新教材人教版高中数学必修第一册 全书常用结论

高考数学人教A版

(2019)必修第一册

常用42个结论

必修第一册常用42个结论

1.并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=A^B^A.

2.交集的性质：AA0=0；AAA=A；A^B=B^A-,A^B=A^A^B.

3.补集的性质：AU（[必）=U；AA（UA）=0；[u（[以）=A；[u（An3）=

（Ct/A）u（Ct/B）；[u（AuB）=（UA）n（[但）.

4.改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加

上量词，再对量词进行改写.

5.否定结论：对原命题的结论进行否定.

6.倒数性质

（l）a>b,ab>O^>-<r；

aD

(2)a<0<b=>|<p

ab

(3)a>b>0,d>c>O=>~>j.

7.有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

bb—m

->-------(b—m>0)；

aa-m

aa+maa—m

(b—m>0).

'7bb+mbb—m

8.分式不等式的解法

f（x）

（i）*r>°（<°）=f（x）g（x）>o（<o）・

f(x)g(x)>0(<0),

⑵f(x)6H

、g(x)于0.

9.两个恒成立的充要条件

,Ia>0,

（1）一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立=<b24<Q

.Ia<0,

（2）一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立=,

[b2-4ac<0.

10.几个重要的不等式

(I)a2+b2»2ab(a,b©R),当且仅当a=b时取等号.

fa+bV

(2)abqF—J(a,beR),当且仅当a=b时取等号.

(3)理萼b£R),当且仅当a=b时取等号.

hA

(4)£+32(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号.

11.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

12.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点.

13.函数单调性的两个等价结论

设Vxl,x2GD(xlWx2),则

f(xl)—f(x2).AI乂、tn

(1)---------7—；------->0(或(xl—x2)[f(xl)—f(x2)]>0)of(x)在D上单调递

X.1XN

增.

f(xl)—f(x2).qi乂、m»

(2)-----------------------v0(或(xl—x2)[f(xl)—f(x2)]<0)=f(x)在D上单调递

X.1XN

减.

14.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调

时最值一定在端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

15.函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区

间上具有相反的单调性.

(3)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶±偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶,

奇x偶=奇.

16.函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值X：

(1)若f(x+a)=—f(x),贝I]T=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=£了，则T=2a(a>0).

(3)若f(x+a)=—f,则T=2a(a>0).

17.募函数的图象和性质

、IJ需在直线力=1右侧,塞函数

\V、的指数由下面上逐渐增大

y亍J-1当a>0时，函数在第一象

-__x限内单调递癌__________

A\：\\\当仪<0时，函数在第一象

11\\_________，限内单调递减

国泰恒过点(1,1)|

指数函数图象的特点

18.指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),[-1,；),依据这三点的坐标

可得到指数函数的大致图象.

19.函数y=ax与y=()(a>0,且际1)的图象关于y轴对称.

20.指数函数y=ax与y=bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底

数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小.

21.换底公式的三个重要结论

①啊=』；

(2)logambn=_logab；③logab,logbc,logcd=logad.

22.对数函数图象的特点

(1)对数函数y=logax(a>0且a^l)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),

\，—1),函数图象只在第一、四象限.

(2)函数y=logax与y=logj_x(a>0且arl)的图象关于x轴对称.

a

(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

23.函数图象平移变换的八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量.

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值.

24.函数图象自身的轴对称

⑴f(—x)=f(x)=函数y=f(x)的图象关于y轴对称.

(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称u>f(a+x)=f(a—x)u>f(x)=f(2a—x)u>

f(—x)=f(2a+x).

(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b—x),则函数y=f(x)的

&-I—卜

图象关于直线x=^对称.

25.函数图象自身的中心对称

(l)f(—X)=—f(x)Q函数y=f(x)的图象关于原点对称.

(2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称u>f(a+x)=—f(a—x)=f(x)=1f(2a—x)

=f(—x)=-f(2a+x).

(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称=f(a+x)=2b—f(a—x)of(x)

=2b-f(2a-x).

26.两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y=f(a+x)与y=f(b—x)的图象关于直线x=，^对称(由a+x=b—

x得对称轴方程)；

(2)函数y=f(x)与y=f(2a—x)的图象关于直线x=a对称；

(3)函数y=f(x)与y=2b—f(—x)的图象关于点(0,b)对称.

27.有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零

点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

28.“对勾”函数f(x)=x+?(a>0)的性质

(1)该函数在(一8,一m］和［m，+co)上单调递增，在［一而，0)和(0,y/a］

上单调递减.

(2)当x>0时，x=g时取最小值2G；

当x<0时，x=一雨时取最大值一2m.

29.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，

其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速

度缓慢.

30.象限角

、1a<2ATT+胃■，左EZ)

第一象限角

象

限T第二象限角)同％T+兴a@s+E左Z

角

的

集T第三象限角)何以皿侪水淅十写,」ez}

合

第四象限角］{aa||2Air+亭S<2AF+2E布Z

।Lt

31.轴线角

终边落在工轴上的角

终边落在y轴上的角

何a=/,A：EZj

终边落在坐标轴上的角

32.三角函数定义的推厂

设点P(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|,则sina=

yxy

，

rcosa=r—,tana=x.

33.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶数倍，变与

不变指函数名称的变化.

34.同角三角函数的基本关系式的几种变形

(l)sin2a=1—cos2a=(l+cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(l—sina)；

(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

(2)sina=tanacosa(a埠+k7i,k£Z).

_____sin2a______tan2a

Sinasin2a+cos2atan2a+T

____cos2a________]

C0Sasin2a+cos2atan2a+T

35.四个必备结论

「、、卜1+cos2a1—cos2a

(1)降暴公式：cos2a=-----2-----，sin2a=-----------.

(2)升嘉公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a.

(3)tana±tanp=tan(a±p)(l+tanatanB),

1+sin2a=(sina+cosa)2,

1—sin2a=(sina—cosa)2,

sina±cosa=^sin(a土部

(4)辅助角公式

asinx+bcosx=^/a2+b2sin(x+(p),其中tan(p=£.

36.对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离

是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲

线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.

37.与三角函数的奇偶性相关的结论

JT

⑴若y=Asin(3x+(p)为偶函数，则有(p=k7i+/(keZ)；若为奇函数，则有

(p=k7i(keZ).

(2)若y=Acos(cox+(p)为偶函数,则有(p=k?r(keZ)；若为奇函数,则有cp

兀

=1＜兀+/£2).

(3)若y=Atan(3x+