江西省九江市十校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九江市十校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列为1，，9，，25，，…，则数列的一个通项公式是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为，所以数列：的通项公式为.故选：B.2.某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知，汽车在时间，，，上的平均速度的大小分别为，，，，设路程与时间的函数关系为，则，即为经过点的直线的斜率，同理为经过点的直线的斜率，为经过点的直线的斜率，为经过点的直线的斜率，如图，由图可知，最小，即最小.故选：C.3.已知等差数列前n项和为，若，则（）A.25 B.45 C.50 D.90〖答案〗B〖解析〗根据等差数列的性质可得，所以.故选：B4.已知函数的导函数为，若，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，所以，解得.故选：A5.已知等比数列的前项和为，若，，则（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗.故选：B6.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，所以时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：C7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，令，则，，当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，即，；，令，，因为，所以，所以在上为减函数，又，所以，即，，综上所述：.故选：D8.如图，已知正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.记某勾股树中最大正方形的边长为，第二大的正方形的边长为……以此类推，构成数列，且，若数列满足，则使得成立的的值有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，所以，解得，所以，所以，因为，所以，因为，所以，又，所以，解得，又，所以满足条件的的取值集合为.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，故D正确.故选：BD.10.已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由，得，由，得，得，得，得，故B正确；将代入，得，故A不正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线与直线垂直B.在上单调递增C.的极小值为D.在上的最小值为〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，所以，故A错误；令，解得，所以的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故B正确；当时，所以的单调递减区间为，所以的极小值为，故C正确；在上单调递减，所以最小值为，故D错误；故选：BC12.已知数列的前n项和为，且，，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗根据，得，解得：，所以，当n为偶数时，，同理，当n为奇数时，，对于A,,故A正确，对于B,若数列是等比数列,即要求数列为等差数列，根据上述结论，数列不为等差数列，故B错误.对于C,,故C正确，对于D,,故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知首项为的数列满足，则________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，.故〖答案〗为：14.若函数存在两个极值，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，且，因为函数存在两个极值，所以即有两不相等实数根，即，解得或，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：15.已知首项为1的数列满足，则________.〖答案〗〖解析〗由，得，因为，所以，进而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即.故〖答案〗为：.16.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗，则，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在上单调递增，在上单调递减，得，所以，即实数a取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式以及；（2）求的最小值.解：（1）由题意得，设等差数列的公差为d，则，即，解得，所以，；（2）由（1）知，，是一条开口向上，对称轴为的抛物线，所以当时，取到最小值，且最小值为，所以的最小值为.18.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间.解：（1），，所以函数在处的切线方程为，即切线方程为；（2），当，解得：或，当，解得：，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.19.已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.解：（1）①，当时，，解得.当时，②，①-②，得，所以，又，符合上式，故.（2）由（1）知，则，所以，则.20.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.（2）当时，，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，即为最小值，且最小值为.又恒成立，所以在上恒成立，所以，即实数的取值范围为.21.已知正项等差数列的前n项和为，其中，.（1）求数列的通项公式及；（2）若，求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，则，因为，所以，化简为，解得：或（舍），所以，；（2），两式相减得，22.已知函数.（1）讨论函数在上的零点个数；（2）当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.解：（1），，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，，其中，若，即时，零点个数为0，若，即时，零点个数为1，若，即时，零点个数为2，若，即时，零点个数为1，若，即时，零点个数为0