线性代数课后习题答案

线性代数陈建龙版课后习题答案

摘自：张小向.陈建龙,《线性代数学习指导》(ISBN:978-7-03-021177*),科学出版

社,2008年3月。

习题1(A)

一.填空题

'11/21/3、

fl10

12.3"-1212/33.0.

*,120-L

、33/21,

<-2100

'11/20、

3/2-1/200

4.5.-1/210.6.-1.

00-32

I0。2)

1005/2-3/2

7.E+A!8.40.9.abed.

‘1-100、

；201-10

10.-1/70.11.(A+2E).

,001

、0001厂

'-1/200、

13.010.14.0.15.1.

、-10-1/2?

玉=)'。2-r

16.2.17.-3.18.<

/2=-3?1+2>，22,

二.选择题

I.C.2.D.3.B.4.A.5.C.

6.C.7.D.8.D.9.B.10.C.

11.C.12.A.13.C.14.B.15.C.

16.D.17.B.18.D.

习题1(B)

r

6।12]/10叫-21322、‘058、

1.11-3,2,-2-17200-56

J466JI，3/1429-2)129Oj

X)=-6&_0+5q,

3.<x2=l2zt-2Z2+7Z3,

XJ=-IO。-5q+205.

'35、

5.(1)6.(2)(068).

‘0IoYo0、r001、roioY

(6)00001000

00000000000

roio'

当〃>3时，，001=o.

000

〃、n「4000、

〃/l"T2

0400

n1

(7)02nA"-•(8)

b一0040

0

、0004,

ro0?

6.02•7.都不成立

2；

U

on10、1

8.(1)・⑵・⑶A=

1°OJ1031°

9.(1)(AAT)T=(AT)TAT=AAT.

(2)提示：设A=(旬)…，考察44T的主对角线元素.

10.提示：比较(ABV与4%

r\00、bc](oo0、

11.提示:令4=012vw满足A3=A4.再令C=002

【312)

yz311

AB=BA<^CB=BC.从而推得一切与矩阵A可交换的矩阵如卜:

w-y+Z2y

3yyZ

其中u,y,z为任意常数.

其中“,y,z为任意常数.

/1010)’10-100、

r00、12001-100

12.13.14.

W0,243300010

313Wo00b

'100、

15.010

、。01

(

100、'10-3、'120、(100、-23、

16.010=010010001001

101

00L、00、。01;310>

17.略.

-11/2"2、'1一1-2/3、

r-21A

18.(1),•⑵30-1.(3)-2/317/9

-1/2)

,、3/2✓

-1-1/21/2)、T11;GA

f-5fl-33/2)

19.(1).(2).⑶13-4

、30,101-1

-2I2、

20.

0-1-3,

21.(1)X=EX=(/T%)X=TTIAX)=4“(Ay)=(4一%)丫=EY=Y.

(2)X=XE=X(AA-l)=(XA)A-'=(YA)A-'=Y(AA-l)=YE=Y.

22.AT(A-1)T=(A-'A)T==En(A-I)T=(AT)-1=A”.

23.A2=(PBP*PBP')=PB(PP)BP1=PBEBP1=PB-P

依此类推，对于任意的正整数〃,屋=尸必尸1

l&fix)=anXn+...+a\x+«o,则

1

期)=a"+…+”iA+a()E=a„PB'P'+...+</}PBP+aJPP

=P(〃,"+...+a由+a^E)Px=Pf(B)P'.

_'27312732、

24.A"=PA"P=1-683-684,

25.(1)27.(2)160.(3)-29400000.(4)(-1.a2(l].

(5)/+(-1)””.(6)(-l)H'(«-1).⑺〃+l.

<,I

(8)(%—Z—)〃2…品.।一〃-2.n~1.ii

(9)an+an-\x-F...4-ci2X+a\x+x.

1=2q

26.提示：用课本第29页性质1.3(2).

27.«o=3,ci\=--«2=2,«3=

28.16,20,0.

29.提示：L4II(3A)-1-2A*I=L4[(3A)-1-2A*]I=I-AA-'-2AA*I=I-E-EI

33

228

=|--EI=(__)3=,

27

‘2955-19、

30.52317.

、26210)

31.提示:44*=141£=>(14「4)4*=£：=(4*尸=14「4.

(A')(A*)*=IA-,IE=IAIlE=>(A-1)*=141

32.略.

53000、

-3-2000

33.001/200（提示用课本第39页定理1.10）.

