专题26 多边形与平行四边形【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

专题26多边形与平行四边形【二十个题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1计算多边形对角线条数】 1【题型2对角线分三角形个数问题】 3【题型3多边形内角和问题】 3【题型4多边形的外角问题】 4【题型5多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】 5【题型6利用平行四边形的性质求解】 6【题型7利用平行四边形的性质证明】 7【题型8构成平行四边形的条件】 9【题型9证明四边形是平行四边形】 10【题型10与平行四边形有关的新定义问题】 11【题型11利用平行四边形的性质与判定求解】 13【题型12利用平行四边形的性质与判定证明】 14【题型13平行四边形性质与判定的实际应用】 15【题型14与三角形中位线有关的计算】 17【题型15与三角形中位线有关的证明】 18【题型16与三角形中位线有关的规律探究】 20【题型17与三角形中位线有关的格点作图】 21【题型18三角形中位线的实际应用】 23【题型19连接两点构造三角形中位线】 25【题型20已知中点，取另一条线段的中点构造中位线】 26【知识点多边形与平行四边形】1.多边形的相关概念定义1：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。按照组成多边形的线段的条数可以分为：三角形.四边形.五边形.六边形.···。三角形是最简单的图形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。定义2：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。定义3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。定义4：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。n边形内角和等于(n-2)×180°，对角线条数为。多边形的外角和等于360°。2.平行四边形的性质与判定(1)定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。(2)平行四边形的性质平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。（5）平行四边形的面积S平行四边形=底×高(6)中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。【题型1计算多边形对角线条数】【例1】（2023·河北·模拟预测）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-1】（2023·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2023·上海·统考中考真题）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．【变式1-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点有条对角线．【题型2对角线分三角形个数问题】【例2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．【变式2-1】（2023·陕西咸阳·统考三模）过某多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的边数是．【变式2-2】（2023·陕西榆林·统考一模）从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割成个三角形．【变式2-3】（2023·广东深圳·校联考一模）如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:多边形：

顶点个数f1:

4

5

6

…线段条数e:

5

7

9

…三角形个数v1:

2

3

4

…【题型3多边形内角和问题】【例3】（2023·山东·中考真题）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（

）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【变式3-1】（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【变式3-2】（2023·浙江·统考中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是．【变式3-3】（2023·湖南·统考中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为．【题型4多边形的外角问题】【例4】（2023·四川自贡·统考中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【变式4-1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°【变式4-2】（2023·河北·统考二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是．【变式4-3】（2023·山东烟台·统考二模）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（

）A．144° B．126° C．120° D．108°【题型5多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合运用】【例5】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，一束太阳光平行照射在正n边形A1A2A3……A

【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F【变式5-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度数：(2)若∠F=40°，求∠E的度数.【变式5-3】（2023·浙江·三模）如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B1折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B（1）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（设∠B>∠C）之间的等量关系为．（2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的另两个角的度数．（写出一种即可）【题型6利用平行四边形的性质求解】【例6】（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A'B'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E若

【变式6-1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD(AB<AD)中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B=120°，则∠EAD为

【变式6-2】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为H,AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r

【变式6-3】（2023·江西·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°<α<360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为

【题型7利用平行四边形的性质证明】【例7】（2023·辽宁营口·统考中考真题）在▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；(2)如图2，当k=3时，写出线段AD，DE(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF【变式7-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥

(1)∠1=∠2；(2)△ABE≌【变式7-2】（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．

(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接EF．若EF=AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．【变式7-3】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．

(1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图①，求证：(2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图②：当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，(3)在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．【题型8构成平行四边形的条件】【例8】（2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（

）

A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，AD=CBC．AB∥CD，AD=CB D．OA=OC，OB=OD【变式8-1】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．【变式8-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式8-3】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【题型9证明四边形是平行四边形】【例9】（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为

(1)求证：四边形DEFG为平行四边形(2)DG⊥BH，BD=3，【变式9-1】（2023·青海·统考中考真题）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥

(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形.【变式9-2】（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE,EC，CF,FA．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形．(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．【变式9-3】（2023·上海·统考中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD【题型10与平行四边形有关的新定义问题】【例10】（2023·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，则AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【变式10-1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（

）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个【变式10-2】（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．【变式10-3】（2023·广东梅州·统考一模）【定义】对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC=BD，∠AOB=60°，【定义探究】(1)判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”．①对角线所夹锐角为60°的平行四边形．

（

）②对角线所夹锐角为60°的矩形．

（

）③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．

（

）【性质探究】(2)如图2，以AC为边，向下构造等边△ACE，连接BE，请直接写出AB+CD与AC的大小关系；(3)请判断AD+BC与3AC【应用提升】(4)若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________．【题型11利用平行四边形的性质与判定求解】【例11】（2023·辽宁·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点B，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．

