北京市和平街一中学2024年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

北京市和平街一中学2024年中考数学最后冲刺模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列因式分解正确的是（）A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2C．a3-4a2=a2（a-4） D．1-4x2=（1+4x）（1-4x）2．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A． B． C． D．3．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°4．如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（）A． B． C． D．5．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是（）A． B． C． D．6．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，则不等式的解集为（）A．x＞2 B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞47．在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动一个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处……，如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，……，则x1+x2+……+x2018+x2019的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．20198．下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×510．点A（a，3）与点B（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2017的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．72017二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是_____．12．如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=70°,AB=AC,则∠ABC=__.

13．分解因式：__________．14．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为_____．16．函数中自变量x的取值范围是_____；函数中自变量x的取值范围是______．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值.18．（8分）如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53°,从点测得点的俯角为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:19．（8分）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点距守门员多少米？（取）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．（1）求证：CF＝DF；（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．21．（8分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．22．（10分）如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．（12分）尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．已知：如图，线段a，h．求作：△ABC，使AB=AC，且∠BAC=∠α，高AD=h．24．问题探究(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为；(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】

试题分析：A、B无法进行因式分解；C正确；D、原式=（1+2x）（1－2x）故选C，考点：因式分解【详解】请在此输入详解！2、C【解析】

由图形可知：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1=.【详解】第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+(n+1)=个.【点睛】本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据图形的变化找出规律.3、C【解析】

由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，∴∠ACD＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝70°，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．4、B【解析】主视图是从正面看得到的视图，从正面看上面圆锥看见的是：三角形，下面两个正方体看见的是两个正方形．故选B．5、D【解析】

画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】画树状图如下：一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况，因此两个球中至少有一个红球的概率是：．故选：D．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6、C【解析】

看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x＜4，故选C．【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．7、C【解析】

根据各点横坐标数据得出规律,进而得出x+x+…+x;经过观察分析可得每4个数的和为2,把2019个数分为505组,即可得到相应结果.【详解】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8的值分别为：1，﹣1，﹣1，3，3，﹣3，﹣3，5；∴x1+x2+…+x7＝﹣1∵x1+x2+x3+x4＝1﹣1﹣1+3＝2；x5+x6+x7+x8＝3﹣3﹣3+5＝2；…x97+x98+x99+x100＝2…∴x1+x2+…+x2016＝2×（2016÷4）＝1．而x2017、x2018、x2019的值分别为：1009、﹣1009、﹣1009，∴x2017+x2018+x2019＝﹣1009，∴x1+x2+…+x2018+x2019＝1﹣1009＝﹣1，故选C．【点睛】此题主要考查规律型:点的坐标，解题关键在于找到其规律8、C【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C．【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．9、D【解析】试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2x"宽=5+2x∴矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为(7+2X)(5+2X)=3×7×5考点：列方程点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．10、B【解析】

根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：由题意，得a=-4，b=1．（a+b）2017=（-1）2017=-1，故选B．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数得出a，b是解题关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、8【解析】试题分析：过B点作于点，与交于点，根据三角形两边之和小于第三边，可知的最小值是线的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．过B点作于点，与交于点，设AF=x，，，，（负值舍去）．故BD＋DE的值是8故答案为8考点：轴对称-最短路线问题．12、35°【解析】试题分析：∵∠AOB=70°，∴∠C=∠AOB=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=35°．故答案为35°．考点：圆周角定理．13、3（m-1）2【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3m2-6m+3=3（m2-2m+1）=3（m-1）2.故答案为：3（m-1）2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.14、1【解析】

根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【详解】由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．15、【解析】【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．【详解】如图，连接OE、AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE==，故答案为．【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键．16、x≠2x≥3【解析】

根据分式的意义和二次根式的意义，分别求解．【详解】解：根据分式的意义得2-x≠0，解得x≠2；根据二次根式的意义得2x-6≥0，解得x≥3.故答案为:x≠2,x≥3.【点睛】数自变量的范围一般从几个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）;（2）P（1，）;（3）3或5.【解析】