0002—5

000-38,

34.提示:A3-2A2+9A-E=O=>A(A2-2A+9E)=E.

A3-2A2+9A-E=O=>(A2+9E)(A-2E)=-17E.

35.(1)X1=1,X2=1,X3=1,X4=1.

-bCIR-bci-bb~CLa、-bu—b

(2)X]————••…——，X2=----——……上—

a3-aia3~ai%一％

X,尸b-%.b-a2….b-anl

“an-an_x

36.(1)2.(2)3.

37.2=5,//=1.

38.设%=U,04=匕其中P为〃［阶可逆矩阵,Q为s阶可逆矩阵，U,V

均为行阶梯行矩阵，则

PC、VPC、

⑴、Q)[oB,，故

o（）L

Ac、(UPC

>r(U)+r(V)=r(A)+r(B).

OB,I。V

AO、(uo、

⑵，故

、O。八OB)OV,

CUO

=r(t7)+r(V)=r(A)+r(B).

B。叱

39.提示:（充分性）48的等价标准形都是用2.（必要性）初等变换不改变

矩阵的秩.

习题2(A)

9.(0,1,0,4),(2,0,0,5),(0,0,3,6).

10.(1,0,-1),(0,1,-1).(注：本题答案不唯一)

11.(0,(注：本题答案不唯一)

⑵以工：嘉14〃+…

15..(注:本题答案不唯一)

16.«=-1,=0,c=0.

二.选择题

I.C.2.D.3.A.4.C.5.D.

6.B.7.D.8.A.9.B.10.D.

习题2(B)

1.(l)r(ai,a2,«3)=2<3,可见a,喙,％是线性相关的.

(2)r(ai,02,6)=2<3,可见q,ch,%是线性相关的.

(3)r(aH3,03)=3,可见a,02,%是线性无关的.

(4)r(«i,a2,=2<3,可见a,a2,Q?是线性相关的.

21

2.a=——.3.。声0目h1/3.4.a：=2,b=3.5.略.

2

'1ooh(1001、

、1100^-1100.

6.提示:51,尺,国，闻=(a,

a2,%,a)0110'而「0110(4

011J(0011,

<0

T1…1](11…1、

、o1­••101­••1

7.提示:3,危…，㈤=(a,a?,•••,aq):.:，且w：：..可逆

<00…1；、00…"

'a0by

8.局,国线性无关oawb.提示:(A，尺，㈤=(Qi,函%)ba0.

[0ba)

9.略.

10.(方法一)对，使用数学归纳法.参见习题2(C)的第6题.

(方法二)因为向量组a,«2,....a线性相关，所以存在一组不全为零的

数为,女2,…,&S使得+k2a：+…+h%=0.

设品,&2,…,心中最后一个不为零的数是年,则

k\Ct\+k2al+.・・+&j-1tty-1+kj(Xj=0.

由此可得a尸-与8-46-…-左a,”

号kjkj

11.(方法一)因为对于矩阵4=(a,S,来说，它的每个非零子式所占

的列向量构成的向量组的秩就等于这个非零子式的阶数，也

就是这个非零子式所占的列向量的个数.因此，A的每个非零

子式所占的列向量构成的向量组都是线性无关的.反之，若

ai,小，…,a的某个线性无关的部分组中含有/个向量，则这个

部分组的秩就是，，因而这「列中必然存在一个f阶的非零子式.

于是r(a,…,a)=roA中存在r阶的非零子式，但任意

高于7阶的子式都为零Oa,…，a中存在「个线性无关的

向量，但任意多于r个向量的部分组都是线性相关的.

(方法二)(=>)若r(a,6,…，Os)=r,则A=(a,,a2,a)中存在，阶的

非零子式，但任意高于/■阶的子式都为零.因此，①那个r阶

的非零子式所占的「列就构成了Qi,Q>…，4的一个线性无关

的部分组.②假若a,小，…，a还有，个向量的部分组都是线

性无关的，其中/>r,那么这个部分组中必然有一个f阶的非

零子式，而这个，阶的非零子式同时也是A的Z阶的非零子式.

但这与r(a,a：,...»a5)=r(</)矛盾.因此8，6,…，a中任意

多于r个向量的部分组都是线性相关的.

(U)①因为a,6,…，a中存在『个线性无关的向量，这「个

列向量所在的列中必然存在一个r阶的非零子式.于是r(a,

0.…，a)=r.②假若A=(a,a2aj中还有一个/阶的非

零子式，其中/>r,那么这个"介的非零子式所占的，个列向量

的部分组都是线性无关的.但任意多于r个向量的部分组都是

线性相关的，矛盾！因此A=(a,0,…，a)中任意高于r阶的

子式都为零.综合①和②可知r(ai,0aj=r.

