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文档简介
2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】.故选:A.2.函数的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理,在为单调递减函数,结合,即可求解.【详解】依题意,函数定义域为,而在为单调递减函数,在为单调递减函数,因为,所以,即所以,,所以,所以由零点存在性定理可知,函数在区间有零点.故选:C.3.函数(且)的图象过定点()A.(0,-2) B.(0,-1) C.(1,-2) D.(1,-1)【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的定义,令即可求解.【详解】依题意,因为(且),所以令,解得:,所以,所以函数(且)的图象过定点.故选:D.4.下列函数中最小正周期为,且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期性与单调性即可求解.【详解】依题意,对于AC,最小正周期为:,所以AC选项不符合题意;对于B:周期为:,且在上单调递增,所以B选项符合题意;对于D:周期为:,且在上单调递减,所以D选项不符合题意;故选:B.5.已知为第二象限角,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题意,得到,,再由同角三角函数基本关系,即可求出结果.【详解】因为是第二象限角,所以,,又,所以,即,得,所以.故选:C.6.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定,,,得到大小关系.【详解】,,,给.故选:A7.物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画:设环境温度为,物体的初始温度是,经过min后物体的温度为,则.现将一杯的热茶放在的房间中冷却,假设经过10min热茶降温到,那么继续降温到还需要的时间约为(结果精确到0.1,参考数据:,)()A.6.4min B.6.6min C.7.4min D.7.6min【答案】C【解析】【分析】带入数据计算得到,得到等式,结合参考数据计算得到答案.【详解】根据题意:,解得,,即,.故选:C8.若在上单调递增,则实数的取值范围为()A. B. C.(1,2) D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性特点列不等式,考虑复合函数单调性,对数函数单调性解不等式即可列不等式求得实数的取值范围.【详解】解:若在上单调递增,则解得,即实数的取值范围为.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数,则()A.的最小正周期为 B.的定义域为C.若,则() D.在其定义域上是增函数【答案】ABC【解析】【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解.【详解】A:,函数的最小正周期为,故A正确;B:由,得,所以函数的定义域为,故B正确;C:,得,解得,故C正确;D:,解得所以函数在上单调递增,故D错误.故选:ABC.10.设正数,且,则()A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据指数函数和对数函数性质判断即可.【详解】A.因为,所以,又因为,故,由此可得,故A正确;B.因,所以,又因为,可得,故B正确;C.根据对数函数性质可知,当底数大于1时,函数单调递增,当底数大于0小于1,函数单调递减,若,则,故C错误;D.根据对数函数性质可知,当,时,故D错误.故选:AB.11.设函数,则()A.是偶函数B.是的一个周期C.函数存在无数个零点D.存在,使得【答案】AC【解析】【分析】求出即可判断A项;求出即可判断B项;当时,有,即可说明C项;当时,可求出.进而根据偶函数的性质即可判断D项.【详解】对于A项,定义域为R.又,所以是偶函数,故A项正确;对于B项,,所以不是的一个周期,故B项错误;对于C项,因为时,有,又,所以有无数多个解,所以函数存在无数个零点,故C项正确;对于D项,当时,有,所以.所以有在上恒成立.又,是偶函数,所以,当时,有恒成立,故D项错误.故选:AC.12.在平面直角坐标系xOy中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,,定义,,则()A. B.的最大值为2C. D.【答案】ACD【解析】【分析】计算,,代入数据计算A正确,,B错误,计算得到,C正确,根据诱导公式得到D正确,得到答案.【详解】,,对选项A:,正确;对选项B:,错误;对选项C:,正确;对选项D:,正确.故选:ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的定义域为(用区间表示)______.【答案】【解析】【分析】根据根式的意义和对数函数的概念可得且,解之即可.【详解】由且,解得,所以函数的定义域为.故答案为:.14.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】确定,,根据单调性得到,解得答案【详解】当时,在区间上不可能单调递增,排除;当时,,则,则,解得;综上所述:故答案为:15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴的非负半轴为始边,且它们的终边关于直线对称,若,则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数平方关系求出,结合商的关系求出,根据对称性可得,即可求解.【详解】由,得,则,因为和的终边关于直线对称点,所以,所以.故答案为:.16.