湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题（共12小题，60分.）1.已知且，若集合，，且，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，，且，当时，作出函数与的大致图象，则，即，所以，即；当时，设，若，，则恒成立，，满足，于是当时，，当且仅当，即不等式对成立，，由得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，于是得，即，变形得，解得，从而得当时，恒成立，，满足；综上，实数a的取值范围是或.故选：B.2.已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（）A.11 B.10 C.9 D.8〖答案〗B〖解析〗对于条件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，又，，则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，例如.故选：B.3.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗因，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，-a不是方程的根，故，不符合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意，所以，故.故选：B.4.若1∈{x，x2}，则x=（）A.1 B. C.0或1 D.0或1或〖答案〗B〖解析〗根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1.故选：B．5.已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为.若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.8〖答案〗A〖解析〗由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以或，故集合M中元素个数最大值为4.故选：6.若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于X的任意子集，当且时，有；（3）对于X的任意子集.当且时，有，则称M是集合X的一个“M——集合类”.例如：M＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合的一个“M——集合类”.已知，则所有含的“M——集合类”的个数为（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗D〖解析〗依题意知，中至少含有这几个元素：，{b，c}，{a，b，c}，将它看成一个整体；剩余的{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}；①{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加0个的集合为{，{b，c}，{a，b，c}}，1种，②{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加1个的集合为{，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，{、{b}，{b，c}，{a，b，c}}，{、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共3种，③{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加2个的集合共3种，即{b}、{c}；{c}、{a，c}；{b}、{a，b}3种添加方式，④{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加3个的集合共4种，即{a}、{b}、{a，b}；{a}、{c}、{a，c}；{b}、{c}、{a，b}；{b}、{c}、{a，c}，4种添加方式，⑤{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加4个的集合共0种，⑥{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加5个的集合共1种，综上含的“M——集合类”的个数为12种.故选：D.7.设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（）A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③〖答案〗D〖解析〗对于①：集合，则，解得，即，是一一对于，所以与集合相同，对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同，对于③：集合，，一一对应，所以与集合相同，对于④：，但方程无解，则，与不相同．故选：D.8.设集合，，下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于集合，因为与互为反函数，所以，互相关于对称，而，所以，只需要即可，因为，所以，，得，设，得，所以，，，单调递增；，，单调递减，所以，，得到，所以，；对于集合，化简得，设，，因为，可设，，单调递减，又，所以，当时，，，，单调递减，利用洛必达法则，时，，所以，，所以，；由于，，所以，D正确.故选：D.9.已知集合，，则满足的集合的个数为（）A.4 B.8 C.7 D.16〖答案〗B〖解析〗由题设，，又，所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，所以集合的个数为.故选：B.10.集合，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗已知，则，因为，所以当恒成立，即恒成立，即.这一函数是单调递增的，所以.故选：B.11.设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则，②对任意，若，则，下列说法正确的是（）A.若有2个元素，则有3个元素B.若有2个元素，则有4个元素C.存在3个元素集合，满足有5个元素D.存在3个元素的集合，满足有4个元素〖答案〗A〖解析〗若有2个元素，不妨设，以为中至少有两个元素，不妨设，由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，当集合有个元素时，由②得：，则或，当集合有多于个元素时，不妨设，其中，由于，所以，若，则，但此时，即集合中至少有这三个元素，若，则集合中至少有这三个元素，这都与集合中只有2个运算矛盾，综上，，故A正确；当集合有个元素，不妨设，其中，则，所以，集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.故选：A.12.如果集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，令，则，所以，由于，故.故选：A.二、填空题（共3小题，20分.）13.设集合，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有___________个“翔集合”.〖答案〗49〖解析〗设集合中满足题设性质的子集个数为，则，当时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：一类是含有n的子集，去掉n后剩下小于的单元子集或者是满足题设性质的子集，前者有个，后者有个；另一类是不含有n的子集，此时恰好是满足题设性质的子集，有个，于是，.又，所以.故〖答案〗为：49.14.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________〖答案〗1或〖解析〗，则只需考虑下列三种情况：①当时，，，又，，且，可得：，；②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去；③当即时，可得：且，，综上所述：或.故〖答案〗为：1或.15.设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．〖答案〗k≠±1〖解析〗∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.故〖答案〗为：k≠±1.三、解答题（共6小题，70分.）16.集合A中的元素个数记为，若且，则称M为集合A的二元子集．已知集合．若对集合A的任意m个不同的二元子集，均存在集合B同时满足：①；②；③，则称集合A具有性质．（1）当时，若集合A具有性质，请直接写出集合A的所有二元子集以及m的一个取值；（2）当时，判断集合A是否具有性质？并说明理由；（3）若集合A具有性质，求n的最小值．解：（1）当时，，则集合A的所有二元子集为，满足题意得集合可以是：，此时，或者也可以是，此时.（2）集合A不具有性质，理由如下：假设存在集合，即对任意的，，，则取，此时由于，由抽屉原理可知，必有，与题设矛盾，假设不成立，所以集合A不具有性质.（3）首先证明，反证法：假设，由集合具有性质，则存在集合，对于任意，，，则任取，，此时由于，由抽屉原理可知，必有，与题设矛盾，假设不成立，因此，然后证明：，当时，，由抽屉原理可知，存在，不妨设为，取，设，此时，且，故符合题意，综上所述，.17.已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；（3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.解：（1）对于集合因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集.（2）对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确.（3）证明：因为非空集合是封闭集合，且所以，假设是封闭集，由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，又因为，所以不是封闭集，得证.18.已知n为不小于3的正整数，记对于中的两个元素，，定义为，，…，中的最小值.（1）当时，，，，求的值；（2）若，为中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合.（3）若，且对于任意的，均有，求L的最小值.解：（1），，，，=.（2）若，，，，或.，解得或，即实数b所有可能取值构成的集合.（3）若，且对于任意的，均有，当时，，所以，若存在，使得，则，矛盾，所以L的最小值.19.对非空数集定义与的和集．对任意有限集A，记为集合A中元素的个数．（1）若集合，，写出集合与；（2）若集合满足，且，求．解：（1）因为，，所以，.（2）因为，所以，所以集合中至少包含个元素，所以，又由题意，所以，又为整数，所以.20.设集合，集合，若，求集合.解：由于，所以，所以，则，则，所以.21.对正整数，记，.（1）用列举法表示集合；（2）求集合中元素的个数；（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.解：（1）依题意，，则.（2）显然每一个k值，m值可取1，2，3，4，5，6，7七个不同数，即可得7个的值，当时，中m=1，m=2，m=3所对应的3个元素为1，2，3，另四个元素为4，5，6，7，当时，中m=2，m=4，m=6所对应的3个元素1，2，3为重复元素，另四个元素为分数，当时，均为无理数，没有相同数，因此，由计算可得个数，其中计算得到的数1，2，3各重复1次，则中元素的个数为，所以集合中元素的个数是46.(3)假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并，设，为不相交的稀疏集，使，不妨设，显然