12.略.13.略.

14.(=>)设3a+&2a2+...+ksOs=0,〃=a+1必+则

〃=(21+l\)Ol\+伏2+，2)a:+…+氏+ls)(Xi.

由于〃由向量组a,生，…,a线性表示的方式是唯一的，所以

3+/[=/],&2+，2=，2,..As+，s=G

由此可得扃=攵2=...=冗=0.故«2,....a线性无关.

(=)设〃=/]8+12a2+...+g=k\a\+k2a：+...+ksas,贝U

伏I—/l)flf|+(&2—11)011++(&$—IJtXs-0.

由Ta,6,…,a是线性无关的，故

自一/]=22-，2=…=&s-。=0,

即

女1=/1,22=，2,•••,■=，加

一可见〃由向量组a,0,…,a线性表示的方式是唯一的.

15.提示：r(4+8)Wr(A)+r⑻，其中4=(a,0,…,a),。=3,饱…，闻.

16.见本章典型例题赏析中的例3.

a+2]x"(“+2)

1

a>

若aH1,则r(4)=r(3)=3,此时向量组1,aI的极大无关组

⑴⑴

就是它本身；

(aT)

若a=1,则r(A)=r(B)=1,此时1就是向量组1a,1的一

J4

个极大无关蛆.

"I1-2^x(-1)fl1-2、

1-21J->0-3

3=C.由此可得r(A)=r(C)=2,且

、000J(00

a1就是向量组;，

1,a«,i的一个极大无关组.

18.⑴不构成瞰的子空间.⑵构成肥的子空间.⑶不构成瞰的子空间.

19.(l)a=(6,3,29是V的一组基,dimV=1.

(2)a=(2,1,0尸,夕=(一3,0,1丁是丫的一组基,dimV=2.

(3)ai,国是丫的一组基,dimV=2.

(4)a\,%是丫的一组基,dimV=2.

20.见本章典型例题赏析中的例5.

21.a=(1,0,2)T,Q?=(0,1,3)T是V的一组基.a在这组基下的坐标为(1,1)T.

22.(1)证明略.

(2)令A=(即”，。3),从£i,塾用到a,a；,%的过渡矩阵就是A

f-3/21/23/21

右的过渡矩阵就是A

11/2-1/21/2)

(0rn

(4)TJ=2在£|,8下的坐标就是2;zha,aj,%下的坐标为

⑶⑶)

A-12=-2.

1°。门/34/小

23.010.24.工；：；.

[10oj(4/31/3J

25.提设a=(41,〃2,・・•，〃“)，尸=(力।,82,•••，儿)工因为

%：或岫+不力;=£

+2：(4+独产N0

i=li=li=li=l

恒成立，所以

A=(2S«A)2~4Xa12

j,li>!

26(i)同;〕网；、

26•⑴—1L—1,—1.

3⑴2l-d6Id

⑵乎(1,0,(0,-l,0,0)T,^(1

,0,1,2)T.

36

27.略.28.略.

29.提示：初等矩阵E(i,力是正交矩阵<«).而0=E匕…K，其中Pl,

Pl,Ps是一些形如E(i,力的初等矩阵.

30.提示：验算”丁“=(£一2。")丁归—2a"j=(E-2aa「)(E-2aar)=E.

31.略.32.略.

33.提示：\E+A\=\ATA+AI=IAT+EIL4I=-L4T+EI=-IE+AI.

34.提示:伙'%=(Aa\)'(Aa2)=(«ilAr)(Aa2)='A)a：=a/a.

习题3(A)

一.填空题

1.(-2,1,0).2.(b-a)(c-a)(c-b)=0.3.n-\.4.(1,I,l)r.

5.4=1.6.abc#0.7.〃=©0,2,4,6丁+(1,1,1,1尸伙为任意数).

8.n.

二.选择题

1.D.2.C.3.C.4.C.5.C.

6.D.7.D.8.B.9.B.10.C.

习题3(B)

3.(1)基础解系：

6=(-3/2,1,0,0)T,3=(1/2,0,l,0)T,&=(5/2,0,0,1)T.

(2)基础解系：

TT

^=(7,-11,i,0),^2=(-6,10,0,1).

