必修一第三章第3节3.3.1-2（3）指数函数学历案教师版1

·第三章指数运算与指数函数指数函数（三）【学习主题】习题课【课时安排】3课时【学习目标】1.学会分析形如y=fax2.掌握利用复合函数的性质解决含参的方程有解问题与含参的不等式恒成立问题.3.掌握复合函数单调性判断的方法步骤【学习重难点】学习重点:复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质分析的方法.【学情分析】学生研究过一次函数、二次函数、反比例函数,幂函数、指数函数等基本函数的性质，同时初步掌握了复函函数的性质的研究方法，这为掌握与指数有关的复函函数的性质和复函函数的应用奠定了基础，但是学生在复合函数分解为简单函数后，简单函数的性质与复合函数性质的对应联系理解不到位，容易出现不规范而分析错误，因此需要深化学生思维的全面性和深刻性，以及数形结合的思想有待进一步培养和加强。【学法建议】1.复合函数分解为两个简单函数后，注意新变量的范围与和两个简单函数的性质与复合函数性质的联系。2.从两个简单的复合函数y=af(x)和3.注意分式函数分离常数的运算及对号函数和飘带函数的性质。【学习过程】问题1：已知fx=Ax2+Bx+C(A≠0)，则问题2：（1）函数fx=22x+1+2x+2-1的定义域：（2）函数fx=(12)2x+1+(1（3）当AB>0，a>0,且a≠1时，函数（4）当AB<0，a>0,且a≠1时，函数解（1）定义域R，，单调性：R↗，值域(-1,+∞)（2）定义域R，，单调性：R↘，值域(-1,+∞)(3)是单调函数(4)不是单调函数问题3：函数fx=22x+1-2x+2解：定义域为R令t=2x，则当t∈-∞,1时，2x<1,∴x∈(-∞,0),所以y=f(x)在(-∞,0)是减函数当t∈1，+∞时，2x所以y=f(x)在(0,+∞)是增函数函数fx=2所以y∈[-3,+∞)复合函数fax(a>0（1）求定义域（2）换元令t=（3）判断y=f(t)的单调性（4）由t=ax求相应（5）判断令t=ax在相应（6）根据同增异减下结论问题4：函数fx=(12解：定义域为R令t=(12)当t∈-∞,14时，2x所以y=f(x)在(-∞,-2)是增函数当t∈14，+∞时，2所以y=f(x)在(-2,+∞)是减函数问题5：复合函数y=fa函数y=fax(a>0，且a≠1)与函数y=ft(t>0)问题6：函数fx=ax-a-x(a>0，单调性：；奇偶性：.函数fx=ax-a-x(a>0，单调性：a>1时R↗；0<a<1时R↘；奇偶性：奇函数.问题7：函数fx=ax+a-x(a>0，单调性：；奇偶性：.函数fx=ax+a-x(a>0，且a≠1)单调性：a>1时-∞,0↘,(0,+∞)↗；0<a<1时-∞,0↗,(0,+∞)↘奇偶性：偶函数.问题8：函数fx=2x-2-x2x单调性：；奇偶性：.函数fx=2x-2fx=2x-2单调性：R↗；奇偶性：奇函数.问题9：函数fx=2x+2-x2x单调性：；奇偶性：.函数fx=2x+2-xfx=2x+2单调性：-∞,0↘(0,+∞)↘；奇偶性：奇函数问题10：已知fx（1）则fax=（2）若fax是定义在R上的奇函数，则A+B=；C-D=则y=fax的图象过原点，即f又fa-x+fA-AaxC+Dax+Aa即(C-D)(ax-1)≡0,所以C-D=0预习自测基础知识自测问题1：指数函数：一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)定义域是:R,值域是0,+∞;图象过定点问题2：①函数y=ax与y再推广到一般函数：函数y=fx与y②函数y=ax与y再推广到一般函数：函数y=fx与y③函数y=ax与再推广到一般函数：函数y=fx与问题3：当a>1:时，函数y=ax是定义域R上的增当0<a<1时，函数y=ax是定义域R上的减问题4：当af(x)>ag(x)解：当a>1时，f当0<a<1时，f问题5：当af(x)>bf(x)解：当a>b>0时，当b>a>0时，y=ax(a>0,a≠1)的图象中，底数a的大小与在y轴右侧，底数按逆时针方向变大，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，底数按逆时针方向变大图像从下到上相应的底数由大变小问题6：一般地，有形如函数y=a(1)函数y=afx与函数y=f(x)有(2)当a>1时，函数y=afx与函数y=f(x)有相同当0<a<1时，函数y=afx与函数y=f(x)有问题7：函数f(x)为奇函数则（1）它的图像关于原点对称；（2）对于f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝－f(x)即f-x+f（3）如果奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f0=（4）奇函数f(x)在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．（5）奇函数+奇函数是奇函数；奇函数×奇函数是偶函数问题8：函数f(x)为偶函数则（1）它的图像关于y轴对称；（2）对于f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝f(x)即f-x-f（3）偶函数f(x)在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．（4）偶函数+偶函数是偶函数；偶函数×偶函数是偶函数；奇函数×偶函数是偶函数；问题双基自测，典型题，易错题1.已知函数fx=3x-13x，则A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数[解析]因为fx=3x，即函数f(x)是奇函数．又y=3x在R上是增函数，y=(所以fx=3x-2.函数y=2x+2-x2解：定义域{x|x≠0}，f-x=-f(x),f(x)是奇函数，排除fx=4x+14xx→+∞时，y→1,排除B,D3.