sin卬]sina)ot2sincoQt3]

可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过

程的要求。

第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题

2.6有二个样本函数再⑺=2,x2(t)=Zcosf,%。)=3sinf组成的随机过

程X"),每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳

或宽平稳的条件？

解：X(t)={%,(0,x2(t),x3(t)}={2,2cosr,3sin/)

"尸2=6=；

31

E[X(f)]==-(2+2cosf+3sinf)

由于数序期望与时间相关，不为常数，因此不满足一

阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。

2.7已知随机过程X(f)=AcosQ+O),⑦为在[0,2万]内均匀分布

的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满

足什么条件时，X”)是各态历经过程？

解：

(1)考查X。)为平稳过程的条件

在A为常数或与。不相关的随机变量时，满足

顼X")]=o

Rx(t,t+r)=E[X(t)X(t+r)]=E[A2cos(M+⑦)cos{啰。+「)+◎}]

1,、

=—E[A~]{E[cos(2(ot+204-COT)]+£[cos69r]}

1

=—E[A^2]cosa)r

=Rx⑺

(2)考查x⑺为各态历经过程的条件

在A为常数或与。不相关的随机变量时，满足

_____[7]74

X(t)=lim——=lim——|,Acos(^+(P)dt=lim——cos(Psin(t)T=0=E[X(r)]

r-*®2T*z82T{ttb①T

—I—/

而

______________]T,T

X«)XQ+r)=li。m—Jx(/)X(f+2)df=lim—JA2cos(m+6)COS{GQ+7)+◎}力

丁―02TTT->g2T7

17rA2

lim—[——[cos(2切+2⑦+GT)+COS邮■[力

eTfg27T­*/2

A2

=——COSCOT

2

只有在A为常数时，满足X(f)X(f+r)=Rx(r)。

欲使X⑺是各态历经过程，A必为常数。

2.8设X”)和丫⑴是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积

是否平稳？

解：令z(f)=x«)y(f)

E[Z(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]E[Y(t)]=mxmY

R7(t,t+r)=仇XQ)y(f)XQ+r)y(Z+r)]

=E[X(t)X(t++r)]=/?x(r)/?/r)=/?z(r)

又E[Z\t)]=E[X\t)Y\t)]<oo

X⑺和丫⑺的乘积是平稳的。

2.9求用x(t)自相关函数及功率谱密度表示的

y(f)=x(/)cos(%+。)的自相关函数及功率谱密度。其中，①为

在[。,2%]内均匀分布的随机变量，X")是与。相互独立的随机

过程。

角华：RYQ,f+r)=E\Y{t}Y(t+T)]=E[X(Z)cos(6y0Z+①)X(t+r)cos{<y0(f+r)+0}]

=E[XQ)X(t+r)]E[cos(d)(/+⑦)cos{为oQ+r)+0}]

=；Rx(r)cos6?0r

=Ry(r)

0018

je0T；£yr

SY(co)=^RY(T)e~dr=—(r)cos690re'^r

-O02-8

10

=—p?x⑺+e97一”""

-<J0

=-j/?xe)[e-〃3+⑥”+e〃3-%)rUr

-oo

=—[Sx(coco0)+Sx(co-coQ)]

2.10平稳高斯过程x“)的自相关函数为感⑺=产1,求x⑴的

一维和二维概率密度。

角1:=R(oo)=limR(r)==0

xr->ooxr->co2

mx=0

,1

城=0(0)-用(8)=万

(1)X(f)的一维概率密度：

上

12x112

2=下建

V2

(2)求出r,带人二维高斯概率密度公式即可。

第七次作业：练习二之11、12、13、14、15题

2.11对于两个零均值联合平稳随机过程XQ)和丫⑺，已知

城=5,才=10,说明下列函数是否可能为他们的自相关函数,

并说明原因。

9

R(T)=-cos(6r)e'r(2)

(1)Y3r

⑶Ry(r)=6+4产(4)/?x(r)=5sin(5r)

⑸Rx⑺=5认⑺**(6)Rx(r)=5e-|r|

解：

(〃)自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)

满足；

(b)Rx(o)>\Rx(T)\t(〃)中仅有(2)、(3)、⑹满足;

(c)对于非周期平稳过程有犬=阳(0)-&(8),(Z?)中仅

有(6)满足。

因此，(6)是自相关函数。

2.12求随机相位正弦信号x«)=cos(如+初的功率谱密度,

为在［0,21］内均匀分布的随机变量，g是常数。

Rx(t,t+T)=E[X(t)X(t+r)]=E[cos(d?0r+G)cos{g(f+工)+—}]