(3)基础解系：

4=(-2,1,1,0,0)T,&=(-1,-3,0,l,0)T,备=(2,1,0,0,1)T.

(4)没有基础解系.

4.(1)当4=0或-1时,原方程组有非零解.

当；1=0时，基础解系：4=(2,-2,—1,19.

当；1=-1时，基础解系:岁=(0,-1,0,1)丁

(2)当〃=0时，基础解系：

备=(-1,1,0,0)T,察=(-1,0,1,...,0)1..,扁一户(-1,0,0,1)T.

当。=一中时，基础解系：4=(上下,产，…，1,-1).

见本章第3幅M7.

5.

6.见本章第3节的例8.

7.见本章第3节的例9.

8.见本章第3节的例10.

9.见本章第3节的例II.

10.(1)其中5,C2为任意数.

‘5/8、

⑵=0(3)无解.

,其中Q,C2为任意常数.

11.(1)当a,b,c互不相等时，该方程组有唯一解；

当awb且(c-b)(c-a)=(d-b)(d-a)=0时,该方程组有无穷多解;

当a=b时,

①若d=c,则该方程组有无穷多解；

②若dwc,则该方程组无解.

(2)当。=1时，

①若b。1且c¥1,则该方程组有唯一解；

②若b=l或c=l,则该方程组有无穷多解.

当"1时,

①若2-3+b+c)+砧cwO,则该方程组有唯一解;

②若2-(“+力+c)+“bc=O且b=I,则该方程组有无穷多解；

③若2-3+力+c)+”儿=0且h。1,则该方程组无解.

(3)”汉，2时，该方程组有唯一解；

当4=2且以=-1时，该方程组有无穷多解；

当a=2而时，该方程组无解.

12.当；IH1且;2时，该方程组有唯一解；"行=1时，该方程组有无穷多

解；当之=-2时，该方程组无解.

TTT

当4=1lH,x=C1(-l,I,0)+C2(-I,0,l)+(l,0,0),其中cm为任意

数.

13.2=-2.x=c(l,l,0)T+(l,0,0)T,其中c为任意数.

14.见本章第3节的例4.

15.(1)当a*-4时/能用Qi,Ch,6唯一地线性表示.

(2)当“=-4但力h2+c时，/不能用a,a1,。3线性表示.

(3)当a=-4且占=2+cll'J,烦自用凶，以2,外线性表示，但表示方法不唯

一.此时夕=ca-(2c+¥)小+?Q；,其111c为任意数.

16.a\,a?是a，Oh,Ok,a,%的一个极大无关组，且

G=2«|,田=-a,+Q3,。5=2al-ay.

17.(1)fz=0,b=—1,c=1.

(2)8,。2是a,as的的一个极大无关组.

⑶X彳;；；)・

18.(1)4的第1,2,4行构成A的行空间的一组基，力的行空间的维数为3.

(2)4的第1,2,3列构成A的列空间的一组基,A的列空间的维数为3.

19.见本章第3节的例13.

20.与上一题类似.

21.见本章第3节的例14.

22.见本章第3节的例12.

习题4(A)

一.填空题

‘100、

1.010.2.办=〃，办=右=...=%=0.3.(1,3).

1001J

4.2.5.Z2I4I2+1.6.4+36的特征值是4,2,5;14+3园=40.

7.24.8.0.

二.选择题

1.A.2.B.3.B.4,D.5.A.

6.B.7.D.8.B.9.B.10.B.

习题4(B)

1.提示:AT(45)4=(4一么成4=84

2.提，设PAiO必叫验算C别6GCQ\

3.提示：(P'AP)(PBP)=PA(PP)BP=P'ABP=PBAP.

4.提示：TSA2=A,P'AP=B.则52=(尸一4尸)(尸一么?)=_.

5.提示:E{iJYxAE{i,j)=E(i,j)AE(i,j)=B..

6.(1)对应于2=2的全部特征向量为:©I,1)\其中&w0；.

对应于4=4的全部特征向量为:艘1,-19，其中〃工0.;

(2)对应于2=1的全部特征向量为:〃(-1,-2,19，其中让0;

对应于2=2的全部特征向量为:左(0,0,19，其中&H0.

(3)对应于4=0的全部特征向量为:&19,其中&H0；

对应于;1=-1的全部特征向量为:2(-1,1,09，其中壮0;

对应于4=9的全部特征向量为:&(1/2,1/2,l)T,其中"0.

