甘肃省庆阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

甘肃省庆阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

姓名：班级:成绩:

'V

亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

1.（1分）（2012•武汉模拟）在一次师生同台的课本剧表演活动中，学生和老师共54人，已知学生人数比

老师的两倍还多，女生比男生多，女老师比女生少5人，至少有3名男老师，那么这54人中，共有男生

人.

2.（5分）三个连续偶数的和是54,这三个偶数分别是多少？

3.（5分）根据条件判断旅游团去了」、B、C、D、E中的哪几个地方？

⑴如果去A,就必须去B；

⑵Z＞、E两地至少去一地；

⑶5、C两地只能去一地；

⑷C、E两地要去都去，要不去都不去；

⑸若去。，则4、E两地必须去.

4.（5分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分.比

赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？

5.（10分）甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高.”乙说：“我不最矮.”丙说：“我没甲

高，但还有人比我矮.”丁说：“我最矮.”实际测量的结果表明，只有一人说错了.请将他们按身高次序从高到

矮排列出来.

6.（5分）在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，

至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

7.（5分）甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四

人分别回答如下.甲：“丙、丁两人中有人做了好事.”

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乙：“丙做了好事，我没做.”

丙：“甲、丁中只有一人做了好事.”

T：“乙说的是事实."最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事

实有出入.到底是谁做了好事？

8.（10分）浪费掉人的一生的三分之一时间的会是什么东西？

9.（5分）有一个年轻人，他要过一条河去办事；但是，这条河没有船也没有桥。于是他便在上午游泳过河，

只一个小时的时间他便游到了对岸，当天下午，河水的宽度以及流速都没有变，更重要的是他的游泳速度也没有变，

可是他竟用了两个半小时才游到河对岸.

10.（2分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做

和）.

11.（5分）一把11厘米长的尺子，可否只刻3个整数刻度，即可用于量出1到11厘米之间的任何整数厘米

长的物品长度？如果可以，问应刻哪几个刻度？

12.（5分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，

使两个人的回答相同吗？

这个问题可以是

13.（5分）文IJ刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛.事先规定：兄妹二

人不许搭伴.第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹.问：三个男孩的妹妹

分别是谁？

14.（5分）三位女孩A、B、。进行百米赛跑，裁判D、E、F在赛前猜测她们之间的名次。D

说：“我猜A是第一名。"E说：“我猜C不会是最后一名。"F说：“我猜B不会是第一名。”成绩揭

晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？

15.（5分）一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“，认为错误的就画“•”.记分的

方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分.已知一、B、C、D、E、F、G七人的

答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分.并简单说明你的思路.

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ABCDEFG

1JJXX

2XXXX

3XXXX

4JXX

5XJX

6JXXXX

程分755597

16.（5分）由X,3,C三个班中各出3名学生比赛长跑.规定第一名得9分，第二名得8分，第三

名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分.比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也

没有同一个班的学生获得相连名次的.如果第一名是C班的，第二名是8班的.那么最后一名是哪个班的？

17.（5分）4、B、C>D、E五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定

胜者得2分，负者不得分，己知比赛结果如下：①X与E并列第一名②B是第三名③C和D并列第四名。

求B得多少分？

18.（5分）学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，如果大明得30分，且知

他有6个球没有投进，那么大明共投了几个球？

19.（5分）在下面的方格中，每行、每列都有1〜4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。A

应该是几?B呢？

20.（5分）（2018•江宁）一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个

数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四

位数。

二、染色与赋值问题（共11题；共60分）

21.（5分）甲、乙、丙三人分别是二年级一班、二班、三班的学生，在学校运动会上，他们分别获得了跳高、

百米赛跑和铅球冠军。已知：二班的是百米冠军；一班的不是铅球冠军；甲不是百米冠军；乙既不是二班的也不是

跳高冠军。他们三人分别是哪个班的?获得了哪项冠军？

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22.（5分）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输

者得0分.结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分?

