6.7 角的和差（7大题型）（分层练习）（解析版）

第6章图形的初步认识6.7角的和差（7大题型）分层练习题型目录考查题型一与方向角有关的计算题考查题型二三角板中角度计算问题考查题型三几何图形中角度计算问题考查题型四角度的四则运算考查题型五实际问题中角度计算问题考查题型六角平分线的有关计算考查题型七角n等分线的有关计算考查题型一与方向角有关的计算题1．如图，是北偏东30°方向的一条射线，若，则的方位角是（

）

A．北 B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60°【答案】B【分析】根据方向角的定义可得：，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答．【详解】解：如图：

由题意得：，，，的方位角是北偏西，故选：B．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．2．已知、两地的位置如图所示，且，那么地在地的（

）

A．西偏北方向 B．南偏东方向C．北偏东方向 D．东偏北方向【答案】C【分析】利用，得出∠1的度数，进而求出B地与A地的位置关系．【详解】解：如图，

∵，∴，∴B地在A地的北偏东方向．故选：C．【点睛】本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键．3．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为．

【答案】/143度【分析】利用方向角的定义求解即可．【详解】

∵A在北偏西，∴，∴，∵B在南偏东，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数．4．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东，则的度数是．

【答案】【分析】根据方位角的表示可知，计算即可得出结果．【详解】解：∵在小岛O处观测小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它南偏东，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了方位角及其计算，掌握方位角的概念是解题的关键．5．如图，货轮在航行的过程中，同时发现灯塔和轮船，灯塔在货轮的北偏东，则轮船在货轮的北偏西多少度？

【答案】轮船B在货轮北偏西．【分析】先求解，，可得，再根据方向角的定义即可得到结论．【详解】解：∵灯塔A在货轮O北偏东的方向，∴，∴，∵，∴，∴，∴轮船B在货轮北偏西．【点睛】本题考查了方向角的定义，角的和差运算，理解方向角的定义是解题的关键．考查题型二三角板中角度计算问题1．将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件可得，再根据即可求解．【详解】解：如图所示，

∵，，∵，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．2．用一副直角三角板可以画出一些特殊角，例如：如图所示的的角，则下列角度不能利用这副直角三角板直接画出的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的和差关系，通过计算得结论．【详解】解：一副三角板有、、、的角，∵，，．∵用一副三角板可以画出、、等特殊的角，不能画出．故选：A．【点睛】本题考查了角的和差计算．能够熟练计算角的和差度数是解决本题的关键．3．将一副直角三角尺如图放置，若，则等于．

【答案】/20度【分析】根据求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键．4．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则．

【答案】【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．5．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．(1)若，则的度数为；(2)若，求的度数；(3)猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由：【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】本题考查了角的和与差，能够根据图形正确表示两个角的和与差是解题关键．（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；（2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；（3）根据以及，进行计算即可得出结论．【详解】（1）解：由题意可得：，∵，∴，∵，∴；故答案为：；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：猜想：，理由如下：∵，又∵，∴，即．考查题型三几何图形中角度计算问题1．如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．【详解】解：如图，

∵顶点A落在处，，又为的平分线，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的计算的应用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2．已知射线，由点O引射线，，则的度数是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】有两种情况：在的内部和外部，画出图形，即可得出结果．【详解】解：如图

由题意知；∴的值为或．故选：D．【点睛】本题考查了角的计算．解题的关键在于考虑的位置．3．已知，从的顶点O作射线，若，那么的度数为．【答案】或【分析】本题考查角的和差计算．分射线在的上方和下方，两种情况，进行讨论求解即可．正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，当射线在的上方：如图：

则：；当射线在的下方时，如图：

则：；综上：，．故答案为：或．4．如图，用量角器度量，可以读出的度数为．【答案】/度【分析】本题主要考查了角的度量，角度的和差关系，根据的度数为，即可求解．【详解】解：依题意，故答案为：．5．如图，已知是直角，在的外部，且平分，平分．

(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可；（2）先利用，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可．【详解】（1）解：因为是直角，，所以．因为平分，所以．因为平分，所以，所以．（2）因为，是直角，所以．因为平分，所以，所以．【点睛】本题考查与角平分线有关的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．考查题型四角度的四则运算1．将转化为度分秒的形式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，进行换算即可得到答案．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算，熟练掌握，是解题的关键．2．如图，点在直线上，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平角定义可得，然后再利用度分秒的进制进行计算即可解答．【详解】】解：∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了度分秒的换算，角的计算，熟练掌握平角定义是解题的关键．3．计算：．【答案】【分析】根据角度的运算法则计算即可【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了角度的计算与换算，解题关键是掌握．4．计算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．故答案为：，，，．【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．5．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可；（2）根据角度的减法运算法则进行计算即可；（3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可；（4）根据角度的除法运算法则进行计算即可；（5）根据角度的加法运算法则进行计算即可；（6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【点睛】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是熟练掌握度、分、秒之间的换算关系，，．考查题型五实际问题中角度计算问题1．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（）A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变【答案】A【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，所以入射光线与反射光线的夹角是100°．入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°，此时入射光线与反射光线的夹角为60°．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．故选：A．【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键．2．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（