(4)对应于X=I的全部特征向量为：的(0,1,1,0尸+6(1,0,0,1)\其中配&2

不全为0;

对应于％=-1的全部特征向量为:岛(0,-1[,0)T+依(-1,0,0,»,其中心

&2不全为0.

(5)对应于2=1的全部特征向量为：Ai(-2,l,0)T+&2(0,l,l)T,其中""不

全为0.

对应于;1=10的全部特征向量为:以其中女工0.

(6)对应于;I=-1的全部特征向量为:女1,其中左。0；

对应于％=0的全部特征向量为:A(-1,-1,1)T,其11味H0；

对应于4=1的全部特征向量为:&(1,1,1)T,其中&wo.

(7)对应于％=-6的全部特征向量为:&(-l/2,-l,l)T,其中AHO.

对应于4=3的全部特征向量为:舟(-2,l,0)T+女2(0』」)T,其中瓦一不

全为0.

(8)对应于之=〃。的全部特征向量为:以1,1,…，1)\其中kwO.

对应于4=0的全部特征向量为：

自(一1,1,0,…,0)'+后(-1,0,1,…,0)「+…।(T,0,…,0,19，

其中&i,⑸…,不全为0.

7.提示：由0以及(万_37+2猾==(A2一34+2£酒=()&=0得;12_3/1+2=0.

取4=(：；),则4满足42一34+2£；=0,但2不是4的特征值.

收4=(：；),则A满足42—3A+2E=。但1不是A的特征值.

8.是A的全部特征值.提示:IE-AI=I3E-AI=IE+AI=O.

9.a=1,A=3.

10.(1)-2,8,-4.(2)64.(3)-72.

11.提示:4*=_37=_6PATpT,

L4*+3A+2£I=I-6PA]P1+3PAP1+2PEP-ll=l-6A^+3A+2E\=25.

12.-1X3X5X...X(2TJ-3)=~(2n-3)!!.

《I"12…a\n1

13.THA=，“曰?,$=!，则AJ=4)至

a

4n2…«nJlb

14.(1)⑷沏T为4*的一个特征值，对应的一个特征向量为久

九T为的一个特征值，对应的一个特征向量为专

(2)沏为尸丁尸的一个特征值，对应的一个特征向量为产£

15.(1)不为屋的一个特征值,汇+24+3为T+2A+3£的一个特征值.

(2)4T为4T的一个特征值;IALT为A*的一个特征值；1-刀为E-4T的

一个特征值.

16.(1)提示：设目4则由(万一1)4=41-4=0得;12一1=o.

(2)提示:(-»IE+AI=l(-l)E—AlwO.

A-E=(A+E)(A-E)(A一E)“=O(A一£)"=O.

17.假若4修+比1是4的特征向量，对应的特征值为4

ki愁i+42建=%伏1。1+k^2)=A(k+k2^2)=kiA^i+kA^

22

=kiAi^i+攵2，42,

由此可得的半-九埼+&2(4-♦)免=0.

但是弟枭为矩阵A的属于不同特征值尢，％2的特征向量，它们必然是线

性无关的,所以—(4-否)=h。-初=0.

又因为&伙2X0,所以九一九=4-义2=0,从而又=/=冗2,这与“九，九2是

不同的特征值”矛盾！

"1/300)00、

18.(1)。=2/35/20,P'AP=0-30.

I1।UI。02,

(2)A的特征值为九=1,=左=3.A只有2个线性无关的特征向量，

TT

^(=(-1,-1/3,1);^=(-1,-1,1).

所以A不可以相似对角化.

19.P=(；=A=

A"=(PAPi)"=PN,Pt=/+3”「3".

2(1-3"1+3"J

2O.P=(；-A噌；｝屋—3屋+次+*(券翦)

'll1、f\00、

21.P=01/2-2则尸-NP=A=050,A=PAP

1011,

、00-5y

'105l00-f

A100=(PhP-1)100=PA100/，-1=051000.

005100

\7

22.设A为〃阶幕零矩阵，屋=。，其中人为一个正整数.

’4o…0、

假若p-%P=A=?号；?，则

、00­••4,

彳o••-0、

?号：：？=Ak=(PAP-l)k=PAkP1=POP=O.

、00…初

由此可得否=%2=・.=〃=0,即A=0.因而4=PAP-=POPT=O

23.(I)z=-1,</=-3,b=0.

