2024年南开中学高三数学第五次月考检测试卷附答案解析

年南开中学高三数学第五次月考检测试卷考试时间：120分钟试卷分共150分第I卷一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．如图，下列能表达这条曲线的函数是（

）A． B．C． D．4．已知等差数列和的前项和分别为，若，则（

）A． B． C． D．5．某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（

）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．46．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．7．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的简型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2，外径长3，筒高4，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（

）A． B． C． D．8．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下五个说法正确的个数为（

）①函数的最小正周期是；②函数在上单调递减；③函数的图象关于直线对称；④将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称；⑤当时，.A．0 B．1 C．2 D．39．已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．2第II卷二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）10．若，则的共轭复数为.11．在的展开式中，的系数为.（结果用数字表示）12．已知直线与圆相交于两点，且，则实数13．某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为.14．已知中，，且的最小值为，则，若为边上任意一点，则的最小值是.15．对任意，不等式恒成立，则的取值范围是.三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.(1)求角A的大小；(2)若，求的值；(3)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积.17．如图，棱柱的底面是菱形，，所有棱长都为，，平面为的中点.

(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到直线的距离.18．已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且．(1)求的通项公式；(2)求；(3)求．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.20．已知函数．(1)证明：当时，；(2)若函数有两个零点．①求的取值范围；②证明：．1．C【分析】直接由交集补集的定义求解即可【详解】因为，所以，所以，故选：C.2．A【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，可得，所以，解得，又由，可得，解得，因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．C【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，即可得出结果.【详解】解：观察图象可知，函数的图象关于轴对称，应是偶函数，而选项B，，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意，选项D，，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意，对选项A而言，当时，，不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题.4．C【分析】由等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解结果．【详解】因为是等差数列和的前项和，，又所以故选：C.5．D【分析】利用频率分布直方图的性质判断①，利用众数、百分位数的求法判断②③，根据频率分布直方图计算可估计总体判断④.【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确；前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确；成绩高于80分的频率为，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确；综上①②③④正确，故选：D6．A【分析】对同时次方后比较大小，即可判断大小；对，根据，即可比较大小.【详解】由题可得，则，故；又，故，综上所述：.故选：A.7．B【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可.【详解】圆筒体积为底面半径，高度为的圆柱体的体积减去底面半径为，高度为的圆柱体的体积，故其体积；中间部分的体积为棱长为的长方体的体积减去底面半径为，高为的圆柱体的体积，故其体积；故玉琮的体积.故选：B.8．C【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由图像可知，解得，①说法错误，所以，解得，将代入得，所以，，即，，又因为，所以，，当时，，所以在上先单调递减，再单调递增，②说法错误；当时，，，所以的图象关于直线对称，③说法正确；将函数的图象向右平移个单位长度后得到，其图象关于轴对称，④说法正确；当时，，则，，⑤说法错误；综上③④说法正确，故选：C9．A【分析】根据内切圆于，可设，进而得，结合，可得，进而得，求得，判断出，由焦点三角形求得，即可求解.【详解】设内切圆的半径为，由，即，则,设，则，则，由，即，则，则，，则，故，同理得，故，故，则，故，则，则.故选：A

【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．10．【分析】利用复数除法运算求得，再求其共轭复数即可.【详解】根据题意可得，故其共轭复数为.故答案为：.11．90【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对，有，令，解得，有.故答案为：.12．7【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，若，则圆心到直线即的距离，又由圆心到直线的距离，则有，解可得：.故答案为：.13．####【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率.【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有种，选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况种，故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为；任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为，而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为，故答案为：，14．【分析】设，则，计算得到，建立直角坐标系，则，计算得到答案.【详解】设，由题意，当且仅当时等号成立，又因为的最小值为，所以，解得，即，又，所以，因为中，，所以，解得所以，所以，所以，如图所示建立直角坐标系，则，，，，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故答案为：；.15．【分析】把不等式转化为，记，则原不等式转化为恒成立，画出的图像，然后用数形结合和图像变换的思想来解题即可.【详解】解：不等式等价于，记，则原不等式等价于.所以，不等式恒成立等价于不等式恒成立.而，且图像如下图所示：可以看作是向左或向右平移个单位，不等式恒成立可以看作是的图像在的上方或函数值相等.所以要使的图像在的上方或函数值相等只能把的图像向左平移至少1个单位得到，如下图所示：所以：.故答案为：.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、图像变换、数形结合的思想，属于综合性题目.16．(1)(2)(3)，【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；（3）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由正弦定理求外接圆半径即可.【详解】（1）由，由正弦定理，从而有，，，，.（2）因为，所以，.（3）因为，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以的周长为，由，所以外接圆的面积.17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，即可得到，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；（3）令，，再根据距离公式计算可得.【详解】（1）连接，因为为的中点，为的中点，所以，且平面，平面，所以平面.（2）因为平面，且为菱形，所以，如图，以点为坐标原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.又，所以为等边三角形，所以，则，在中，，可知，

则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，取平面的一个法向量为，所以.设二面角为，显然二面角为锐二面角，则，即二面角的余弦值为.（3）又，所以，所以，所以，，所以，所以，，所以，所以点到直线的距离.18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定定义，可得，再列出方程求出作答.（2）由（1）的信息，利用裂项相消法求和作答.（3）利用（1）的结论，结合分组求和法及等差数列前n项和公式求解作答.【详解】（1）依题意，，，，由及，得，解得，于是，所以的通项公式是.（2）由（1）知，，，，所以.（3）由（1）知，，，所以.【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.19．(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合离心率求出即得.（2）（ⅰ）在直线的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心到距离，列出的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得.【详解】（1）因为当垂直于轴时，，而直线与Γ相切，则，解得，又椭圆的离心率为，则椭圆的半焦距，，所以的方程为.（2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：，由消去得：，由直线与椭圆相切，得，整理得，于是圆心到直线的距离，则的面积为，设，求导得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值，此时，当的斜率不存在时，由（1）知，，由，得，则.对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点，当为线段的中点时，取得最大值，所以.（ii）因为均存在，设点，且，设是集合中到的最近点，根据对称性，不妨设，令点到集合的最近点为，点到集合的最近点为，因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，因为是集合中所有点到集合最近点距离的最大值，则，因此，而在坐标平面中，，又点是集合中到点的最近点，则，所以.【点睛】关键点睛：本题第（2）问涉及新定义问题，反复认真读题，理解最小距离的最大值的含义是解题的关键.20．(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论判断的单调性，结合单调性和最值分析证明；（2）①令，整理可得，设，求导，利用导数判断单调性，结合单调性分析零点问题；②分析可知原不等式等价于，构建函数证明即可.【详解】（1）由题意可得：函数，且，，若，则在内恒成立，可知在内单调递增，可得；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，可得，且，则，则；综上所述：当时，.（2）①由题意可得：，令，整理可得，设，则，且，可知，令，解得；令，解得；则在内单调递减，在内单调递增，由题意可知：有两个零点，则，解得，若，令，则则，可知在内有且仅有一个零点；且当趋近于，趋近于，可知内有且仅有一个零点；即，符合题意，综上所述：的取值范围为；②由