高中数学全部教案新人教A版选修1-1

1.2充分条件和必要条件（1）

【教学目标】

1.从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义;

2.结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法;

3.培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识.

【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断.

【教学过程】

一、复习回顾

1.命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则G

2.四种命题及相互关系：

3.请判断下列命题的真假：

(1)若x=y,则x?=J，？；(2)若f=J,则>；

(3)若x〉l,贝ijx?>1;(4)若x2>1,贝Ux〉l

二、讲授新课

1.推断符号“n”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真，即如果p成立，那么q一定成立,记作：“pnq”；

如果“若p,则q”为假，即如果p成立，那么q不一定成立,记作：“p»令”.

用推断符号"=和》"写出下歹!］命题：（1）若a>b,贝ijac>be；（2港a>b,贝ija+c>b+c；

2.充分条件与必要条件

一般地，如果pnq,那么称P是0的充分条件；同时称0是0的必要条件.

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“p=4”表示有p必有q，所以P是°的充分条件，这点容易理解.但

同时说g是。的必要条件是为什么呢？g是0的必要条件说明没有q就没有p,夕是p成立

的必不可少的条件，但有q未必一定有p.

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.它

符合上述的“若p则/为真（即png）的形式.“有之必成立，无之未必不成

立.

必要性：必要就是必须，必不可少.它满足上述的“若非夕则非0”为真（即「夕=”）的

形式.“有之未必成立，无之必不成立”.

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即p=>q且qnp；

（2）充分不必要条件，即pnq且q»p；

（3）必要不充分条件，即且qnp；

（4）既不充分又不必要条件，即〃及4且q»p.

3.从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,8为两个集合，集合A=8是指

xeA=>xeB.这就是说，“xeA”是“xeB”的充分条件，“xw5”是“xwA”

的必要条件。对于真命题“若P则即pnq,若把。看做集合A,把g看做集合B,

“png”相当于“A=

(2)借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A,*泡B亮”

为结论B,可用图1、图2来表示A是6的充分条件，A是8的必要条件。

ACB

1£-o

Hd

Mi|i------

图4

(3)回答下列问题中的条件与结论之间的关系:

⑴若a>b,则a+c>b+c：

⑵若x20,则£20：

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等.

三、例题

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件.

(Dp：x—1=0,<j：(x—l)(x+2)=0;

⑵P：两直线平行，3内错角相等；

(3)p：a>b,<7：a'>b:；

(4)p：四边形的四条边相等，q-.四边形是正方形.

四、课堂练习

课本P8练习1、2、3

五、课堂小结

1.充分条件的意义；

2.必要条件的意义.

六、课后作业：

1.2充分条件和必要条件(2)

［教学目标］:

1.进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念;

2.掌握判断命题的条件的充要性的方法；

［教学重点、难点］:

理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断.

［教学过程］:

一、复习回顾

•般地，如果已知png,那么我们就说P是q成立的充分条件，q是P的必要条件

⑴"a>b>c"是"(〃-力)伍-c)(c-a)<0"的充分不必要条件.

⑵若a、b都是实数，从①">0：®a+b>Oi®ab=O；®a+b=O；⑤/+必>0：⑥

/+/=0中选出使a、b都不为0的充分条件是①②⑤.

二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的

策略，灵活判断.下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题.

1.要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知。：x+yw-2；(?：x、y不都是-1,〃是g的什么条件？

分析：要考虑。是。的什么条件，就是判断“若。则/及“若。则。”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若O则/的逆否命题是“若x、y都是-1,则x+y=-2”真的

“若g贝Up”的逆否命题是"若x+y=-2,则x、y都是-1”假的

故P是4的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手.

练习：已知Rx>2或q：x>2或x<-l,则「〃是「q的什么条件？

、2

去：-ip:§4x42-!«:-14x42

显然「p是「4的的充分不必要条件

方法二：要考虑「p是「q的什么条件，就是判断“若『则”及“若「q则力”的

真假性

“若「p则「g”等价于“若q则p”真的

“若M则「p”等价于“若。则°”假的

故「p是的的充分不必要条件

2.要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若"是/V的充分不必要条件，N是P的充要条件，0是P的必要不充分条件，则〃

是0的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性MnNoPn。显然〃是。的充分不必要条件

3.充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x的一元二次不等式ax?+1于一切实数x都成立的充要条件

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

。w0

由题可知等价于a=0或曰/>0=a=00<a<4o04a<4

A<0

4.充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x、yeR,孙=0是片+y?=0的必要不充分条件.

