高等数学竞赛谈

高等数学竞赛

一、大纲

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程

的教学内容，具体内容如下：

一、函数、极限、连续

1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

7.函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.

8.连续函数的性质和初等函数的连续性.

9.闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.

二、一元函数微分学

1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关

系、平面曲线的切线和法线.

2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗II中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

6.洛必达（L'Hospital）法则与求未定式极限.

7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线（水平、铅直和斜渐近

线）、函数图形的描绘.

8.函数最大值和最小值及其简单应用.

9.弧微分、曲率、曲率半径.

三、一元函数积分学

1.原函数和不定积分的概念.

2.不定积分的基本性质、基本积分公式.

3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、

牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式.

4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.

5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

6.广义积分.

7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行

截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.

四.常微分方程

1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.

2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、--阶线性微分方程、伯努利（Bernoulli）方

程、全微分方程.

3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y(n)=f(x),

y"=/(x，V),y"=f(y,y').

4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.

6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、

余弦函数，以及它们的和与积

7.欧拉(Euler)方程.

8.微分方程的简单应用

五、向量代数和空间解析几何

1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.

2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.

4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和

点到直线的距离.

6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次

曲面方程及其图形.

7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.

六、多元函数微分学

1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.

2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.

3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

4.多元复合函数、隐函数的求导法.

5.二阶偏导数、方向导数和梯度.

6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.

7.二元函数的二阶泰勒公式.

8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简

单应用.

七、多元函数积分学

1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积

分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函

数.

4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.

6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面

积、弧长、质量、质心、转动惯量、弓I力、功及流量等)

八、无穷级数

1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.

2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨

（Leibniz）判别法.

3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.

4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.

5.帚级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

6.嘉级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分）、简单

基级数的和函数的求法.

7.初等函数的基级数展开式.

8.函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数、狄利克雷①irichlei）定理、函数在［T,

1］上的傅里叶级数、函数在［0,1］上一的正弦级数和余弦级数

第一部分极限与连续

一、求和式极限计算方法

1、定积分的定义求极限

方法：

（一）、按照定积分定义，如果［/。）公存在（。46）,贝IJ

Ja

网f/©）位=J：/。）”》

k=l

其中2=maxA^,。€［苦_|,七］«=1,2,--，〃），x=a,x=b<>

i0n

当涉及到无穷项求极限时，其中有些题目可以利用定积分定义方法将其转化为定积分计

算。

由于/l=maxAx,.,所以在此类题目中，通常取4=^二幺，而仇。通常选取为

jn

。=0/=1,。则取的左端点、右端点、中点，甚至是其他特殊点，比如;分点、

n

9rr

士分点。另外此类极限表达形式一般是上£/⑴或者上£/（0其中c为常数。

3n,=irii=o

（二）、连积形式极限，如!则0/⑴,则采用指数形式进行转化为求和式，然后再利用

垃ln/(i)

一的方法。即将limf(i)转化为e”形式。

AT8

«4”

例］求lim£丁，

"T8幺4〃2+公

分析此题是利用定积分定义求极限。一般有四个步骤：

1.将求和表达式乘上求和范围值〃，然后将其表示为X（比如x=上）的函数表达式,

n

找出被积函数/（x）；

2.确定定积分的积分区间，通常为［0』］；

3.求出被积函数的原函数；

4.利用牛顿-莱布尼茨公式求定积分值，即得所求极限

An444/7"

解因为:2一二—"二」方（求和表达式为:2，X=2）,即有被积函数

4几~+k4+（幺/4+r4n+kn

n

4

由此有

'4〃f】41cx.1_I

hm>------r=-----ax-2arctan—l=2arctan—

…£4/+/20n2

JO4+X2

—Ic4.£〃x+2Z—l

例2求hm£-----——

iyn

5nx+2k_1nx+2k_12k—1与、»*2k—11k,,..匚广”

解-----2----〃=---------=x+-----2,注意------为区间［——，一］的t中点，所以

nn2n2nnn

..nx+2k~~1nx+2k-12k一1__.,.

