专题06 四边形的面积问题（解析版）

专题06四边形的面积问题一、知识导航除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目．思考：如何求一个普通的四边形的面积？解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法．二、典例精析例一、已知抛物线经过点、，与轴交于点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．【分析】（1）；（2）此处四边形ABPC并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角形求面积．若连接AP，则△ABP和△APC均为动三角形，非最佳选择；若连接BC，可得定△ABC和动△BPC，只要△BPC面积最大，四边形ABPC的面积便最大．考虑A（2,0）、B（-4,0）、C（0，-4），故，接下来求△BPC的面积，设P点坐标为，连接BC，则直线BC的解析式为：y=-x-4过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为（m，-m-4），故，当m=-2时，PQ取到最大值2，此时△BPC面积最大，四边形ABPC面积最大．此时P点坐标为（-2，-4）．例二、已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；【分析】（1）抛物线：点A坐标为（-2,0），点B坐标为（8,0）．（2）显然将四边形PBOC拆为△BOC和△PBC，点C坐标为（0,4），故，设P点坐标为，根据B、C坐标可得BC的解析式为过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则Q点坐标为，故，当m=4时，PQ取到最大值4，，故四边形PBOC的最大面积为32，此时P点坐标为（4,6）．三、中考真题演练1．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；【详解】（1）解：由题意可得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：连接，过点P作于点E，如图，∵点P的坐标为，∴，，令，则，解得或，∴，∴，∵，，∴，，∴，；2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴；（2）解：如图，连接，

∵，∴，∴，，由得，，∴，∴；3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得．∴抛物线的表达式为：．（2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．

∵，∴．令中，则，解得或，∴，设直线为，∵过点，，，∴，解得，∴直线的表达式为：．设，，∴．∴．∵，∴．整理得，解得．∴．方法二：如下图，

抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，∴，∴．∵，∴．整理得，解得．∴．4．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形的面积；【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．∴设二次函数的表达式为∵，∴，即的坐标为则，得∴二次函数的表达式为；（2）∴顶点的坐标为过作于，作于，四边形的面积；

是将所学的知识灵活运用．5．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．①当时，求的值；②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．【答案】(1)，点的坐标为(2)①2或3或；②，S的最大值为【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：由得，当时，．解得．∵点A在轴正半轴上．∴点A的坐标为．设直线的函数表达式为．将两点的坐标分别代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．将代入，得．∴点C的坐标为；（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．∴点的坐标分别为．∴．∵点的坐标为，∴．∵，∴．如图，当点在直线上方时，．

∵，∴．解得．如图2，当点在直线下方时，．

∵，∴．解得，∵，∴．综上所述，的值为2或3或；②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，∴．∵点在直线上方，∴．∵轴于点，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四边形为平行四边形．∵轴，∴四边形为矩形．∴．即．∵，∴当时，S的最大值为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．6．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∵二次函数经过点，∴，即，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，∴，∴，∵二次函数与y轴交于点C，∴，∴；设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，设，则，，∴；∵，∴，∵，∴当时，最大，最大值为，∴此时点P的坐标为；7．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．（ⅰ）当时，求与的面积之和；（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（2）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解．（ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和