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分

条件

必要性：对于x、yeR,如果r+y=O

贝jix=0,y=0即个=0

故町=0是£+V=o的必要条件

不充分性：对于x、yeR,如果冲=0,如x=0,y=\,此时d+y、。

故町=0是Y+y2=0的不充分条件

综上所述：对于x、yeR.xy=0是犬+y2=o的必要不充分条件.

例5：p：-2<x<10；q：1-/7Z<x<1+zn(>n>0).若->p是的必要不充分条件，求

实数加的取值范围.

解：由于「p是「q的必要不充分条件，则p是。的充分不必要条件

1-/«<-2

于是有m>9

10<1+m

三、练习：

1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命

题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件.（必要不充分的条件）

2.对于实数x、y,判断“x+yW8”是“xW2或yW6”的什么条件.（充分不必要条件）

3.已知abwO,求证：a+b=l的充要条件是：a'+b'+a~h'-b2=0.

1.2《充分条件与必要条件》说课教案

一、背景分析

1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条

件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学

习打下基础。

在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”

的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）

第一章中“简易逻辑”的第三节。除了教学位置的前移之外，新教材

中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。在“充要条件”

这节内容前，还安排了“逻辑联结词"和'‘四种命题”这二节内容作

为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入

中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化

对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学

习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富,逻辑思维能力的训练不够充

分，这也为教师的教学带来•定的困难.因此，新教材在第•章的小结与

复习中，把学生的学习要求规定为''初步掌握充要条件”（注意：新教学

大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的.由

此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步

到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步

发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件，必要条件和充要条件三个概念，由于这些概

念比较抽象，中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难，因此”充要条

件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.

根据多年教学实践，学生对“充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都

难以理解.对于“B=>A"，称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎

么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B,根据定义判断A=〉B与B=>A是否成立。教学中，要强调先找出A、B,