有-----$----n=---------=x+-----2=x+2r,此lt即为被积函数。

nn2n

由此有

..白〃％+2女_1ric、」.

hmX--------=J°(x+2f)力=x+1

k,—2—+〃

例3设/⑶为连续函数，极限lim汽一—/(3"-2

用定积分可表示为()。

"t8Mn3〃

A、F(x+1)f(x)dxB、f(x+l)/(x)dx

C、D、f(X+1-怖)/(X一卷)dx

k---\-n

33k-23k-23k-23k_2,_1k\...

解/(),〃=(+1)/(而------为［-----,—］的一分点处,

3〃3n3n3〃nn3

所以被积函数是(x+l)/(x),由此得答案为B。

例4求+1)(〃+2)…(2〃-1)

"T8〃v

分析此题是利用定积分定义求极限。一般有五个步骤：

1,将乘积形式转化为求和形式

2.将求和表达式乘上求和范围值〃，然后将其表示为x(比如x=&)的函数表达式,

n

找出被积函数/(%)；

3.确定定积分的积分区间，通常为［0,1］；

4.求出被枳函数的原函数；

5.利用牛顿-莱布尼茨公式求定积分值，即得所求极限

/I-1If

1,-------------------------------------------^-ln(l+-)

解因为一"〃(〃+1)(〃+2)...(2〃—1)=>"'，由于

n

Ikk

—ln(l+—)•几=ln(l+—)=ln(l+x)

nnn

所以

lim-Yln(l+-)=|"ln(l+x)dx=21n2-l=ln-

00〃自〃J。e

故

1I---------------------In-4

lim—4〃(几+1)(〃+2)...(2"-1)=ee=—

usne

例5求lim,"(2〃+1)(2〃+3)…(4"-1)

“―>8几

1._____________________£"(2+也)

解因为一"(2〃+1)(2〃+3)...(4〃-1)=合=。〃〃,由于

n

1,..2k-1、,..2k-1-、..八、

—ln(2+-----)•n-ln(2H------2)=ln(z2+2x)

nn2n

(注意：生」为士的中点)

2nnn

所以

1n2"_|-jQ

lim-Yln(2+-----)=fln(2+2x)dx=31n2—l=ln?

署nJoe

故

1_____________________o

lim-1(2〃+1)(2.+3)…(4〃-1)=-

〃T8〃e

,2k—1

nSin-----

例6求极限lim£-----J

msy〃+1

,2k—1

.u.1“nn2k-1.中、几2k—1,.

解因为------——n=----sin-----,如果设x=-----,则有

〃+1〃+1nn

.21

sin-----

n.

.•n=---sinx

n+171+1

因为求和式极限转化为定积分以后，被积函数表达式中不能含有〃M参数。所以此时不能直

n

接利用定积分进行计算，必须首先转换求和式，注意到」一与求和表达式中变化量k无关,

〃+1

所以有

.2k-I.2k.2k-1

nSin-----“sin-----〃Sin

limV--------=lim----V--------=limV--------

〃->8yn+1"f8〃+i仁n28启n

由此有

.2k—1

sin

㈣N____n=fsinxdx=-cosx=1-cos1

n+l小0

,2k-1

,,sin——

例7求极限lim£

〃+一r

k

.21

sin-----1-1

解因为-----•〃=」「sin'」，不能直接表达为不含有%％的/(元)形式(其中x

1+工〃

〃+一

knk

为取值［0,1］之间的〃，攵的表达式)。所以必须进行转换，由于

sin"匚而纥1sin空口

n_<几<——生=1,2,…

+1-T

n〃+一n

k

,2k—1.2k-I

nsin；„sin

而limV--------=1-cos1(例6),limY——=1-cos1(参考例6)

依〃+1n

所以可由夹逼准则得

.2k—1

nsin-----

limV-----—=1-cos1

—生1

k

注：由例4一7解法可以看出,有些利用定积分求极限题目，首先需要变形然后进行转化,

甚至牵涉到多个知识点。但其本质在于求和表达式乘上“以后，是否可以表示成一个变量的

函数，此变量是含有“与在1"或者0〃-1之间变化的女表达式，而且此函数不含有〃与

k»

2、嘉级数的和函数求极限

方法如果幕级数=S(x)(xe/),其中/为区间，则对于与€/有

n=0

8

Z%Xo"=S(Xo)

n=0

即

hmYakx^=S(x0)