23.（5分）邻数

小胖与同学进了大剧院，戏还没有开场

小丁丁坐在小胖的后面，他个子太小，无法越过小胖的头看到舞台上……

（1）小丁丁坐在哪个位子上？

（2）小丁丁的邻座的号码是什么？

24.（5分）张老师把红、白、蓝三种颜色的气球分给三位小朋友，根据下面的对话，你能猜出他们分到的各

是什么颜色的气球吗?

25.（5分）三个小朋友去买文具，他们分别要买铅笔、转笔刀和尺子。

‘我要买（我要买的'（我要买初

K子J〔不是忸芜,I是什么？

26.（5分）在一次数学竞赛中，A,B,C,D,E五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次

的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测：M说：''第二名是D,第三名是B.”B说：“第二名是C,

第四名是E.”C说：“第一名是E,第五名是A.wD说：“第三名是C,第四名是AE说：

“第二名是B,第五名是D.”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？

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27.（10分）A.B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘.到现在为止，A已

经赛4盘，8赛3盘，。赛2盘，D赛1盘.问：此时E同学赛了几盘？

28.（5分）四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，有一个队

没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由.

29.（5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮

球和大皮球各需要多少元？

30.（5分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突

然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把同学们写好的纸条收

走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。”这时下面有个特别聪明的同学，

立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都

很佩服这个同学。那么同学们能够说出这个同学这样说的原因吗？

31.（5分）给三个非常聪明的人各戴了一顶帽子.并且告诉他们，他们的帽子的颜色可能是红色的，也可能

是蓝色的，没有其他颜色.且三人中至少有一个人的帽子是红色的.三人互相看了看，没有人能很快地说出自己戴

的是什么颜色的帽子.三人又冥思苦想了一阵，几乎同时都猜到了自己戴了什么颜色的帽子.你知道他们三人各戴

了什么颜色的帽子吗？请说明理由.

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参考答案

一、最佳安排和选择方案（共20题；共103分）

1-1,【第1空】18

解:54+3=1818-2=16

18+2=20

2-1、答：这三NSS!分别是16,1瓯20.

3~1、

IS:从（3）入手，分别假设去5或c：（3清去5则不能去C，⑷不能去E,Q）只能去0（52须去E.与不能去上

矛盾.所以不能去B假设去C:（4叱去E.（2潢去D,G必须去A-E1（1法A必须去B•与6）B、C不能同去矛盾•

所以不能去D•综上只能去C，E♦

4-1、

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癣：（法一）四人共赛6局，总分为6x2=12（分），因为没有人全胜,所以得分量鬲的选手最多是两胜一平得5分，因此

在另外的3局比赛中：

如果全部是平局，则4个人的分财能分别为513•2•2•就会出现分数相同的情况，如图1（图中脑头表示有胜负,

箭头指向输者,虚线表示平局）

如果有2局是平局，则可以出现满足条件的情况：4人分数分别为5・4，2，1，如图2

所以至少存3局是平局.

（法二）四人共赛6局，

如果6局都是平局，那么四人总分相同，不合题意.

如果有5局平局，那么除有胜负的两人外，月两人总分相同，不合篁意.

如果有4局平局，号以可分为三种情况：f人胜两局，输的两个人息分相同；f人输两局,胜的两个人忌分相同；四个人

中两人胜两人负,两个胜的人总分相同,两个负的人总分相同，都不合堡意.

3局平局是可能的,如下图所示,踏漾示平局，筋头指向的一方为负方,图中数字为各人总分.

5-1、

解：丁不可能说锦,否则就没有人最矮了.由此知乙没有说相.若甲也没有说错，则没有人说错.矛盾.所以只有甲一人说

错.所以丁是最矮的,甲不是最高的，丙没甲商，但还有人比他矮,另眩只能是甲第二高，丙第三商,乙最高.所以他们的身

高次序为乙.甲、丙、丁.