否则，学生可能会对必要条件难以理解。

二、教学目标设计：

（一）知识目标：

1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。

（二）能力目标：

1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规

律。

3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建

构于自己的知识体系中。

（三）情感目标：

1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。

2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观

点。

3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审

视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的

兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

三、教学结构设计：

数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重

把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到生活的原型。我对本

节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”，在教学方法上采用了“合作一一探索”的

开放式教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学

知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化的发展。

整体思路为：教师创设情境，激发兴趣，引出课题f引导学生分析实例，给出定义一例题

分析(采用开放式教学)-＞知识小结—扩展例题一练习反馈

整个教学设计的主要特色：(1)由生活事例引出课题；

(2)例1采用开放式教学模式；

(3)扩展例题2是分析生活中的名言名句，又将数学融入

生活中。

努力做到：”教为不教，学为会学”；要“授之以鱼”更要“授之以渔”。

四、教学媒体设计：

本节课是概念课，要避免单一•的下定义作练习模式，应该努力使课堂元素更为丰富.这

节课，我借助了多媒体课件，配合教学，添加了一些与例题相匹配的图片背景，以激发学生

的学习兴趣，另外将学生的自编题利用多媒体课件展示出来分析，提高了课堂教学的效率。

五、教学过程设计：

第一，创设情境，激发兴趣，引出课题：

考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，为了让学生更易接受这一节内容，我利

用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的知识分析，事例中包

括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。

我用的第一个事例是：“做一件衬衫，需用布料，到布店去买，问营业员应该买多少？

他说买3米足够了。”这样，就产生了“3米布料”与“做一件衬衫够不够”的关系。用这

个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件的定义。这里要强调该事件包括：A：有

3米布料；B：做一件衬衫够了。

第二个事例是：“一人病重，呼吸困难，急诊住院接氧气。”就产生了“氧气”与“活

命与否”的关系。用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必要条件的定义。这里要

强调该事件包括：A：接氧气；B：活了。

用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，

有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。

第二，引导学生分析实例，给出定义。

在第一部分激发起学生的学习兴趣后，紧接着开展第二部分，引导学生分析实例，让学

生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。在引导过

程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。

得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知

识来加强对必要条件定义的理解。（用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”）可记

作：BnA。

还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。这里，

只要一下子“定义”清楚了，下边再解释A是B的必要条件”是怎么回事。这

样处理，学生更容易接受“必要”二字。（因无A则无B,故欲有B,A是必要的）。

当两个定义分别给出后，我又对它们之间的区别加以分析说明，（充分条件可能会有多

余，浪费，必要条件可能还不足（以使事件B成立））从而顺理成章地引出充要条件的定义

（既是必要条件，又是充分条件，就称为充分必要条件，简称充要条件，记作：A=8。

（不多不少，恰到好处）。使学生在此先对两个充分条件和必要条件两个概念的不同有了第

一次的认识，第三部分再利用具体的数学事例来强化。

第三，例题分析：

例1采用开放式教学，课前请学生在预习的基础上，以学习小组为单位，在尽可能广泛

的知识范畴中，课外编制关于充分条件、必要条件的命题。教师借助实物投影仪，在课上有

目标地选择三组通过组合的学生自编题原文出示，通过学生口答，引导讨论，质疑解惑，在

“开放”的情景中推进教学过程，在点评“聚焦”中形成知识要义，从而发展学生思维。由

于时间关系，对没有选到课堂上讲评的其他学生自编题，另汇编成课后作'也，继续学习讨论,

这样一来，能最大限度的发挥学生的积极性和保持他们参与教学研究的热情。

在分析各组题时都注意，让学生先养成找出A、B的习惯，以使学生突破学习难点：

“A=>B"，称B是A的必要条件,这里最好能让学生避免将A、B理解成条件和结论，否则学

生就可能会有这样的想法："B本是A推出的结论，怎么又变成条件了呢？”。

选的第一组题，旨在对“充分条件”、“必要条件”、概念的复习巩固，选题的难度控

制在极大部分学生能接受的范围程度，除第4小题对不等式符号的处理需要教师略加点拨

外，其余学生均能自行解答。命题内容涉及几何、代数较广泛领域，也包括初学的“集合”

知识，达到预期目标。

［第一组题：（1）"。力£/?+"是的（充分不必要）条件。

（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。

（3）“设集合八={曰尤>3},B={xlx<4}”，则“xeA”或“xeB"是"xeACB”

的（必要不充分）条件。

（4）"。240"是"040"的（必要不充分）条件。］

b--------------

选的第二组题，旨在加强学生思维的灵活性、辩析深刻性。编题者与答题者答案不尽相

同，可以形成开放性求解研究的趣味，在选择比较答案的过程中，加深对数学实质内涵的认

识女睇⑵小题，学生提出三个不同答案：⑴。〉0且〃>0；⑵a〉0,b<0且网〉网；

（3）。=3且6=-1。紧扣概念，教师引导分析结论的正确性（说明还有其他答案），比

较答案（1）、（2）,则是同类答案的优化问题；比较答案（1）、（3）,则是一般性和特

殊性的问题，可引申作点评。学生在问题的讨论过程中感悟到探索的价值，认识到与传统的

演绎推理方法的差异，体现了群体中个体的优势。鼓励和倡导了创造性思维。至此，“开放”

