山东省烟台市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】.故选：A.2.函数的零点所在的区间为（）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解.【详解】依题意，函数定义域为，而在为单调递减函数，在为单调递减函数，因为，所以，即所以，，所以，所以由零点存在性定理可知，函数在区间有零点.故选：C.3.函数（且）的图象过定点（）A.（0，－2） B.（0，－1） C.（1，－2） D.（1，－1）【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的定义，令即可求解.【详解】依题意，因为（且），所以令，解得：，所以，所以函数（且）的图象过定点.故选：D.4.下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期性与单调性即可求解.【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：，所以AC选项不符合题意；对于B：周期为：，且在上单调递增，所以B选项符合题意；对于D：周期为：，且在上单调递减，所以D选项不符合题意；故选：B.5.已知为第二象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到，，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】因为是第二象限角，所以，，又，所以，即，得，所以.故选：C.6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定，，，得到大小关系.【详解】，，，给.故选：A7.物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为，物体的初始温度是，经过min后物体的温度为，则．现将一杯的热茶放在的房间中冷却，假设经过10min热茶降温到，那么继续降温到还需要的时间约为（结果精确到0.1，参考数据：，）（）A.6.4min B.6.6min C.7.4min D.7.6min【答案】C【解析】【分析】带入数据计算得到，得到等式，结合参考数据计算得到答案.【详解】根据题意：，解得，，即，.故选：C8.若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C.（1，2） D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性特点列不等式，考虑复合函数单调性，对数函数单调性解不等式即可列不等式求得实数的取值范围.【详解】解：若在上单调递增，则解得，即实数的取值范围为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的定义域为C.若，则（） D.在其定义域上是增函数【答案】ABC【解析】【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解.【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确；B：由，得，所以函数的定义域为，故B正确；C：，得，解得，故C正确；D：，解得所以函数在上单调递增，故D错误.故选：ABC.10.设正数，且，则（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据指数函数和对数函数性质判断即可．【详解】A．因为，所以，又因为，故，由此可得，故A正确；B．因，所以，又因为，可得，故B正确；C．根据对数函数性质可知，当底数大于1时，函数单调递增，当底数大于0小于1，函数单调递减，若，则，故C错误；D．根据对数函数性质可知，当，时，故D错误．故选：AB．11.设函数，则（）A.是偶函数B.是的一个周期C.函数存在无数个零点D.存在，使得【答案】AC【解析】【分析】求出即可判断A项；求出即可判断B项；当时，有，即可说明C项；当时，可求出.进而根据偶函数的性质即可判断D项.【详解】对于A项，定义域为R.又，所以是偶函数，故A项正确；对于B项，，所以不是的一个周期，故B项错误；对于C项，因为时，有，又，所以有无数多个解，所以函数存在无数个零点，故C项正确；对于D项，当时，有，所以.所以有在上恒成立.又，是偶函数，所以，当时，有恒成立，故D项错误.故选：AC.12.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（）A. B.的最大值为2C. D.【答案】ACD【解析】【分析】计算，，代入数据计算A正确，，B错误，计算得到，C正确，根据诱导公式得到D正确，得到答案.【详解】，，对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为（用区间表示）______．【答案】【解析】【分析】根据根式的意义和对数函数的概念可得且，解之即可.【详解】由且，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】确定，，根据单调性得到，解得答案【详解】当时，在区间上不可能单调递增，排除；当时，，则，则，解得；综上所述：故答案为：15.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，且它们的终边关于直线对称，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数平方关系求出，结合商的关系求出，根据对称性可得，即可求解.【详解】由，得，则，因为和的终边关于直线对称点，所以，所以.故答案为：.16.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若1n2是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数a的取值范围为______．【答案】①.3②.【解析】【分析】（1）根据对数函数的概念可得，结合新定义函数可得，解之即可；（2）根据新函数的定义可知当时，有，当时，有，分别得和，结合指数函数的性质和基本不等式即可求解.【详解】由题意知，当时，，由新定义的函数知，，则，有，即，解得；若函数为“函数”，则存在使得，当时，，，即，得，即，得，当且仅当即时等号成立.；当时，，，即，得，当且仅当即时等号成立.所以a的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用指数幂和对数的运算法则计算得到答案.（2）根据诱导公式化简，再利用齐次式计算得到答案.【小问1详解】【小问2详解】18.勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1．（1）求勒洛五边形ABCDE的周长；（2）设正五边形ABCDE外接圆周长为，试比较与大小，并说明理由．（注：）【答案】（1）（2），理由见解析【解析】【分析】（1）先运用正多边形内角和公式求出，再利用三角形内角和公式求出，在中运用正弦定理即可求出的长度，再用弧长公式即可求解；（2）根据正多边形性质与外接圆的性质求出，再利用余弦定理即可求得半径，代入圆的周长公式即可求得外接圆的周长，用作差法即可比较大小.【小问1详解】依题意，因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1，所以，,所以，所以，在中，，，由正弦定理得：，所以，所以劣弧，所以勒洛五边形ABCDE的周长：.【小问2详解】，理由如下：如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆，由（1）知，易得，所以由圆心角与圆周角的关系得：，在中，，，，由余弦定理得：，即，因为，所以，所以，所以，所以正五边形ABCDE外接圆周长为：，因为，所以，所以.19.已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．（1）求函数的单调递增区间；（2）设，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据条件列式求得参数，进而用整体法求单调递增区间即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性解不等式.【小问1详解】由最小正周期为得，由图象经过点得，解得.故.故的单调递增区间为，即【小问2详解】，则，由得，∴，∴∴不等式的解集为.20.地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1700人；当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）．（1）求y关于t的函数表达式；（2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值．【答案】（1）（2）当时有最大值为【解析】【分析】（1）考虑和两种情况，代入数据计算，得到解析式.（2）考虑和两种情况，根据函数的单调性和二次函数性质，分别计算最值，比较得到答案.【小问1详解】当时，，；当时，，且当时，，解得，，，故【小问2详解】当时，，当时有最大值为；当时，，当时有最大值为.综上所述：当时有最大值为.21.已知函数（t，，且）为偶函数．（1）求t和k的值；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）讨论见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数定义列式，化简即可找出t和k的值；（2）将零点问题转化为与两个函数的交点问题，再利用的单调性及其值域求解.【小问1详解】解：因为为偶函数，所以，即，化简得，即，化简得，当时，，即，则；【小问2详解】由（1）知：，即，当时，令，，，当且仅当，即时，等号成立，人去，且，则，因为，所以；又因为，所以，则，即，所以在上单调递增，根据复合函数同增异减性质可知在单调递增，因为为偶函数，所以在单调递减，则.当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点.22.已知函数，且当时，的最大值为．（1）求a的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）整理可得，利用换元法结合二次函数的性质运算求解；（2）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解.【小问1详解】∵，令，则在上的最大值为，且，则，解得，当时，则的开口向下，对称轴为，故当时，取到最大值，则，解得或（舍去），故a的值为2.【小问2详解】由（1）可得：，令，则的开口向下，对称轴为，故当或时，取到最小值，故在上的值域，又∵，则，故，设在上值域为，若对任意的，总存在，使得，则，当时，则，显然不成