(2)IZE-Al=(2+I)3.假若4能相似对角化，则A有三个线性无关的特

征向量与4=_|对应，因而(花-4比=0的基础解系中应该含有三个线

性无关的解向量，故3-1•(花-4)=3.由此可得r(花-4)=0,即花-

'-31-2、

A=0.但事实上花-A=-52—3r。.此矛盾表明A不能相似对角

U0\)

化.

‘0।r‘200、

24.令尸=111.A0-20,则尸AP=A.

111°)〔。。D

‘-23-3、

A=PAP=-45-3.

-44-2J

‘100、'200、

25.(1)尸=0I1/2,1-lAP=()30.

J01,001.

'1/2011(200、

(2)0=I-I0,则020

Iiidlo0-1J

(3)4的特征值为：办=4=I,九=2.4只有2个线性无关的特征向量所

以A不与对角矩阵相似.

26.(l)x=0,y=-2.

，00f(-\00、

⑵尸=一2I0,P~'AP=020.

U।Ul00-2)

eX

-42I

o-

3TUu

*1

-oTo

27,(i)e=_L3o

J-62O8

-

37

0M"

-/loo

26U

o。o10

7_63l=

3Ao

6〃o

2V3I

6-2

交2

V2

2一63

1

o2J2

Z3一

-

2

72

263

¥、

o±rz20o

0:

ea020

i一

V27一

#2h00

-6-L

3,\-7

0o0/o

22o0

l4l

2&a=Q00。4Q=o0

oo

五3o2

221

29.设S=(xi,X2,》3)T是对应于川的特征向量,则P3与Pl,P2正交，可知3=

00、

(2,-2,1)T令「=(P1，P2，P3),P“4P=A=0-10.

I。

007

2

/_1-

3

3I2

1--

A=PKP033

2

23-

I3

30.设%=(X|,X2,X3),是对应于T的特征向量，则6与皿，。2正交，可取。3=

’100、

(―1,1,09.令尸=(a,a?,防),则p1P=A=o1o.

(00-1J

(\2-P

A=PKP'=121.

UI

习题5(A)

一.填空题

1.Axi,X2,X3)=X\~+X<+2%32-2X1X2++2X2X3.

的3、

a2a3.4.2.5.2,1.

6.y广+打-丫3=72.8.-V2</<V2.

二.选择题

1.D.2.B.3.A.4.D.5.B.6.B.

习题5(B)

f\21、

1.(1)242

U21J

(4

3.提示：验算(E(l,i])E(1,切…E(1,z„))TEdJOEd,^)...£(1,/„).

4.提示:泯))=5.

5.提示:(1)两个同阶矩阵A与8等价的充分必要条件是r(A)=r(B);

(2)若两个同阶矩阵A与3相似，则r(A)=r(B)且⑷=181;

(3)若两个同阶对称矩阵A与B合同，则r(A)=r(8)且A与B的正惯性

指数相等.

'-2/3-1/32/3、

6.(1)。=-2/3-2/3-1/3=5yJ+3y2?+■.

、1/32/32/3y

"1/V20—1/O()、

1/&0叵()

—1/>，x=Qy,f=yJ+y2-ya2-y/

⑵。2

0-1/ai01/-h

、01/V20)/■日

'"00-1/21/2,

I/V20

1/2-1/22

(3)。'=,X=0，/=yJ+yi+>'3-3yJ.

0I/V2-1/2-1/2

、01/V21/21/2,

=y一%一力，

:.V12-y,22-

7.(1)<:;=%+%，fixi,.H,X3)=

=%

—4+z2—Z3,

Z12-Z1-Z32-

⑵<=Z］一马-Z3,儿孙，：：2,X3)=

5少

8.提示：参考本书4.3节的例2.

，"&i/VT

9.尸=

l/V2y'

'0i0、

10.4=2.。=1/V20—1/y/2.

J/V201/口

’2/庭0-1/疗

11.(1)0=1/76-1/V21/V3=Qv,f=4u~4-2v2+w2.

1/V61/V21/>/3

\/

(2)最大值为4,最小值为1.

12.设A,B的阶数分别为Z,l,A,5的特征值分别为;li,…,4;必，…,出

记M=0j),则M的阶数为〃i=k+/.

A

I花,“一Ml=1？.=lAEk-AMAE,-B\

uAhj-a

=（4一Ai）...（/I—2*）（4-//]）...（2—⑷，

可见M的特征值为Ni,...,%,M，…,M.

下面我们用五种方法来证明该命题.

（方法一）用定义.

A,3都是正定矩阵

n对于任意非零的k维列向量X和/维列向量匕有