给定函数,若在其定义域内存在使得,则称为“函数”,为该函数的一个“点”.设函数,若1n2是的一个“点”,则实数a的值为______;若为“函数”,则实数a的取值范围为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】(1)根据对数函数的概念可得,结合新定义函数可得,解之即可;(2)根据新函数的定义可知当时,有,当时,有,分别得和,结合指数函数的性质和基本不等式即可求解.【详解】由题意知,当时,,由新定义的函数知,,则,有,即,解得;若函数为“函数”,则存在使得,当时,,,即,得,即,得,当且仅当即时等号成立.;当时,,,即,得,当且仅当即时等号成立.所以a的取值范围为.故答案为:;.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值:(1);(2)已知,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接利用指数幂和对数的运算法则计算得到答案.(2)根据诱导公式化简,再利用齐次式计算得到答案.【小问1详解】【小问2详解】18.勒洛三角形是由19世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的.如图1,以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC.受此启发,某数学兴趣小组绘制了勒洛五边形.如图2,分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径,在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧,五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE.设正五边形ABCDE的边长为1.(1)求勒洛五边形ABCDE的周长;(2)设正五边形ABCDE外接圆周长为,试比较与大小,并说明理由.(注:)【答案】(1)(2),理由见解析【解析】【分析】(1)先运用正多边形内角和公式求出,再利用三角形内角和公式求出,在中运用正弦定理即可求出的长度,再用弧长公式即可求解;(2)根据正多边形性质与外接圆的性质求出,再利用余弦定理即可求得半径,代入圆的周长公式即可求得外接圆的周长,用作差法即可比较大小.【小问1详解】依题意,因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1,所以,,所以,所以,在中,,,由正弦定理得:,所以,所以劣弧,所以勒洛五边形ABCDE的周长:.【小问2详解】,理由如下:如图所示:作出正五边形ABCDE外接圆,由(1)知,易得,所以由圆心角与圆周角的关系得:,在中,,,,由余弦定理得:,即,因为,所以,所以,所以,所以正五边形ABCDE外接圆周长为:,因为,所以,所以.19.已知函数的最小正周期为,且其图象经过点.(1)求函数的单调递增区间;(2)设,求不等式的解集.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先根据条件列式求得参数,进而用整体法求单调递增区间即可;(2)由整体法结合正弦函数的单调性解不等式.【小问1详解】由最小正周期为得,由图象经过点得,解得.故.故的单调递增区间为,即【小问2详解】,则,由得,∴,∴∴不等式的解集为.20.地铁作为城市交通的重要组成部分,以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路,经调研测算,每辆列车的载客量h(单位:人)与发车时间间隔t(单位:分钟,且)有关:当发车时间间隔达到或超过15分钟时,列车均为满载状态,载客量为1700人;当发车时间间隔不超过15分钟时,地铁载客量h与成正比.假设每辆列车的日均车票收入(单位:万元).(1)求y关于t的函数表达式;(2)当发车时间间隔为何值时,每辆列车的日均车票收入最大?并求出该最大值.【答案】(1)(2)当时有最大值为【解析】【分析】(1)考虑和两种情况,代入数据计算,得到解析式.(2)考虑和两种情况,根据函数的单调性和二次函数性质,分别计算最值,比较得到答案.【小问1详解】当时,,;当时,,且当时,,解得,,,故【小问2详解】当时,,当时有最大值为;当时,,当时有最大值为.综上所述:当时有最大值为.21.已知函数(t,,且)为偶函数.(1)求t和k的值;(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)讨论见解析【解析】【分析】(1)根据偶函数定义列式,化简即可找出t和k的值;(2)将零点问题转化为与两个函数的交点问题,再利用的单调性及其值域求解.【小问1详解】解:因为为偶函数,所以,即,化简得,即,化简得,当时,,即,则;【小问2详解】由(1)知:,即,当时,令,,,当且仅当,即时,等号成立,人去,且,则,因为,所以;又因为,所以,则,即,所以在上单调递增,根据复合函数同增异减性质可知在单调递增,因为为偶函数,所以在单调递减,则.当时,没有零点;当时,有一个零点;当时,有两个零点.22.已知函数,且当时,的最大值为.(1)求a的值;(2)设函数,若对任意的,总存在,使得,求实数b的取值范围.【答案】(1)2(2)【解析】【分析】(1)整理可得,利用换元法结合二次函数的性质运算求解;(2)先求值域,根据题意可得值域是值域的子集,分类讨论运算求解.【小问1详解】∵,令,则在上的最大值为,且,则,解得,当时,则的开口向下,对称轴为,故当时,取到最大值,则,解得或(舍去),故a的值为2.【小问2详解】由(1)可得:,令,则的开口向下,对称轴为,故当或时,取到最小值,故在上的值域,又∵,则,故,设在上值域为,若对任意的,总存在,使得,则,当时,则,显然不成
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