）A．150° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可．【详解】解：由题意得：，在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转．3．已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是：．【答案】甲【分析】根据钝角的取值范围，得到两个钝角和的取值范围，除以6后看所给的哪个角在这个范围内即可．【详解】解：∵，都是钝角，∴，，∴，∴，∴算得正确的是甲．故答案为：甲．【点睛】本题主要考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．4．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有个平衡时刻．【答案】24【分析】由题意易得每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，由此问题可求解．【详解】解：∵每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，∴24×1=24（次），即从0时到24时共有24个平衡时刻；故答案为24．【点睛】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键．5．如图，直线，交于点，将一个三角板的直角顶点放置于点处，使其两条直角边分别位于的两侧．若刚好平分，，求的度数．【答案】【分析】设∠COE=α，则∠BOE=2α，∠BOC=3α，依据角平分线即可得出∠BOC=∠BOF=45°+α，求得α的值，即可得到∠BOC的度数，进而得到∠BOD的度数．【详解】解：设，则，，∵，∴，又∵平分，∴，∴，解得，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角的和差关系进行计算是解决问题的关键．考查题型六角平分线的有关计算1．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．2．如图，，平分，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角平分线的定义可得，即，根据等角的余角相等，可得，则，根据已知条件，即可求解．【详解】解：∵平分，∴，∴∵，∴∴，∴，∵∴∴，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，求一个角的余角，数形结合得出是解题的关键．3．如图，是直角，平分，平分，，则的度数为．【答案】【分析】根据角平线的定义可知，进而可求得的度数，根据角平线的定义可求得，进而可求得答案．【详解】∵平分，∴．∴．∵平分，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查角平分线，牢记角平分线的定义是解题的关键．4．已知是的平分线，，∠的平分线，则∠的度数为．【答案】或【分析】试题分析：由于与的位置关系不能确定，故应分在内和在外两种情况进行讨论．【详解】解：当与的位置关系如图所示时，是的平分线，是的平分线，，，，，﹣﹣；当与的位置关系如图所示时，是的平分线，是的平分线，，，，，．故答案为：或．【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．5．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，平分，，，求的度数．

【答案】【分析】首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求解即可．【详解】∵平分，∴∵∴．【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差计算．考查题型七角n等分线的有关计算1．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（）①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】根据∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确．【详解】解：因为∠AOB＝∠BOD，所以∠AOB=∠AOD，因为OC平分∠AOD，所以∠AOC=∠DOC=∠AOD，所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠AOD=∠AOD=∠AOB，故①错误，③正确；因为∠DOC=∠AOD，∠BOC=∠AOD，所以∠DOC＝3∠BOC故②错误，④正确．【点睛】本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而根据角的关系即可作出判断．2．如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可.【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB，∴∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，∴又∵射线OD，OE三等分∠AOB，∴∴,共3个故选C.【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键.3．已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则．【答案】或【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．4．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．（1）如图1，若，则；（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．①则；②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为．【答案】/度/度或【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；（2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．∵∴,故答案为：（2）①∵，是的两条三分线，，∴，故答案为：；②∵，，是的两条三分线，∴，由旋转得：，分两种情况：当是的三分线，且时，可得，∴，∴，即；当是的三分线，且时，可得，∴，即；故答案为：或．【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．5．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．【详解】（1）解：，，，是的平分线，，；答：的度数为．（2）解：是的平分线．，是的平分线，，，，答：的度数为．（3）解：由（2）得，，又，，，，，，，当，，；当，，【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．1．（2022上·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，在一条直线上，分别是的角平分线，则的度数是（

）

A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】根据角平分线的性质可得，，再结合，即可获得答案．【详解】解：∵分别是的角平分线，∴，，∵在一条直线上，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．2．（2022上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）轮船向北偏东航行，因有紧急任务，按顺时针方向调头去执行任务，那么这时轮船的航行方向是（

）A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西【答案】A【分析】根据方向角的定义即可作出判断．【详解】如图，设射线为轮船原来航行方向，射线为顺时针方向调头后的方向，

则，，∴∴射线表示方向为南偏东．故选：A【点睛】本题考查方向角与角的和与差，解题的关键是理解方向角的定义．3．（2023下·山东青岛·六年级统考期中）如图，学校A在小明家B北偏东的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在小明家B的（）

A．北偏西的方向上 B．北偏西的方向上C．南偏西的方向上 D．南偏东的方向上【答案】B【分析】根据题意可得：，然后利用角的和差关系可得，再根据方向角的定义即可解答．【详解】解：如图，

∵学校A在小明家B北偏东的方向上，∴，∵，∴，∴超市C在小明家B的北偏西的方向上，故选：B．【点睛】此题主要考查了方向角的定义，正确根据图形得出的度数是解题关键．4．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．【详解】解：平分，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）已知，，为的平分线，则的度数为．【答案】或【分析】分当在的外部时和内部时，分别画出图形，根据角平分线的定义即可求解．根据角的和差，可得∠AOC，根据角平分线的定义，可得∠AOE，根据角的和差，可得答案．【详解】解：如图所示，当在的外部时，

，∵为的平分线，∴，当在的内部时

∵为的平分线，∴，综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了角平分线的定义，结合图形角度的计算，分类讨论是解题的关键．6．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是．

【答案】【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角的和差运算，理解、、之间的关系是解决问题的关键．7．（2023上·七年级课时练习）如图，是的平分线，平分，且，则．

【答案】72°/72度【分析】根据角平分线的概念进行计算即可．【详解】解：平分，，，又是的平分线，，故答案为：72°．【点睛】本题考查角平分线，理解角平分线的概念是正确计算的前提．8．（2023上·黑龙江大庆·六年级统考开学考试）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则．【答案】或【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．∵，∴，由翻折变换的性质可知，，∴，∴．当点N在点M的下方时，设，，则，由翻折变换的性质可知，，∴．综上所述，满足条件的或．故答案为：或．【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．9．（2023上·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）如图，O为直线上一点，，平分，平分，求的度数．【答案】【分析】由平分，平分，可得，，结合平