【变式11-1】（2023·西藏·统考中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积是（

）

A．92 B．33 C．93【变式11-2】（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长

（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．【变式11-3】（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．

(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC【题型12利用平行四边形的性质与判定证明】【例12】（2023·辽宁大连·统考二模）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，AB=AD，DE∥AB，BE，EF分别与AD相交于点G，H，

(1)求证：∠DEG=∠DHE；(2)求证：BG=EF；(3)如图2，若H是AD中点，AB=kDE，求k的值．【变式12-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，点D、E、F分别是三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，DE∥BA，DF∥CA

(1)求证：∠FDE=∠A．(2)若BD:DC=1:4，直接写出S△CDE【变式12-2】（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为【变式12-3】（2023·安徽·模拟预测）如图1，AD是△ABC的中线，过CD上一点F作EG∥AB，分别与AD的延长线和AC相交于点E，G，连接BE．(1)若DFCF=2(2)如图2，在AD上取一点P，使得DP=DE，连接FP并延长交AB于点H．①求证：HF∥②连接GH．求证：GH=BE．【题型13平行四边形性质与判定的实际应用】【例13】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）问题提出：（1）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC=22，求BC问题解决：（2）如图②，某幼儿园有一块平行四边形ABCD的空地，其中AB＝6米，BC＝10米，∠B＝60°，为了丰富孩子们的课业生活，将该平行四边形空地改造成多功能区域，已知点E、G在边BC上，点F在边AD上，连接AE、EF、DG．现要求将其中的阴影三角形ABE区域设置成木工区，阴影四边形EFDG区域设置成益智区，其余区域为角色游戏区，若AB∥EF，∠1＋∠2＝【变式13-1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？

【变式13-2】（2023·陕西·统考中考真题）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC上且DF=5求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点【变式13-3】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正方形ABCD面积的58．正确的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【题型14与三角形中位线有关的计算】【例14】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（

A．163 B．83+4 C．4【变式14-1】（2023·山东东营·统考一模）如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→D的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则△ABC的面积为（

）A．4 B．43 C．8 D．【变式14-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，D是线段AB上靠近点B的一个三等分点，延长CB到点E，使得BE=12BC，连接DE．若P，Q分别是DE，AC的中点，则

A．4 B．352 C．13 D【变式14-3】（2023·浙江宁波·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点EA．2 B．3 C．22 D．【题型15与三角形中位线有关的证明】【例15】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ三线共点．

【变式15-1】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至F，使EF=2DE，连结BE，CF

(1)求证：四边形BCFE是平行四边形．(2)已知BE=3，EG=DE，求【变式15-2】（2023·安徽合肥·统考二模）问题背景：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF=12∠BAC，连接BF，M是BF观察发现：(1)为了探究线段EM和DM之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将△AEF绕点A旋转，使AE与AB重合，如图2，易知EM和DM之间的数量关系为操作证明：(2)继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3，（1）中线段EM和问题解决：(3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？请说明你的理由．【变式15-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．

(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求证：PQ=1【题型16与三角形中位线有关的规律探究】【例16】（2023·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分别连接AB，AC，BC的中点，得到第1个等腰直角三角形A1B1C1；分别连接A1B，A1C1，BC1【变式16-1】（2023·重庆·统考中考模拟）如图，在图1中，A1、B1、C1分别是等边ΔABC的边BC、CA、AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是ΔA1B1C1A．n2 B．2n C．3n D．【变式16-2】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1【变式16-3】（2023·云南·统考中考真题）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为（n为正整数）．【题型17与三角形中位线有关的格点作图】【例17】（2023·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB的中点F．(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．【变式17-1】（2023·吉林长春·统考二模）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹．

(1)在网格①中的AC边上找点D，在BC边上找点E，连接ED，使AB=2DE．(2)在网格②中的AC边上找点D，连接BD，使∠CAB=∠CBD．(3)在网格③中的AC边上找点E，连接BE，使△ABE的面积是△BCE面积的4倍．【变式17-2】（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的12(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的12(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．【变式17-3】（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的9×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，F，T分别是BC，AC与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，取AB的中点D，AC的中点E，连接ED；再作平行四边形BDEK；(2)在图2中，在AB上画出一点G，使S△ACG(3)在图2中，在△ABT的边AT上画一点M，使得M是正方形MNHP的一个顶点，且正方形的顶点N在AB上，顶点H、P在BT上．（只需画出点M）【题型18三角形中位线的实际应用】【例18】（2023·河南省直辖县级单位·校联考一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为20cm的正方体和长度为200cm的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，

(1)求证：∠MON=∠BCD；(2)若木棒与水平面的夹角∠BAF=45°，切点N恰好为AC的中点，则石头的半径为多少？（结果保留根号）【变式18-1】（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，要测量被池塘隔开的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=40m，则AB的长是m

【变式18-2】（2023·山东青岛·校考一模）如图一只羊在山坡BD中点E处吃草，