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时,fx=2A．3B．3C.1D.3解：∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f0=0⇒b=-1∴f4.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足fx+gx=ax-a-x+2a>0,且a≠1)．若g2=a，则f(2)＝(B)解：f2+g2=a2-a-2+2=1\*GB3①f-2+g-2=∴f5.若函数fx=1+max-1(a>0,a≠1)是奇函数，则m为（B）A.1解：因为f(x)是奇函数，所以fx+f∴1+max-1+1+法2：f1+f6.已知函数fx=b∙ax（其中a,b为常量，且a>0,a≠1,b≠0）的图象经过点A1,6,B(3,24).若不等式1ax解：f1=ba=6f3=ba3=2412x+13y=12x+13（四）完成课本第91页练习，并把学历案上的学习任务完成同时标记疑问题⫋【学习任务1】.指数函数综合应用之求值域例1(1)已知0≤x≤2，则函数y=4x-12(2)已知2x+4y-4=0，则解：（1）因为0≤x≤2，令t=2y=12⋅所以t=3即2x=3时，ymin=1最大值与最小值的和为3解（2）因为2x+4y所以z=4x-2⋅所以z=t2【课堂评价1】已知函数fx=ax2+2x+b(a,b试求a，b的值．(2)设a>0,且a≠1，函数y=a2x+2ax解（1）[解析]设t=x2+2x,x∈[-32,0]①当a>1时，y=at+b在[－1,0]∴∴1a②当0<a<1时，y=at+b在[－∴1a+b=3综上所述，a＝2，b＝2或a＝23，b＝3（2）[解析]设t=ax，则①当a>1时，t∈[1a,a]，y=t当t＝a时，取得最大值a2解得a＝3或a＝－5(舍)；②当0<a<1时，t∈[a,1a]，y=当t＝1a时，取得最大值1解得a＝13或a＝-15(综上所述，a＝3或13【课堂活动与展示】分组讨论，2分钟时间【反思总结】(1)指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a<1两种情况讨论．(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．(3)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=afx型函数,要先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出t=f(x)的值域A,然后求出y=a【学习任务2】指数方程综合应用之奇偶性例2(P92.8)已知函数f求函数f(x)的定义域；判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；求证：f解（1）由2x-1≠0得x≠0（2）在定义域内任取xf∴f-x=f(x)（3）x>0时，2x∴又f(x)为偶函数，∴x<0综上：x∈R,【课堂评价2】已知fx求a的值；判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性；若关于x的方程k⋅fx=2x在解：（1）因为fx=2f∴2x+12fx=2证明：对任意的xfx因为x1,所以fx1>fx2,方程k⋅fx=2x∴k=2x(2令t=2x+1∈(2,3],则k=所以2t+1t-3【课堂活动与展示】分组讨论4分钟【反思总结】指数型复合函数奇偶性的判断方法及有用结论指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的复合函数可以具有奇偶性,其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.结论:若a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax-a【学习任务3】奇偶性与不等式恒成立问题例3已知定义域为R的函数fx=求b的值；判断函数f(x)的单调性并证明；若对任意的t∈R，不等式ft2-2t+f2解：（1）因为fx=-所以f0=0,即-1+b2+2（2）fx=-2证明：对任意的xfx因为x1,所以fx1>fx2,（3）因为f(x)是奇函数，不等式f等价与不等式f又fx在R单调递减，所以t2-2t>k-2即3t2-2t-k>0所以Δ【课堂评价3】已知函数f(x)=1+a·13(1)当a=2,x∈[1,2]时,求函数f(x)的最大值与最小值;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上恒有2≤f(x)≤3,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=1-2×13x+1令m=13x,f(x)由x∈[1,2],得m∈19∴当m=19时,y取得最大值,ymax=6481,当m=13时,y取得最小值,ymin(2)∵-2≤f(x)≤3⇔2≤1+a·13x+19x≤3⇔319x≤a·13x≤2∴-3×3x-13x≤a≤2×∴-3×3x-13xmax≤设3x=t,由x∈[1,+∞),得设h(t)=-3t-1t=-3t+1t(t≥3),φ(t)=2t-1t(∴h(t)max=h(3)=-283,φ(t)∴-283≤a≤173,即实数a【课堂活动与展示】分组讨论3分钟【反思总结】（1）如果奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f0=（2）奇函数f(x)在R是增函数，且f（3）恒成立中注意参变量完全分离后转化为求最值问题【学习任务4】含参的单调性，求参数的范围例4已知fx=ax(x>1)范围是（）BA.解（1）因为f(x)在R上递增，所以x≤1时，y=4-ax>1时，y=ax是增函数，所以衔接点x=1处，f综上：a∈[4,8)【课堂评价2】已知fx=2-ax+1(x<1)ax(x≥1)对任意x1≠x2,都有A.解：因为对任意x1≠x2,都有fx