的目的基本到位。学生思维被“激活”，充分体现出“开放性”的活力。

［第二组题：

(1)写出x=J5的一个必要不充分条件(可答味=2)o

(2)写出a+b〉0的一个充分不必要条件(可答a>0且6>0)。

(3)二次函数y^ax2+③+c当字母a,c满足(可答a〉0且c<0)条件,是函数图象与x

轴有交点的充分不必要条件。］

选的第三组题，旨在纠偏纠错，让学生先发现或是数学问题，或是语言表述问题的错误，

从而先改正后分析。这样，既可以让学生发现问题，及时改正错误，对语言表述引起重视，

又可以培养团结协作的精神。

［第三组题：

(1)“Q是R的充分不必要条件"改正为：“xe。"是"xeR"的条件；

(2)“等腰三角形底角相等是什么条件”改正为：“一个三角形为等腰三角形”是“一个

三角形有两个角相等”的条件。］

分析完以上三组题，新课的目标已在顺理成章中基本完成。学生在认知变化过程中，不

机械模仿，不自我封闭，即使在“开放”过程中暴露知识缺陷，经过学生讨论辩析，教师答

题解惑，在顺应作用下发展，实现了“质”的变化。这种教学思想来源于著名的瑞士教育心

理学家、发生认识论创始人让•皮亚(JeanPiagel896—1980),提出的发生认识论原理。

例1讲评结束时我注意给学生提供了适度的学习指导，加深对数学本质的理解，让学生

反思例1,引导学生归纳、总结并概括本堂课的学习内容。特别是让学生从集合的角度来理

解充分条件和必要条件。在学生归纳的同时，进行板书。

［板书：1、简化定义：如果已知4=8,则说4是8的充分条件，6是｛的必要条件。

2、判别步骤：(1)找出A和B.(2)考察AnB和6nA的真假。(3)根据定义

下结论。

3、判别技巧：(1)可先简化命题。

(2)否定•个命题只要举出一个反例即可。

(3)可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

4、从集合的角度来理解：

①相当于尸墨。，即3)或三

即：要使xeQ成立,只要xe尸就足够了一有它就行.

②q0p,相当于PQQ,即还或O

即：为使XC°成立，必须要使xeF——缺它不行.

4nP等价于F?nf。

③9=口，相当于尸=°,即

即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物.

考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生活中的推理判断

密切相关，因此设计了例2,它既是本节课的画龙点睛之笔，又与本节课开始由生活事例引

出课题首尾呼应。

设计例2也让学生从数学的角度重新审视生活中的名言名句，体现了数学作为人类文

化结晶的特点，也使这节数学课融合了浓厚的文化气息。教学中，我通过多媒体课件逐一展

示名言名句并配上与名言名句相匹配的图片背景，让学生探讨其中的充要关系，此时课堂学

习的气氛再一次达到了高潮，每个学生都踊跃发表自己的观点。当然，生活语言不可能象数

学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种

前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共

存，关键是只要学生能“学会数学地思维”。

［例2：探讨下列生活中名言名句的充要关系.

