【解析】四川省达州市普通高中高三第三次诊断性测试数学试题（理科）

达州市普通高中2020届第三次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合对数函数的性质可得，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：D.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合交集的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.为纯虚数，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】，因为是纯虚数，所以解得，故选A.，命题．p是q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】当时，，故不充分；当时，即，即，所以且或且；故不必要；故选：D【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.展开式中，只有第项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二项展开式中间项的二项式系数最大，得；由二项展开式的通项公式求出展开式的常数项.【详解】因为二项展开式中间项的二项式系数最大，又因为只有第4项的二项式系数最大，得；所以展开式的通项为，令得，所以展开式中的常数项是.故选：C.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项解决有关特殊项问题.属于较易题.中，如果，则（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合三角恒等变换、同角三角函数的平方关系可得，进而可得，再由同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.中，角的对边分别是，，．则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合正弦定理可得，进而可得，再由余弦定理即可得，即可得解.【详解】由可得，所以，又，所以即，所以，在中，，又，所以.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.7.如图，S是圆锥的顶点，是底面圆的直径，，M是线段上的点（不与端点A，S重合），N是底面圆周上的动点，则直线与不能（）A.异面 B.相交 C.平行 D.垂直【答案】C【解析】【分析】由题意结合直线间的位置关系，逐项判断即可得解.【详解】对于A，当N不与、重合时，由异面直线的概念可得直线与异面，故A有可能；对于B，当N与、重合时，直线与相交，故B有可能；对于C，由A、B可知，直线与不能平行，故C不可能；对于D，当N与重合时，直线与垂直，故D有可能.故选：C.【点睛】本题考查了直线间位置关系的判定，关键是对概念的熟练掌握，属于基础题.的焦点到双曲线渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得抛物线的焦点的坐标和双曲线渐近线方程，根据抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是，利用点到直线的距离求解.【详解】抛物线的焦点，不妨设双曲线渐近线方程为，因为抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合分步乘法、排列组合的知识可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯,共有种不同情况；恰有两人在第4楼走出电梯，共有种不同情况；故所求概率.故选：C.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了古典概型概率的求解，属于基础题.中，，，的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相反向量将向量的加法转化为向量的减法，利用向量的减法的模的几何意义求得最小值.【详解】,令，则为直线上的动点，如图所示，当直线时，取得最小值，∵，，∴.故选A.【点睛】本题考查向量线性组合的模的最小值问题，涉及向量的线性运算，相反向量，向量的加法与减法的转化，向量的模的意义，考查数学转化能力和计算能力，属中档题.11.是边长为1的正三角形，多边形是正六边形，平面平面，若六棱锥的所有顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用球的截面的性质：球心在截面圆中的射影是截面的外心，求得球心的位置，利用线面垂直，面面垂直的性质作出有关线段关系的判定，进而计算得到球的半径，然后利用球的表面积公式计算即可.【详解】如图所示，外接球的球心O在底面内的射影为底面中心，在面中的射影为的中心，连接,交于，则为中点，连接，∵平面平面，平面平面，平面,又⊥平面,∴,∴又∴外接球半径,∴球的表面积为,故选：B.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积问题，涉及面面垂直的性质，线面垂直的性质，关键球的截面的性质：球心在截面圆中的射影是截面的外心，考查空间想象能力和逻辑推理能力，计算能力，属中档题.12.如图，函数的图象与它在原点O右侧的第二条对称轴交于点C，A是图象在原点左侧与x轴的第一个交点，点B在图象上，，．则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设函数的最小正周期，，由三角函数的图象与性质可得，由平面向量的知识可得，代入即可得，再由平面向量的数量积可得，即可得解.【详解】设函数的最小正周期，，所以，结合函数的图象可得，则，设，所以，，所以，所以，所以，，，由可得，解得或（舍去），所以.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质及平面向量的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．把答案填在题中的横线上______．【答案】0【解析】【分析】由题意结合分数指数幂的运算、对数运算直接运算即可得解.【详解】由题意.故答案为：.【点睛】本题考查了分数指数幂及对数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.满足约束条件则的最大值是______．【答案】10【解析】【分析】根据满足约束条件，画出可行域，将，变形为，平移直线，当直线在y轴上截距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：将，变形为，平移直线，当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，此时，目标函数取得最大值，最大值为10，故答案为：10【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合思想方法，属于基础题.15.2020年4月16日，某州所有61个社区都有新冠病毒感染确诊病例，第二天该州新增这种病例183例．这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方差和极差5个特征数中，一定变化的是______（写出所有的结果）【答案】平均数【解析】【分析】由题意结合中位数、平均数、众数、方差和极差的概念，逐个检验即可得解.