6-1

裤：如图，将长方形按中线分为两部分，则由抽屉然有3个点在同一个区域，那么由这3个点所构成的三角形的面积必

然小于该区域的一半，即长方形面的四分之一.

7-1

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(1)假设乙与丁说的话正确.这时丙做了好事,甲说丙、丁两人中有人做了好事,甲说的话也正确，这与题目条件只

育-两人说的是事实一相矛盾.所以假设错误.

(2)假设甲与丙说的话正扁.另口做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁.若做好事的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也

正确，与—；若做好事的是乙与丁,则乙说的话与事实不符,衿合题意.综上所述,做好事的是乙与丁.

答：乙与丁做了好事.

8-1、事:床.

9-1,解：两个判例就是一〃何啊.

10-1

薛：把这2008个数先排成一行：。],心♦的.....•。2008)

第1个数为的；

前2个数的和为的+g；

前3个数的和为的+g+为；

前200844089^0为0]+。?+…+。”08.

如果这2008个和中有fS20089%S数,月弦问蹙已经婚决；如果这20084和中没有2008的倍数,另眩它们除以2008的余数

只能为1,2.........2007之一，根据油扈原理,必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差(仍然是可，叼，为，

.......600$中若干个数的和)是2008的倍数.所以结论成立.

H-K修：可以刻度可位于2,7,眦.

12-1、修：你是老实人吗？(或你是』子吗?)

13-1、

解:因为兄妹二人不许搭伴,所以塞目条件表明：刘刚与小瓯李强与，J俣.李强与小红都不是兄妹.田第二盘看出，小红不

是马龌的妹妹.将这些关系国在左下表中，由左下表可得右下表.

小丽小英小丽小英慎

刘刚X刘刚XXJ

马库X马修XJX

李强XX钠JXX

刘刚与“包、马辉与，J庚.李强与〃曲分别是兄妹.

14-1

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解：假设a是第一名,那么D猜测正确，F猜测正确，出现矛盾.假设B是第一名，月弦£)与尸猜潮8谡，而当C为第

二名时，£猜测正确.假设c为第一名，那么5.F猜测正确，出现矛盾，所以第一名是B.

15-1、

解：由于E得了9分，说明他只答错了一遵题.先假定答错的是第1襄,这样就有一个标准答盘,并由此可分析其他人的得分.

如出现矛盾，再假定£答指的是第2题……直到判断出£答错的题号为止.有了正确的答案,就可以写出G的得分.

假设E的第1题答错，另口A至少错3遒题,T未答，最多得5分，与j得7分矛盾.所以£第1题答对.

假设£第2题答镭，可知A最多得3分，矛盾.所以£•第2题答对.

假设E第3壁餐错,则B最多得3分，矛盾.所以石第3典答对.

线设E第6S答错,则0最多得3分，为S.所以上第6副答对.

由于£得9分，因此E只答错一塞,因此£桀4题答播,于是j的第2,4两题对，3,6两题错.而j得7分，说明j的第5

题是对的.由.｛，E两人的答叁，可若一标准答盍如下表：

题号123456

答案XX4JX

按此标准评分，与黑中所给」.B•C>D'E-F得分相符合,所以石的第4整确实答错了.

上表的答案是正确的.故可知G得8分.

16-1、

阴：:tug学冬泗淞j：[+2+3+4+5+6+7+8+9=45・

由于三个班的总分相等,即每个班均为15分,将1—9S9个目标,三个数T8分为3殂,使每组之和都是15,只有以下两种情

况：

⑴TB得分为：9,5,1;

二姐得分为：7,6,2;

三姐得分为：8,4,3.

(2)F得分为：8,6,1;

二《得分为：9,4,2;

三组得分为：7,5,3.

在第一种情况中，二组、三组都有相迩的数，即相连的名次，这不合题意,所以只能取第(2)组的数手.那么c班有笫一

名，得分是9,4,2；B班有第二名，得分是8,6,1；则」班得分为7,5,3.可见最后一名是B班的学生.