（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竟成

（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。］

第四，作业布置：

1、本节书上的课后练习和习题。（要求先写出A、B,再判断）

2、讨论研究同学们的自编题。

3,写出生活中有四种关系的名言名句各1句，并进行剖析。

六、教学评价设计：

1、为了更好的了解学生听课后的各方面情况，特设计了学生学习综合评价表。

学生学习综合评价表

学习

班级姓名学号

内容

内容本人评价同学评价教师评价

等级ABCL)ABCDABCD

学习1、课前积极预习，积极参加学习小组活

态动，积极提出意见和建议。

度、2、围绕课堂主题主动提出问题、学习过

学习程中积极思维

方3、有参与意识、积极参加课堂的讨论、

法、发表自己的见解

学习4、参与信息的收集、整理、交流等

过程5、课后与同学，老师的交流学习

及学6、作业情况

习收

7、在数学研究性学习中与他人合作，完

获。成任务的情况

8、帮助同学解决问题或向同学提出问题

的情况

对自己的不足和进步

的认识

同学综合评价和建议

教师的评价和鼓励

综合评定意见

2、通过研究学生综合评价表反馈的信息，进行教学反思，进行自我评价，以改进教学。

教师自我反思评价表

授课内容班级时间总分

评价项目评价指标分值得分

1.明确、具体、全面，符合课程标准和学

3

生实际，能与具体活动内容和方式相联系。

2.重视学习习惯的养成和自学能力、综合

教学运用数学能力的培养,并能有效地激励和指3

导学生学生正确认识数学的价值。

目标

3.目标意识强，能从目标出发及时恰当地

（10分）2

调控教学，并注意生成目标的达成。

4.充分挖掘数学教材中的教育因素,寓思想

2

教育于教学之中。

1.学生主动参与到学习新知、解决问题的活

7

动中去，在“做中学

自主参与

2.学生主动参与的广度、深度和参与时间达

7

到一定要求。

1.师生平等地对话、沟通，教师较好地发

4

教挥了促进者、指导者和合作者的作用。

2、学生在自主学习、独立思考基础上的小

有效互动5

学组讨论、合作学习扎实有效。

3、师生、生生不仅有语言、动作方面的交

流、碰撞，更有思维、情感方面的融洽、交5

过流、碰撞和成果的共享。

1、学生获得对知识的真正理解，能用精确、

简约、形式化的数学语言有条理地表达与交4

程

流数学内容。

喇2.学生能建立不同知识之间的联系，把握

经验建构数学知识的结构、体系，并能综合应用所

分，每学知识从实际情境中抽象出数学知识,并5

能应用数学知识解决问题。

3.学生的思维能力、想象力得到•定发展；

级指学好数学的自信心、勤奋、刻苦以及克服5

困难的毅力等品质得到有机培养。

祁

1.学生获得了成功与进步的积极体验，兴

4

为14趣浓厚，热情高涨。

分）2.学生能有效地进行感悟体验，在感悟体

情感体验5

验中获得能力的发展和精神品格的提升。

3.学生积极地提问、质疑，有独到见解，

创新品质得到培养，创新思维得到激发，5

创新个性得到发展。

1.学生能对自己的学习过程、学习方法进

自我反思4

行不同程度的回顾总结。

2.学生能说出自己的学习收获，包括知识、

5

技能和能力发展情况。

3.学生能说出自己的体验、体会，有的能

5

检查利弊得失，说明改进意见。

1.教师能有效地开发和利用教科书及其以

外的课程资源如自身资源、学生资源、社4

会资源及图书等媒体资源。

2.教师积极创设学习情境、能依据目标有

效地指导、启发、调控、强化学生的自主4

学习，合作学习和探究学习。

条件保障3.教师教态亲切自然，有感染力，善于与

学生进行情感交流，讲解、提问、指导语4

（20分）规范得体。

4.教学结构合理，教学环节得当，教学反馈

4

有效及时，每个教学环节都扎实有效。

5.教师教学技能娴熟，教法灵活多样，能

面向全体学生，兼顾个体差异，能从学生的4

不同需要出发组织和实施教学。

今后应重点

改进的地方

3、根据以上两类评价表的反馈信息，我在后面的教学中及时的进行小结和点评，并针对学

生的反馈情况分层次组织引导学生解决存在问题，进行教学调节。

简单的逻辑联结词（二）复合命题

教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；

教学重点：判断复合命题真假的方法；

教学难点：对“P或q”复合命题真假判断的方法.

课型：新授课

教学手段：多媒体

一、创设情境

1.什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题.正确的叫真命题，错误的叫假命题.）

2.逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“V”、“且”的符号是“八”、“非”的符号是”,

这些词叫做逻辑联结词）

3.什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻

辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题.）

4.复合命题的构成形式是什么？

P或q（记作“pVq”）;P且q（记作“pVq”）;非P（记作“rq"）.二、活动尝试

问题1：判断下列复合命题的真假

(1)8N7

(2)2是偶数且2是质数；

(3)乃不是整数；

解(1)真；(2)真；(3)真；

命题的真假结果与命题的结构中的P和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？

三、师生探究

1.'非P”形式的复合命题真假：

例1：写出下列命题的非，并判断真假：

(1)P：方程x'+rO有实数根

(2)p：存在一个实数x,使得Y—9=0.

(3)p:对任意实数x,均有2x+l20；

(4)p：等腰三角形两底角相等

显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真.

2.“p且q”形式的复合命题真假:

例2：判断下列命题的真假：(1)正方形ABCD是矩形，且是菱形；

(2)5是10的约数且是15的约数

(3)5是10的约数且是8的约数

(4)xJ5x=0的根是自然数

所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。

3.“p或q”形式的复合命题真假：

例3：判断下列命题的真假：(1)5是10的约数或是15的约数；

(2)5是12的约数或是8的约数；

(3)5是12的约数或是15的约数；

(4)方程——3x-4=0的判别式大于或等于零

当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，P或q为假。

四、数学理论

1.俳P”形式的复合命题真假：

当P为真时，非P为假；当p为假时，非P为真.

