湖南省三湘名校教育联盟湖湘名校教育联合体2023-2024学年高三上学期10月大联考数学试卷

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A.3 B.5 C.9 D.253.已知向量，满足，．若，则下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知正实数，，满足，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.65.在平面外有两条直线和，设和在平面内的射影分别是直线和，则下列结论正确的是（）A.是的充分条件B.是的必要条件C.与相交是与相交或重合的充分条件D.与平行或重合是与平行的必要条件6.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列为单调递增数列 B.数列为单调递减数列C. D.7.在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，若函数值域与的值域相同，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于底面，且，则（）A.直线与所成角为 B.直线与所成角为C.直线与平面所成角为 D.平面与平面夹角的正切值为10.已知点，，且，设，为坐标原点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C.当时， D.当时，11.已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且，，则双曲线的离心率可以为（）A. B. C.2 D.12.已知函数的导函数为，则（）A.无最小值 B.无最小值C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为________．14.小明准备用9万元投资两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资种股票万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元．股票每股收益的分布列收益/元03概率0.30.20.5股票每股收益分布列收益/元0.6概率0.4415.已知，函数与的图象在上恰有两个交点，则的值为________．16.如下表格给出了一个“等差数阵”，其中每行、每列的数都构成等差数列，表示位于第行、第列的数．1013（）（）……1318（）（）……（）（）（）（）………………表格中的值为________，2023在该数阵中共出现________次．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.影响一个城市消费水平的原因有很多，其中一个重要的指标就是该城市的月平均工资.2022年“双十一”已经过去，某机构借助国内几个主要的网购交易平台，统计了部分城市“双十一”当天的人均交易额（单位：百元）如下表：城市北京上海深圳广州宁波厦门苏州人均交易额5.35.95.1463.84.339通过查阅人社局的报告，我们得到了上述七个城市的2022年的月平均工资（单位：百元）如下表：城市北京上海深圳广州宁波厦门苏州月平均工资92888275736967（1）从散点图可以发现，月平均工资与双十一交易额之间大致成正相关关系，即月平均工资越高，双十一当天的人均交易额越高，请求出人均交易额（百元）与月平均工资（百元）的经验回归方程（保留小数点后两位有效数字）；（2）若长沙市2023年的月平均工资为62百元，请预测长沙市在今年双十一中的人均交易额．附：参考公式：，．参考数据：，，，．18.如图所示，四边形是圆台轴截面，是上底面圆周上异于，的一点，圆台的高，．（1）证明：是直角三角形；（2）是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．19.如图，的内角，，的对边分别为，，．若．（1）求角的大小；（2）若是线段上的点，，，求的最大值．20.设数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，其前项和为，数列满足，其前项积为，求证：．21.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，定点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆分别交于点（不在直线上），若直线，与椭圆分别交于点，，且直线过定点，问直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．22.已知函数．（1）讨论函数的零点个数；（2）若且函数有两个零点，，证明：．

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB【12题答案】【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】1792【14题答案】【答案】10.8【15题答案】【答案】##1.5【16题答案】【答案】①.37②.6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【17题答案】【答案】（1）