此即为利用基级数和函数求极限的方法。其中需要解决两个问题：

（一）、发现和式极限中对应的基级数。其关键点在于发现表达式中含有黑式表达毛，如

果没有发现X。"形式，就寻找是否存在人项，如果存在，通常此时设/=1；

（二）、求基级数和函数。一般方法有：

1）、公式法：利用特殊函数的嘉级数展开式。如：

(1)€=1H----1------1------F・••H------1•…(-00<x<+00)

1!2!3!n\

X2x3x4x"+l

⑵ln(l+x)=x++...+(1)+...(-1<X<1)

234〃+1

52

尤3Vr«-'

(3)sinx=x-----+.........+(-1)"-1-----------F......(-co<x<+00)

3!5!(2〃-1)!

22

x-x"

(4)cosx-1------1........+(-1)"-------F......(-00<x<+00)

2!4!(2〃)！

(5)-1+X+x~++...+x"+...(-1<x<1)

1-x

心”,m(/n+1)2,m(m+l)(m+2)

(6)(1-x)-\+mx+----------x+--------------------x3+

2!3!

m(m++n-1)„

(-1<X<1)

n\

/=、z..m(m-1)2m(m-l)(m-2),

(7)(1-x)"'=1+mx+--------x2+----------------x3+.

2!3!

m{m--n+1)„

(-1<X<1)

n!

(8)-=1+2x+3x-++...+(/?+l)x"+...(-1<x<1)

(1-x)-

2)、间接法。通过求导或者求积分方法，将塞级数转换为已有公式方法，即

008C

S(x)=Z《H'=Zg(”)'(xe/)

n=0n=0〃+1

或者

S(x)=£a"x"=J：xn-ldx(xe/)

n=0n=0

23n

例1求极限lim(l+—+=+…+—-)

3323"T

1s

分析此题含有某项Uy",所以首先可将和式转化为幕级数，其次由于X"系数为"

3台

需要通过积分方法消去〃，x"在[0,幻上不定积分为一Lx"。不能消去〃，所以先将

〃+1

力〃£转换为名〃x"=x£鹿x"T形式，再求其和函数。对于之〃X"和函数另外一种求法

〃=0n=0n=0H=0

是利用公式。

23A7F7I

解1+±+[+…+表达中通项可以表达为〃X"T,其中X=士，所以先求塞级数

3323'13'13

£〃x"的和函数，即有

n=0

------=1+2%+3%2+4/+...+(〃+l)x"+…(—1<x<1)

(1-X)-

则

lim(l+2+W+.・・+，Y)=——―1=—

…二3323"一"(1一制T4

»%+2

例2求极限limV.....--------

"T8总♦!+(女+1)!+/+2)!

分析此题不含有毒项，但含有阶层项，所以可考虑含有阶层项的器级数展开式，如

e、,sinx,cosx等。其次此题不能直接利用相关公式，需要对分母化简，才可转换相关嘉级

数。

解表达式-------―-------=-5一中没有与”形式，但存在阶层项必，故可设

Z!+(A+l)!+(k+2)!k!(k+2)°

001

X=1,即有幕级数£一-一/,设其和函数为S(x),则有

金人(％+2)

屁---2------=5(1)

"T8£k!+(%+i)!+(k+2)!

注意到

(-00<X<+00)

81

需要将£一-一一中表达式分母中上+2消去，此时需要先求导后积分方法。由

£人(4+2)

8

21k+2

xS(x)-EX

k=0k!(k+2)

两边求导，得

(x2S(x))，=—xk-xex(-00<x<4-00)

k=ok!

两边积分有

x~S(x)=['fe'df=exx-ex+\

即有

exx-ex+\

S(尤)("0)

得极限

k+2

limV1

Z!+(攵+1)!+(Z+2)!