解：1

=—cos<y^r

00|00

JMTja)r

Sx(①)=^Rx(r)e~dT=—^cosco0Te~dr

-oo2V

7T

=—[^(<y+(y0)+^(<y-(y0)]

2.13已知随机过程x(f)="x,c),式中为是常数，x«)是平

稳过程，并且相互之间是正交的，若心⑼表示xe的功率

普密度，证明X。)功率谱密度为

Sx3)=Z"：Sxi3)

证：因xe是平稳过程;并且相互之间是正交的，

号6)=0,凡.。

Rx«)=讥X(f)X(f+r)]=《X«)£qX,(f+r)]

i=li=l

=*港[X«)X«+r)]=%®⑺

Sx®)=限⑺JEDRH(93d7=Zq2Sxj(@)

—oo—coi=li=l

2.14由x⑺和丫⑺联合平稳过程定义了一个随机过程

V(r)=X(r)cos卬+Y⑺sin卬

(1)X⑺和y⑺的数学期望和自相关函数满足那些条件可使

v⑺是平稳过程。

(2)将(1)的结果用到“)，求以x⑺和丫⑴的功率谱密度

和互谱密度表示的”)的功率谱密度。

(3)女睐Xo)和y⑺不相关，那么V”)的功率谱密度是什么？

解：

(1)E[V(t)]=£[X(r)cosd；0r+y(r)sin690r]=£[X(r)]cosd)0r+E[y(r)]sin690z

欲使E[V(r)]与时间无关，不随时间函数cosg八sing/变

化，x(f)和y⑴的数学期望必须是£[%(/)]=o,£[/(?)]=o；

Rv(t,t+r)=E[V(t)V(t+r)]

=E[{X(z)cos(oQt+y(r)sin6>or}{X(r+r)cos^0(r+r)+K(z+r)sin<y0(z+r)}]

=E[X(t)X(t+工)]cosgfcosg〉+r)+E[X(t)Y(t+一]cos%sing4+r)

+E[Y(t)X(t+r)]sin30tcosg(r4-r)+E[Y(r)K(t+r)]singfsing(t+r)

=Rx(r)cos690rcos6y0(z+r)+Rxy(r)cossin6y0(/+r)

+Ryx(r)sin4rcos为«+r)+Ry(r)sin①°tsin%(r+r)

推导有误

在Rx〃)=Ry⑺,Rxy。“修⑺时，上式可写作与时间起点无

关的表达式：

/?v(r)=Rx(r)cosgr+/?xr(r)sinCD^T

因此,当司乂(6=0闽丫(/)]=0,Rx«)=&，)，&《)=—%⑺时，V⑺

是平稳过程。

(2)对&(T)=Rx⑺cosd)aT+RXy(r)sin6v两边同时作傅氏变换:

oooo

JMTJ(OT

Sv(co)=^Rv(T)e~dr=jfRx(r)cosCO^T+/?xr(r)sinco^T]e~dT

-CO-00

=~[^x_^o)+5，x(6y+^yo)l+^[^xr(6y-6yo)+^xr(69+69())l

结果有误，第二项系数是l/(2j).

(3)x⑺和丫⑺不相关，v⑺的互功率谱密度为零。

5V(6>)=—[Sx(69-690)+5x(69+ty0)]

2.15设两个随机过程x«)和丫⑺各是平稳的,且联合平稳

X(。=cos(gt+①)

YQ)=sin(gf+①)

式中，⑦为在［0,2乃］内均匀分布的随机变量,例是常数。他

们是否不相关、正交、统计独立。

解:£[X(/)]=£[/(/)]=0

Rx(r)=RY(r)=geosco^r

Rxy(7)=E[X(f)y(f+7)]=E[cos(gf+0)sin(gf+0)]=gsing7有误：改

为sin(wot+woZ+0)

Cxr(r)=7?xr(r)-E[X(t)]E[Y(t)]=；sing"0

XQ)和YQ)是相关的，不是统计独立的;

又Rx“r)wO,X(f)和丫⑺是非正交的。

第八次作业：练习三之1、2、3、4、5题

3.1RC积分电路的输入电压为x“)=x°+cos(卬+。)，其hX。和

。分别是在[0,1]和[0,24]上均匀分布的随机变量，且相

互独立。求输出电压y⑺的自相关函数。

解:Rx(T)=E[X(t)X(t+T)]=£[(X0+cos(«w0f+0)}{Xo+cos®+g」+0)}]

=E\X^+XoCos(gf+0)+XoCos(4f+gz+0)+cos(gf+