【详解】中位数表示将一组数据有序排列，处于中间位置的那个数或两个数的平均数，该州新增病例183例，但各社区的数据变化不明确，所以中位数不一定发生变化；平均数是一组数据中所有数据之和除以数据的个数，该州新增病例183例，数据之和增加，但数据个数依然为61，所以平均数一定发生变化；众数为一组数据中出现次数最多的数，该州新增病例183例，但各社区的数据变化不明确，所以众数不一定发生变化；方差是各个数据与其平均数的差的平方和的平均数，该州新增病例183例，但各社区的数据变化不明确，所以方差不一定发生变化；极差是一组数据中最大值与最小值的差，该州新增病例183例，但各社区的数据变化不明确，所以极差不一定发生变化.故答案为：平均数.【点睛】本题考查了中位数、平均数、众数、方差和极差概念的应用，牢记概念是解题关键，属于基础题.是奇函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，进而可得，按照、讨论成立情况；当时，转化条件为恒成立，令，求导求得的最大值，令即可得解.【详解】由是奇函数可得，即，所以，当时，，可知此时单调递减，所以，所以恒成立；当时，，所以等价于，令，则，令，则，，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，若要使恒成立，则恒成立，所以即；当，，单调递增，所以恒成立，满足题意；当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，若要使恒成立，则恒成立，所以即；综上所述，实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了奇函数性质的应用及导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．的通项公式为．（1）求写出数列的前6项；（2）求数列前项中所有奇数项和奇与所有偶数项和偶．【答案】（1），，，，，；（2）奇，偶.【解析】【分析】（1）由题意结合数列的通项公式直接代入即可得解；（2）由题意结合数列的通项公式可得，，再利用等差数列、等比数列前n项和公式分别求解即可.【详解】（1）由知：，，，，，．（2）由得，，是首项为，公比为的等比数列，是首项为4，公差为的等差数列，奇，偶．【点睛】本题考查了利用数列的通项求数列的项，考查了等差数列、等比数列的判断及前n项和公式的应用，属于中档题.的坐标分别为，，直线相交于点M，且它们的斜率分别是．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）与圆相切于点的直线l交C于点，点D的坐标是，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点M的坐标为，由题意结合直线的斜率公式可得，化简即可得解；（2）由题意结合直线与圆相切的性质可得切线l的方程为，再结合椭圆的性质即可得解.【详解】（1）设点M的坐标为，由题意得，化简得，所以点M的轨迹C的方程为；（2）由题意圆的圆心为，过切点和圆心的直线的斜率为，切线l的斜率为1，切线l的方程为即，与x轴的交点坐标是，是椭圆C的左焦点．为椭圆C的右焦点，根据椭圆的性质，．【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，考查了直线与圆相切性质的应用及椭圆焦点三角形周长的求解，属于中档题.19.某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城3年建设完成，建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元；湿地公园4年建设完成，建成后的5年每年投入见散点图．公园建成后若年投入x亿元，该年产生的经济净效益为亿元．（1）对湿地公园，请在中选择一个合适模型，求投入额x与投入年份n的回归方程；（2）从建设开始的第10年，若对物流城投入0.25亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高？请说明理由．参考数据及公式：，；当时，，，回归方程中的；回归方程斜率与截距，．【答案】（1）；（2）该年湿地公园产生的年经济净效益高，理由见解析.【解析】【分析】（1）由散点图可得应该选择模型，令，代入公式可得、，即可得投入额x与投入年份n的回归方程；（2）由题意将代入即可得物流城第10年的年经济净效益；由回归方程可预测湿地公园第10年的投入，进而可得湿地公园第10年的经济净效益；比较大小即可得解.【详解】（1）根据散点图，应该选择模型，令，则，，故所求回归方程是即；（2）由题意，物流城第10年的年经济净效益为（亿元）；湿地公园第10年的投入约为（亿元），该年的经济净效益为（亿元）；因为，所以该年湿地公园产生的年经济净效益高．【点睛】本题考查了非线性回归方程的求解与应用，考查了运算求解能力，熟练使用公式、细心计算是解题关键，属于中档题.M，N是平面两侧的点，三棱锥所有棱长是2，，，如图．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取线段中点D，分别连结，由平面几何的知识、线面垂直的判定平面，平面，进而可得平面与平面重合，再由平面几何的知识可得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；（2）取线段的中点O，连结，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，再由即可得解.【详解】（1）证明：取线段中点D，分别连结，由条件得，，，，，与是平面内两相交直线，与是平面内两相交直线，平面，平面，平面与平面重合，，，四边形是平行四边形，即．平面，平面，平面；（2）取线段的中点O，连结，由（1）知，平面，，，，，，又，平面，、、两两垂直，以过O平行的直线为x轴，分别以直线为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，设平面的一个法向量，，不妨取，得，又平面的一个法向量，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦为．【点睛】本题考查了线面平行的判定及线面垂直的判定及性质，考查了利用空间向量求二面角及运算求解能力，属于中档题.21.（1）求证：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，求导后可得函数的单调性，进而可得，即可得证；（2）由题意转化条件可得，设，求导后可得函数的单调区间和极值，再根据、或、分类，求得的取值范围即可得解.【详解】（1）证明：设，则，当时，，单调递增，当时，．所以当时，；（2）函数的定义域为，由得，设，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有极小值，且极小．当时，；当或时，，所以对，当或时，都有，所以当，，当时，；当时，由（1）得．所以对，当时，都有，所以当时，；综上所述，实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理构造新函数、转化条件是解题关键，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修44：坐标系