例3求极限

f£3^+1

分析由阿贝尔定理知，如果幕级数£a“x"收敛半径为R,且g>"R"（或者£>“（-/?）"）

〃=0〃=0〃=0

收敛，则如果S（x）=£a“x",x（或者xe[-R,R））在R处左连续（或者在一R

〃=0

处右连续），即有

8

S(R)limS(x)=£a“R"(或者S(-R)ii%s(x)=Z4(-R)")

XTR-Ox->—R+0

〃=0〃=0

本题即可利用此法计算。

(―1)"

解因为lim£0-=£设

28总3%+1公3n+l

003”

S(x)=fe

有!螃芸3〃+1

=5(-1),且有xS(x)=Z-一，两边求导，得

n=\3〃+1

oo丫3〃+1oo丫3

(xs(x)y=(-1<X<1)

〃=13〃+1n=ii-X

两边积分得

。/、r/In(l-x)ln(x2+x+l)12x+l兀

xS(x)=----dt=-x--------+-----------+〒arctan-j=-

1"3673V3673

In26兀,cr.,,

取x=-1,有S(—1)——+-----1,所以

39

］沛之四=m+叵一］

i£3A+l39

例4求极限lim之1

"一8M(A2-1)2*

解因为lim£————-=Y——-

令

，一£(公一1)24£面一］/

8J100v"8丫〃1CO—I1CO〃+l

xw0

有

♦三4口八盛产油“土―),(-1<X<1)

n=21n=2n=21"

工n+locooi2

E^=Ef^=f(Zz，,^=fjT7-1-r)d/=-ln(1-x)-x-T(-1<X<1)

n=2n+1n=2n=21*Z

故

xln(l-x)x1In(l-x)

S(x)=------------------1------1------1---------------xw0

2422x

当X=L时,53In2

，所以

284

尾一^二3

"f8总供2—1)2女84

g1.9(—1)"(%2-女+1)

例5hm>\'\、------

…白2k

*2用*r(_1)A(^--/c+1)((-1)"(〃2-〃+1)出

解因为阳二------3------=»------r------'设

80000

S(x)=Z(/-〃+-x2^n(n-l)xn~2+，x"

n=ln=2n=l

则有limt(一叫=£〃(〃—1)£-2,两边积分有

"f8M2，2M

0000

/i(x)=£g«)df=£1〃(〃-1)"一2由

”=2n=2

对〃(x)两边积分得

[〃。辿=£[""‘山=£/=1

-l-x(-1<%<1)

，i=2n=2T^x

两次求导有

g。方言

(-1<X<1)

所以

(-1<x<1)

则有

例6limy(-l/k+i

一占(24+1)!

首先lim汽（-投

解k+1=<(_])“"+1由于

(2A+1)!—4)(2n+l)!

金(-I)"/"

=sinx,

S(2»+1)!

令x=l得

00(-1)"

Z=sin1

«=0(2/J+1)!

同理有

8(-1)"

E=cosl

n=0

而

8

〃+1ly_,(2〃+1)+1

E(-ir=(iy

(2〃+1)!一招‘(2〃+1)!

n=0

1.旦(-1)"sinl)

乙n=0(2〃)！2金(2〃+1)!2

所以

«*+]।

limy(-1/-.........=-(cos1+sin1)»

，—£侬+1)!2

3、傅立叶级数方法求极限

方法：

傅立叶级数收敛定理若以2/为周期的函数/在[T,/]上按段光滑，则在每一点

xe[-/,/],<

小=&+8s吧+"sin”,

22„=i/I

其中

「/(

an=yx)cos^dx,n=0,1,2,…

然=；)mix.

L"*sin---dx,n=1,2,…

由傅立叶级数可以计算特殊求和式极限，其中常见公式为:

1111

产卡r+r4-----17+…

2232n2

111t1兀2

111(-1),,+1寺(―1严兀2

2222

I23n士/12

"(—]YK+I兀2

例1求证limV------

z8Mk~6

分析和中含有兀的常数项级数对应的函数项级数一般是反三角函数：arcsinx,arctanx

的幕级数展开式，或者是周期函数的傅立叶级数的展开式。级数一类常数项级数的和

一般采用傅立叶级数展开式，选择的周期函数一般有：常数(在半个周期上)、X、V等,

周期一般为兀、士等。

2

«(-\严*(-]y,+l

对于本题，因为lim£([,所以引入辅助函数：

28Mk2普n-

cosnx

-1产

“=1

如果能够找到周期为2兀的偶函数/(x)使得/(x)分段光滑，且有

/(X+O)+/(XO)="+y_J„+1COS〃X

则令x=0,就可计算出结果。而

sinnx71sinnx

1rr/、J1rrzx「,xAI

«„=-7(x)cosnxJx=-[/(%)------f(x)-----dr]

兀J-71Kn-nJ"兀n

=1r£Wco^r_j7r/.1(x)cos^

71nFn'An

2/5)(-1)"1/"(x)cos〃x_1r.