（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式.（2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G,由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标.（3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）∴，解得,∴抛物线解析式为,（2）,∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G,∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴,∴，∴,，∴P（1，）,（3）设新抛物线的表达式为则,，DE=2过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF∴，∴FH=1.点D在y轴的正半轴上，则，∴,∴，∴m=3,点D在y轴的负半轴上，则，∴,∴，∴m=5,∴综上所述m的值为3或5.【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键.18、建筑物的高度为.建筑物的高度为.【解析】分析：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决问题．详解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，在Rt△ABC中，tan53°==，∴AB=80（m）．在Rt△ADE中，tan37°==，∴AE=45（m），∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19、（1）（或）（2）足球第一次落地距守门员约13米．（3）他应再向前跑17米．【解析】

（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得解得x的值即可知道CD、BD．【详解】解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为由已知：当时即表达式为（或）（2）令（舍去）．足球第一次落地距守门员约13米．（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）解得（米）．答：他应再向前跑17米．20、（1）详见解析；（2）OF＝．【解析】

（1）连接OC，如图，根据切线的性质得∠1+∠3=90°，则可证明∠3=∠4，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵CF为切线，∴OC⊥CF，∴∠1+∠3＝90°，∵BM⊥AB，∴∠2+∠4＝90°，∵OC＝OB，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠5，∴CF＝DF；（2）在Rt△ABC中，AC＝＝8，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ABD，∴，即，∴AD＝，∵∠3＝∠4，∴FC＝FB，而FC＝FD，∴FD＝FB，而BO＝AO，∴OF为△ABD的中位线，∴OF＝AD＝．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．21、（1）sinB＝；（2）DE＝1．【解析】

（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得,求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；【详解】（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB==3，∴sinB==．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴，∴，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE==1．考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.22、（1）y=﹣x2+2x+1；（2）P（2，1）或（，）；（1）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q1（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）.【解析】

(1)根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=1OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．（2）求出点C关于对称轴的对称点，求出两点间的距离与CD相比较可知，PC不可能与CD相等，因此要分两种情况讨论：①CD=PD，根据抛物线的对称性可知，C点关于抛物线对称轴的对称点满足P点的要求，坐标易求得；②PD=PC，可设出点P的坐标，然后表示出PC、PD的长，根据它们的等量关系列式求出点P的坐标．（1）此题要分三种情况讨论：①点Q是直角顶点，那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点，由此求得点Q的坐标；②M、N在x轴上方，且以N为直角顶点时，可设出点N的坐标，根据抛物线的对称性可知MN正好等于抛物线对称轴到N点距离的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，则QN=MN，由此可表示出点N的纵坐标，联立抛物线的解析式，即可得到关于N点横坐标的方程，从而求得点Q的坐标；根据抛物线的对称性知：Q关于抛物线的对称点也符合题意；③M、N在x轴下方，且以N为直角顶点时，方法同②．【详解】解:（1）由y=ax2﹣2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（1，0）可得A（﹣1，0）；∵OC=1OA，∴C（0，1）；依题意有：，解得；∴y=﹣x2+2x+1．（2）存在．①DC=DP时，由C点（0，1）和x=1可得对称点为P（2，1）；设P2（x，y），∵C（0，1），P（2，1），∴CP=2，∵D（1，4），∴CD=＜2，②由①此时CD⊥PD，根据垂线段最短可得，PC不可能与CD相等；②PC=PD时，∵CP22=（1﹣y）2+x2，DP22=（x﹣1）2+（4﹣y）2∴（1﹣y）2+x2=（x﹣1）2+（4﹣y）2将y=﹣x2+2x+1代入可得：，∴；∴P2（，）．综上所述，P（2，1）或（，）．（1）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q1（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）；①若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1（1，0）；②若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时；设Q2（x，0）（x＜1），∴MN=2Q1O2=2（1﹣x），∵△Q2MN为等腰直角三角形；∴y=2（1﹣x）即﹣x2+2x+1=2（1﹣x）；∵x＜1，∴Q2（，0）；由对称性可得Q1（，0）；③若N是直角顶点，且M、N在x轴下方时；同理设Q4（x，y），（x＜1）∴Q1Q4=1﹣x，而Q4N=2（Q1Q4），∵y为负，∴﹣y=2（1﹣x），∴﹣（﹣x2+2x+1）=2（1﹣x），∵x＜1，∴x=﹣，∴Q4（-，0）；由对称性可得Q5（+2，0）．【点睛】本题考查了二次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握二次函数相关知识点.23、见解析【解析】

作∠CAB=∠α，再作∠CAB的平分线，在角平分线上截取AD=h，可得点D，过点D作AD的垂线，从而得出△ABC．【详解】解：如图所示，△ABC即为所求．【点睛】考查作图-复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰三角