2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷

机密★启用前2023-2024学年九年级第一学期期末测试数学选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．134 B．4 C．−1542．甲、乙两名同学在-次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示．符合这一结果的试验可能是（）A．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取-球，取到红球的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率3．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（）.A．25π3 B．12π C．234题3图题4图4．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（）A．64° B．58° C．68° D．55°5．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定6．已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限7．若A(−4，y1)，B(−3，y2)，C(1，y3)为二次函数y=A．y1<y2<y3 B．8．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C． D．9．如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−8x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD=2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则A．5 B．6 C．7 D．810．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝3：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O.下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB·EF；③PF·EF＝2AD2；④EF·EP＝4AO·PO.其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．③④题14图题13图题10图题9图题14图题13图题10图题9图填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同，在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数，同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%，由此推测口袋中黄球的个数是12．在平面直角坐标系中，点(−2，3)关于原点对称的点的坐标是．13．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，连接AE、DE．以E为圆心，BE长为半径画弧，分别与AE，DE交于点F，G．向该矩形ABCD游戏板随机发射一枚飞针，则击中图中阴影部分区域的概率为．14．如图，直线y=mx+n与抛物线y=x2+bx+c交于，两点，其中点A(2，−3)，点B(515．如图，两个反比例函数y=kx和y=3x在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点在C1上，PC⊥x轴于点，交C2于点，PD⊥y轴于点，交16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与边AC交于点D.若tanA=34，AD=2，则17．在△ABC中，∠ABC=60°，AD是BC边上的高，AD=43，CD=1，则△ABC的面积为三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．18（1）先化简，再求值：3x−6x2因式分解：419．某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/(kg)与销售单价x（元销售单价x（元/kg12…10每日销售量（kg）19004800…4000经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg，设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（1）求y与x的函数关系式；w与x的函数关系式．（2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？（3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a<4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a20．如图，在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点作CD⊥AC交AB于点．（1）尺规作图：作AD的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O（2）在（1）所作的图形中，

