吉林省长春市市第五十六中学高三数学理摸底试卷含解析

吉林省长春市市第五十六中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是(

)

A.

B．

C．

D．参考答案：C2.已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（

）A.B.C.D.参考答案：D3.已知点，，若直线：与线段AB没有交点，则的取值范围是（）A.

B.

C.或

D.参考答案：C4.若实数满足，则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D5.“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“数列{an}是常数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列和等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}为常数列，且an≠0，则反之当an=0时，满足数列{an}为常数列，但数列{an}不是等比数列，即“数列{an}既是等差数列又是等比数列”是“数列{an}是常数列”的充分不必要条件，故选：A6.设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A?B的B的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：B【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A?B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．【点评】本题考查了集合之间的运算性质、元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.函数，则A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.在，则△ABC的面积为

(A)

（B）

(C)6

(D)12．参考答案：C9.设函数,则（）A．

B．3

C．

D．参考答案：D10.若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．【解答】解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是．参考答案：（0，1]【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．12.Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=2，S3=12，则a6=

．参考答案：12【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，S3=12，∴3×2+=12，解得d=2．则a6=2+5×2=12．故答案为：12．13.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为

．参考答案：2略14.设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是

.参考答案：15.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是

▲

.参考答案：16.已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___________．参考答案：解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值

17.几何证明选讲）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=

．参考答案：因为∠B=∠D，，所以与相似，所以，所以AE=2，所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，过圆O外一点P分别作圆O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，过点A作PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q．（1）求证：AB2=PB?AD；（2）若PA=2AQ，AD=，QD=2．求PC的长．

参考答案：（1）见解析（2）【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：（1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB，∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，∴△PAB∽△BDA．∴，∴AB2=PB?AD；（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，∴=∵AD=，QD=2，∴PB=3，QB=6．∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，∴PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，∴PC==．【思路点拨】（1）证明△PAB∽△BDA，可得AB2=PB?AD；（2）利用PO是圆O的切线，PA=2AQ，可得PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，结合AD=，QD=2，求PC的长．19.（本小题满分10分）选修：不等式选讲设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.参考答案：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求.

4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为20.设函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当a≥0时，f（x）＞0．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，0＜x＜1时，显然成立，x≥1时，得到x（x﹣2）lnx＞0，（0＜x＜1），设h（x）=（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a，根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=2（x﹣1）（lnx+a），（x＞0），①a=0时，f′（x）=2（x﹣1）lnx，0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＞0，x=1时，f′（x）=0，故f（x）在（0，+∞）递增；②a＞0时，令f′（x）=0，得x1=1，x2=e﹣a，此时e﹣a＜1，易知f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，在（1，+∞）递增；③a＜0时，e﹣a＞0，易知f（x）在（0，1）递增，（1，e﹣a）递减，（e﹣a，+∞）递增；（Ⅱ）证明：a=0时，f（x）=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2x，①若0＜x＜1时，f（x）＞0，②x≥1时，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，+∞）递增，则有f（x）≥f（1）=＞0，故a=0时，对所有的x∈（0，+∞），f（x）＞0，a＞0时，由（Ⅰ）得f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，（1，+∞）递增，且f（1）=＞0，故函数在（e﹣a，+∞）上f（x）＞0，下面考虑x∈（0，e﹣a）时，此时0＜x＜1，f（x）=x（x﹣2）lnx+（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a，其中，x（x﹣2）lnx＞0，（0＜x＜1），设h（x）=（a﹣）x2+2（1﹣a）x+a，则h′（x）=（2a﹣1）（x﹣1）+1，若0＜a≤1，则0≤2a≤2，﹣1≤2a﹣1≤1，而﹣1＜x﹣1＜0，故﹣1＜（2a﹣1）（x﹣1）＜1，故（2a﹣1）（x﹣1）+1＞0，即h′（x）＞0，此时h（x）在（0，1）递增，故h（x）＞h（0）=a＞0，若a＞1，则h（x）=（a﹣1）（x﹣1）2+x2+1＞0，综上，二次函数h（x）＞0，（0＜x＜1），故x∈（0，e﹣a）?（0，1）时，总有f（x）＞0，综上，当a≥0时，f（x）＞0．21.《中国好声音（TheVoiceofChina）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出．每期节目有四位导师参加．导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练．已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导师转身人数（人）4321获得相应导师转身的选手人数（人）1221现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况．（1）请列出所有的基本事件；（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3为导师为其转身，D，E有2为导师为其转身，F只有1位导师为其转身，由此能求出所有的基本事件．（2）利用列举法求出事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件，由此能求出两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率．【解答】解：（1）设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3为导师为其转身，D，E有2为导师为其转身，F只有1位导师为其转身．…（3分）则所有的基本事件有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15个；（6分）（2）事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有：AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF共9个，…（9分）故所求概率为．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法