一一J\----1+—/(x)sinnxdr

兀nTin'J-11

=------z----1---j-f(x)sinnxdx

Ttn'nnAn

其中由于设/(x)为偶函数，所以/'(x)为奇函数，即有/'(兀)=一/'(—兀)。显然如果

/"'(x)=0,则有

2/ux-ir

兀n

即可达到前面分析要求，所以可设/(x)=/。下面给出具体证明:

证明

在区间(一万，乃)内把函数/0)=/展开成Fourier级数.

因为/(x)=/为偶函数，所以a=0。且

21

aQ--Pxdx——Tt;

%小3

]俨2,2俨2,2x1sinnx.r2,

a=—\xcosnxax=—xcosnxdx=­-------——xsinnxdx

兀J•兀兀小Kn0n

——cosnx|K--Pcosnxdx±3=5-1,2,...

rmn0nnnnn

函数/(x)在区间(-4，")内连续且按段光滑，因此由傅立叶级数收敛定理有

28

x2—+4V(-1)"笑£Xe(-7T,71).

3£"

由于/（一兀）=/（兀）,则该展开式在［-左,〃］上成立.

取X=O,可得

n(1M+loo(-1严/

2

Sk2n212

IT2001

取X=兀，得K2—+42(-1)"(一1)n—»所以有

〃1万2

例2求证lim£-------=一

…七（21）28

证明把下列函数展开成傅里叶级数:

X2,0<X<7T,

/（X）=<0,x=万，

-x2,71：<x<27r.

/及其周期延拓的图形如图所示.显然/是按段光滑

的，因此它可以展开成傅里叶级数.由定积分几何意

义，有

21fino2

a[)=—ff(x)dx=—Pxdx+-[(-x)dx

兀①兀，)兀品

上_至=_2/

33

112

%=-)f(x)cosnxdx=—xcosnxdr+—£(-x)cosnxdx

兀

=-[(--N)sin+Vcosnx]兀1/2.2x27i

---[(-------)sinnx+—cosnx]

7tnn〃,0Tinnn~7i

4

RET],

n22

bn=—f/(x)sinnxdx=—Pxsinnxdx+—f(-x)sinnxdx

冗J)兀U)兀&

=-[(-—+-4)cos〃X+乂sinnx]兀」[（一二+马O与in/兀

71nrrn0兀〃犷〃一兀

所以当工£（0,兀）U（肛2兀）时,

H427r222

/(%)=一兀2+^{—[(_1)，;-l]cosnx+—[—+(-7r----y)(l-(-l)〃)]sin〃x}

TZfn7innn

112

-7i2-8(cosx+—cos3x+—cos5x+•••)+—{(3K2-4)sinx

357i

2o2A2

7t...JTC4._71..、

+—sin2x+(-------)sin3x+—sin4x+•••}.

当X=7l时，山于

f(7r-0)+f(n:+0)..

--------------------------------=0

2

所以

0=一乃？+8(/+/+$+•••).(14)

得

"1

例3求极限lim£-------------

28£（4%+1）（4女+3）

初G111、1年।1,八”

£（4k+l）（4k+3）2占4k+l4k+32&2k+l

下面有两种方法可以求和，一是某级数方法，另外是傅立叶级数方法。

方法一傅立叶级数方法设

f（x）=7ixe[0,K]

进行奇延拓，得

bn--f7isinnxdx=—（1-cosnn）=-----〃=2&+1伏=0,1,2,•一）

兀力n2Z+1

00QO2

/(x)=Zbnsinnx=£—~-sin(2Zr+l)xXG(0,兀)

〃=1k=0+1

IT

且因为X=—为连续点，得

2

_8A8|

兀=/中=Ebsin—n-V-----sin(2女+1)--V-----(-1)A

2占2女+12S?2A+1

Zn=l

所以

1

limVTl

(4k+l)(4A+3)8

方法二募级数方法设

S(x)=之8---1--

W2〃+1xe[-l,l)

则

1

limY=-S(l)

〃一＞8

太=0(4k+l)(4k+3)2

有

xe[-l,l)

得

xS(x)=J]1=arctanx