第7.4.1讲二项分布-2023-2024学年新高二数学宝典（人教A版2019选修第三册）

第七章随机变量及其分布第7.4.1讲二项分布班级_______姓名_______组号_______1．通过具体实例，了解n重伯努利试验和二项分布的概念．2．会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差．3．能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题．1、利用二项分布求分布列2、服从二项分布的概率最大问题3、二项分布的简单应用一、n重伯努利试验n重伯努利试验(1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．(2)n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(3)n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up12(k),\s\do4(n))pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．题型1、利用二项分布求分布列1．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据二项分布的概率公式来解.【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.故选：B.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】因为，所以．故选：B3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则A． B． C． D．【答案】D【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,,选择D答案．【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列：，．如果为数列的前n项和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出每次摸球摸到红球的概率为，根据已知可知.然后分析得出摸到红球的个数，即可根据二项分布的概率，求出答案.【详解】由已知可知，每次摸球摸到红球的概率为，则次摸球中，取到白球的次数服从二项分布，即.由可知，前7次摸到5次白球，2次红球，即，.所以，的概率是.故选：B.5．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（

）A．，5 B．，10 C．，5 D．，10【答案】B【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可.【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,门大炮总得分的期望值为，，故选：B.n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下重复进行；(2)每次试验相互独立，互不影响；(3)每次试验都只有两种结果(每种结果发生的概率稳定)，即事件发生或不发生.题型2、服从二项分布的概率最大问题6．如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（

）A．3 B．4C．4或5 D．3或4【答案】D【分析】利用做商法比较大小，，得．即可得出结论．【详解】解：，得．所以当时，，当时，，其中时，，从而或4时，取得最大值，故选：D7．若，则取得最大值时，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【分析】根据二项分布的概率公式得到，再根据组合数的性质判断即可；【详解】解：因为，所以，由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以；故选：D8．掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为，若，则当取最大值时，k为（

）A．3 B．4 C．8 D．10【答案】A【分析】由题意可知出现的点数，根据二项分布求解即可.【详解】掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X，则，当时，，；当时，，.因此当时，取最大值.故选：A9．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4【答案】B【分析】求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案.【详解】解：，则，得，所以当时，，当时，，从而时，取得最大值．故选：B．10．若，则当，1，2，…，100时（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【详解】解：由题意得：即，化简得：，又k为整数,可得,所以，故选：C．利用二项分布求概率的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．题型3、二项分布的简单应用11．在足球比赛中，扑点球的难度般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断服从二项分布，再利用二项分布的方差公式计算可得.【详解】由题意，门将每次扑出点球的概率为：,若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且，所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：.故选：A12．甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响．若采取“5局3胜制”，则概率最大的比赛结果是（

）A．乙赢得比赛 B．甲赢得比赛C．甲赢得比赛 D．甲赢得比赛【答案】C【分析】根据二项分布的概率公式一一计算比较大小即可.【详解】若乙赢得比赛，即乙前四场赢两场，第五场赢，故其概率为：；同理若甲赢得比赛，其概率为：；若甲赢得比赛，即甲前三场都赢，其概率为：；若甲赢得比赛，即甲前三场赢两场，第四场赢，其概率为：，综上甲赢得比赛，其概率最大.故选：C13．计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，X的均值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得到，利用二项分布求期望公式求出答案.【详解】X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8，且的值即为1出现的次数，故，所以.故选：C14．“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设知小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.【详解】由题设知：小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，∴小华经过三局获胜的概率为.故选：C.15．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.【详解】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为，有三天出现大潮概率为，所以至少有两天出现大潮的概率为，故选：A.一、单选题1．已知随机变量，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二项分布的方差公式计算.【详解】随机变量，则.故选：A2．随机变量服从二项分布：，则它的期望（

）A．0.5 B．2.5 C．5 D．10【答案】C【分析】利用二项分布的期望公式直接计算即可得解.【详解】因为随机变量服从二项分布：，则它的期望.故选：C.3．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可先求出摸球一次中奖的概率，再由二项分布可得结果.【详解】依题意设摸球一次中奖的概率为，则，所以摸球三次仅中奖一次的概率为.故选：A.4．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104【答案】A【分析】分析知这是二项分布，3重伯努利试验.【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为.故选：A5．若，则等于A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二项分布的性质，可得结论．【详解】，，故选：A．6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前和，那么的概率为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.【详解】第次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，若，则中，有个和个，所以的概率为.故选：B7．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.故选：C.8．甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设每次甲胜的概率为p，根据甲至少取胜一次的概率为，结合对立事件的概率计算求出p的值，继而利用二项分布的概率公式，即可求得答案.【详解】假设甲取胜为事件A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次数，则有，得，则事件A恰好发生一次的概率为，故选：C.9．甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据进行分类讨论，结合独立重复试验概率计算公式求得正确答案.【详解】解：根据题意，甲获胜包括三种情况，即.若甲获胜，则概率为；若甲获胜，则概率为；若甲获胜，则概率为；所以甲胜的概率为.故选：D10．口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，再根据二项分布的概率，即可求出答案.【详解】由题意，每次摸到白球的概率为，每次摸到红球的概率为，表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，则的概率是.故选：A.二、多选题11．若随机变量，下列说法中正确的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】AC【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.【详解】因为随机变量，则，，，由期望的性质可得，由方差的性质可得，AC对，BD错.故选：AC.12．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（

）A．若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则【答案】BCD【分析】A选项，选一个白球，一个黑球，利用古典概型求解；B选项，分从甲盒取出的是白球和从乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C选项，设抽到白球个数为，则，利用二项分布求概率公式求解；D选项，分从甲盒中取出1球为黑球和白球两种情况的概率，相加即可求解.【详解】A选项，由题意得，故错误；B选项，由题意得取出1个白球的概率为，故正确；C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为，则，则恰好得到2个白球的概率为，故正确；D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，故，故正确.故选：BCD三、填空题13．某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则．【答案】10【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再由与的关系求得即可.【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，即，所以，又因为，所以.故答案为：10.14．设随机变量服从二项分布，且，则.【答案】/【分析】根据题意，结合二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，随机变量服从二项分布，且，可得，可得，解得.故答案为：.四、解答题15．袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.(1)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；(2)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的