17-1、

第9页共12页

解：先计算一下有多少场比赛?忌分是多少？再确定第一名的得分.

共五名选手参加比赛，每人都要赛4场，每场比赛不是得2分就是得0分，所以每名选手的总分T是0.2、4.6.S

5JR之一.四场都负得0分，四场都胜得8分，因此，5的得分比0分多，比8分少（他不是第一，也不是第四），只可能

是2.4.6三数之一•还不要忘记两个并列第一,两个立于」第四这两个亶要条件.

因为五个人一共比赛4x5；2=10（场），所以10场球一共得分：2x10=20（分）.有两个并列第一，两个并列第四，

决定了没有全胜的，也没有全败的,也就是没有得§分的，也没有得0分的，得分情况只有2、4、6分三种.所以，并列笫

T5-共得：6x2=12（分），并列第四的一共得：2x2=4分第三名得“一（12+4）=4（分），所以.8得4分.

18-1、

解：大明有6个球没有投进，要被扣掉6分，如果不考虑这6个球，大明应该得30+6=36（分），规定投进一球得3分，

36-3=12（个），所以，大明投进了12个球，加上未投进的6个球，大明共投了12+6=18个球•

19-1、答：A®,B是2

20-1、

婚：由四位致中数字0的个数与位置入手进行分析，由最高位非0,所以至少有一诋字0.若有三个数字0,第一个数字为3,

则四位数的末尾一位三港,这样数字个数超过四个了.所以零的个数不能超过2个.（1）舆育T9,则首位是］,第2位不能是0,

也不能是1;若为2,就须再有fl,这时由于已经有了2,第3个数字为1,末位是0:第二个散大于2的数字不可能；⑵恰有2

个0,第一G2R能是2,并且第三个数字不能是0,所以二、四位两个0,现在看第三个数字,由于第二个和第四个数字是0,所

以它不能S1和3,更不U迪3以上的数字,只能是2.

答：这个四位数可以是1210或2020.

二、染色与赋值问题（共11题；共60分）

21-1、修：氏是一班的跳高冠军；乙是三班的铅球冠军；丙是二班的百米赛曲冠军.

22-1、

婚:共四人参加比赛,每人都要赛3场，摩场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，四个人循环比赛皂共比赛

4x3—2=6（场），因此最终四个人的得分加起来一定是门6=12（分）.每名选手的总分TS0〜6七个数之一.又

由瞿怠，“甲第一，乙.丙并歹IJ第二,丁最后一名”.可知中得6分时，乙.丙只能各得3分,丁得0分.

如果乙.丙得分大于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分小于等于4分，这种情况不可能；如果乙、丙得分小

于3分时,根据四个人的总得分是12分，可得甲得分大于等于7分，这种情况也不可能；所以乙得3分.

23-1、217

23-2、216,218

24-1、答：春花分到的是红3，小新分到的是吩礴,海气分到的是白招

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25-1、答：小的要买的是铅笔.

26-1、

辉：假设.猜的第一句是真的,月该B猜的第二句是真的，即第四名是£,那么c猜的.£•是第一名"是错的，a是第五

名，那么。猜的U是第三名是对的，另隐B就是第一名，从而E说的全是惜的.所以假设不成立.所以A猜的第二句是口

的，即5是第三名,那么D猜的第一句是相的，从而A是第四名，所以C猜的第二句是错的，E是第一名，从而5猜的C

是第二名是对的,£猜的第五名是0正确，所以，第一名是£,第二名是c.第三名是B■第四名是A.第五名是D♦

27-1、

联：画5个点表示五位同学,两点之间诙表示赛一场.

根据题意，.已经赛4盘，说明<与B、C-D•-E各赛一盘tA应与B-C*D'E点相连.赛1盘，是与.

点相连的.5赛3盘，是与.八C、E点相连的.0赛2盘，是与.、B点相连的.从图上E点的连线条数可知，E

同学春了2盘.

28-1