①求证：BC是⊙O的切线；②若⊙O的半径为3，问线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2（1）当a=1时，求抛物线的顶点坐标；（2）当a>0时，设抛物线与轴交于，两点点在点左侧，顶点为，若△ABC为等边三角形，求的值；（3）过T(0，t)(其中−1≤t≤2且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点.若对于满足条件的任意t值，线段MN22．在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点，使AE=AB，连结CE，过点作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点．猜想：如图①，当点F在边AB上时，写出线段AF与DE的大小关系。探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．应用：如图②，若AB=2 ，  AD=5 ，  利用探究得到的结论，求线段BG的长．23．从2021年秋季开学以来，全国各地中小学都开始实行了“双减政策”．为了解家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1200名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调直评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）本次抽取家长共有人，扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是；（2）估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有多少人?（3）学校计划从“了解较少”的家长中抽取1位初一学生家长，1位初二学生家长，2位初三学生家长参加培训，若从这4位家长中随机选取两人作为代表，请通过列表或面树状图的方法求所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．24．如图所示，在Rt△ABC中，AC=CB，E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB于点Q，D.（1）如图甲所示，若D为AB的中点，求证：∠DEF=∠B.（2）在第(1)题的条件下，请回答下列问题：①如图乙所示，连结CD，交EF于点H，AC=4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长；②如图乙所示，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED=3，求△CED与△ECF的面积之比.(直接写出答25．如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴与轴上，直线AB的解析式为y=−34x+3，以线段AB、BC（1）如图1，若点C的坐标为(3，7)，判断四边形（2）如图2，在(1)的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．①当∠CBP=▲°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；②连接AQ，DQ，设CP=x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD=90°时，求证：QE=DE，并求出此时x的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】2412．【答案】（2，-3）13．【答案】4−π14．【答案】2<x<515．【答案】816．【答案】217．【答案】103或18．【答案】（1）解：3x−6x=3(x−2)=3=2∵x=2tan∴原式=2（2）解：4=4(=4(m−2)19．【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A∴m=3a=−3，a=−1∴B(3，−1)，∴反比例函数的表达式为y=−3x把A(−1，3)，B(3，−1)代入y=kx+b得−k+b=33k+b=−1，∴k=−1b=2，∴一次函数的表达式为为y=−x+2（2）解：根据图象得，不等式kx+b>mx的解集为x<−1或0<x<3；（3）解：如图，设一次函数y=−x+2交x轴于D，则D(2，0)，∴OD=2∴SΔAOB=SΔAOD+SΔBOD=12OD⋅|yA|+12OD⋅|yB|=12×2×3+12×2×1=420．【答案】（1）解：如图1，⊙O为所求作的图形（2）解：①证明：如图2，连接OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，在△ABC中，∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，∴∠OCB=90°，∴CO⊥BC，∴BC是⊙O的切线；②解：由①知，∠COD=60°，∵CO=DO=3∴∠ODC=60°，∵∠B=30°，∴∠BCD=∠ADC−∠B=30°=∠B，∴CD=BD=3∴OD=BD，由①知，∠OCB=90°，以，，为顶点的三角形与△BCO相似，当∠BPD=∠BCO=90°，∴DP//∵OD=BD，∴PD=1当∠BDP=90°时，在Rt△BDP中，∠B=30°，BD=3∴DP=1即：满足条件的DP的长为3221．【答案】（1）解：∵y=ax当a=1时，抛物线的顶点坐标为(2（2）解：依照题意，画出图形，如图1所示．当y=0时，ax解得：x1=1，由Ⅰ可知，顶点的坐标为(2，∵a>0，∴−a<0．∵△ABC为等边三角形，BC=AB=2，∴DC=BCsin60°=3点的坐标为(2，∴−a=−3∴a=3（3）解：分两种情况考虑，如图2所示：∵MN≥1，设M在对称轴左边，当MN=1时，xM①当a>0时，t=−1，∴a(3解得：a≥4②当a<0时，t=2，∴a(3解得：a≤−8综上，当a>0时，a≥43；当a<0时，22．【答案】解：猜想：AF=DE探究：AF=DE证明：∵EF⊥CE∴∠CEF=90°∴∠1+∠2=90°∵四边形ABCD为矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵AE=AB,∴AE=DC∴△AEF≌△DCE∴AF=DE应用：∵AF=DE=AD-AE=5-2=3∴BF=AF-AB=3-2=1在矩形ABCD中，AD∥BC∴△FBG∽△FAE∴BG即BG∴BG=．23．【答案】（1）120；54°（2）解：样本中“非常了解”和“了解较多”的家长共有120−18−12=90（人），∴1200×90答：此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有900人．（3）解：记抽取初一的为A1，初二的为A2，初三的两人为A3AAAAA(A2(A3(A4A(A1(A3(A4A(A1(A2(A4A(A1(A2(A3共有12种等可能的结果，恰好抽到初一、初二家长各1名的有6种，则恰好抽到初一、初二家长各1名的概率P=21224．【答案】（1）证明：连结CD，如图，

在Rt△ABC中，

∵AC=CB，

∴∠A=∠B=45°，

∵点D是Rt△ACB斜边的中点，

∴CD=BD，

∴∠DCB=∠B=45°，

∵∠DCF=∠DEF，

∴∠DEF=∠B；（2）解：①如图甲所示，当EH=HD时，

∵∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠EDH=45°，

∴∠DCF=∠DEF=45°，∠EDH=∠EFC=45°，∠EHD=90°，

∴∠CEF=∠CDF=45°，

∴∠CED=∠EDF=∠ECF=90°，

∴四边形CEDF是矩形，

又∵∠EHD=90°，

∴矩形CEDF是正方形，

∴ED∥BC，又点D是AB的中点，

∴ED是△ABC的中位线，

∴CF=CE=AC=2；

如图乙所示，EH=ED时，∠EDH=∠EHD=67.5°，

∵∠EDF=∠CDB=90°，

∴∠EDH=∠BDF=67.5°，∠BFD=180°-45°-67.5°=67.5°，

即∠BDF=∠BFD，

∴BD=BF，

∵AC=BC=4，∠ACB=90°，

∴AB=42，

∴BD=BF=22，CF=4−22如图丙所示，当DA=FH时，点E与点A重合，点H与点C重合，CF=0；

综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4−22②.25．【答案】（1）解：四边形ABCD是正方形，理由如下：过作CH⊥y轴于，如图：在y=−34x+3中，令x=0得y=3，令y=0∴A(4，0)，∴OA=4，OB=3，AB=4∵C(3，∴BH=OH−BO=4，CH=3，∴OB=CH=3，OA=BH=4，在△AOB和△BHC中，OB=CH∠AOB=∠BHC∴△AOB≌△BHC(SAS)，∴AB=BC，∠ABO=∠BCH，∵∠BCH+∠HBC=90°，∴∠ABO+∠HBC=90°，∴∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形；（2）①30②如图：∵∠AQ