(真假相反)

2.“p且q”形式的复合命P非P题真假：

当P、q为真时，P且q真假为真；当p、q中至少有

一个为假时，P且q为假。假真

(一假必假)

Pqp且q

真真真

真假假

假真假

假假假

3.“p或q”形式的复合命题真假：

当p、q中至少有一个为真时，P或q为真；当p、q都为假时，P或q为假。

PqP或q

真真真

真假真

(一真必真)假真真

假假假

注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；

2°由真值表得：

“非P”形式复合命题的真假与P的真假相反；

“P且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况为假；

“P或q”形式复合命题当P与q同为假时为假，其他情况为真；

3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的

复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如I：P表示“圆周率又是无理数”,

q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用

真值表判断其命题P或q的真假。

4°介绍“或门电路”“与门电路”。

或门电路(或)与门电路(且)

五、巩固运用

例4：判断下列命题的真假:

(1)423(2)4)4(3)4》5

(4)对一切实数x,/+x+120

分析：(4)为例：

第一步：把命题写成“对一切实数x,/+x+l>0或/+*+]=0”是p或q形式

第二步:其中p是“对一切实数x,x12+34x+\>0”为真命题;q是“对一切实数x,/+x+1=0”

是假命题。

第三步：因为p真q假，

由真值表得：“对一切实数X,X2+X+120”是真命题。

例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非P形式的复合命题的真假：

(Dp：2+2=5；q：3>2

(2)p：9是质数；q：8是12的约数；

(3)p：1G(1,2)；q：{1}u{1,2}

(4)p：①U{0};q：①={0}

解：①P或q：2+2=5或3>2；p且q：2+2=5且3>2；非p：2+2#5.

•；P假q真，,“P或q”为真，“P且q”为假，“非P”为真.

②P或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.

•；P假q假，"P或q”为假，“P且q”为假，“非P”为真.

③p或q：1G{1,2}或⑴U",2}；p且q：1G{1,2}且{1}U“，2}；非p：1任{1,2}.

•；p真q真，"p或q”为真，“p且q"为真，“非p"为假.

④p或q：<l>u{0}或小={0}；p且q：eu{0}且小={0}；非p：<|>^{0}.

：P真q假，,“P或q”为真，“P且q”为假，“非P”为假.

七、课后练习

1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是()

A.简单命题B.非p形式的命题C.p或q形式的命题D.p且q的命题

2.如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是()

A.“p且q”是假命题B."p或q”是真命题

C.非p”是真命题D.啡q”是真命题

3.(1)如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是。

(2)如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是。

4.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.

(1)5和7是30的约数.

(2)菱形的对角线互相垂直平分.

(3)8x—5V2无自然数解.

5.判断下列命题真假：

(1)10W8；(2)n为无理数且为实数：

(3)2+2=5或3>2.(4)若ACB=0,则A=0或B=0.

6.已知p：方程x2+mx+l=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+l=0无实根，若p或

q为真,P且q为假，求m的取值范围。

八、参考答案：

1.D2.D3.(1)真；(2)假

4.(1)是“p或/的形式.其中0：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题.

(2)“。且其中0：菱形的对角线互相垂直；G菱形的对角线互相平分；为真命题.

⑶是“-IP”的形式.其中0：8x—5V2有自然数解.8x—5V2有自然数解.如x=0,

则为真命题.故P'为假命题.

5.(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题.(4)真命题.

6.由p命题可解得m>2,由q命题可解得

由命题P或q为真，P且q为假，所以命题P或q中有一个是真，另一个是假

(1)若命题P真而q为假则有=>/«>3

<1,或机>3

m<2

⑵若命题P真而q为假，则有<=>1<W<2

1<m<3

所以m'3或l<mW2

1.4.1全称量词与存在量词(一)量词

教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概

念，并能准确使用和理解两类量词。

教学市:点：理解全称量词、存在量词的概念区别；

教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；

课型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

-、创设情境

在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个

-一一”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将

专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。

问题1:请你给下列划横线的地方填上适当的词

①一纸：②一___牛；③一___狗；④一___马；⑤一___人家；⑥一___小船

①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂,

又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。

不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相

互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它

数学的意境。

问题2：下列命题中含有哪些量词？

（1）对所有的实数十,都有

（2）存在实数x,满足

（3）至少有一个实数x,使得犬-2=0成立；

（4）存在有理数x,使得“2—2=0成立；

（5）对于任何自然数n,有一个自然数s使得s=nXn；

（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n,有s=nXn；

上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。

在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。

全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物

x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”

存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物

x,x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”

含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。

单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个

体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处

理的。

全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品"。全称命题，可以用

全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有

任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”

特称命题：其公式为“有的$是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存

在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含

有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？

(1)方程2x=5只有一解；

(2)凡是质数都是奇数；

(3)方程2x2+1=。有实数根；

(4)没有一个无理数不是实数；

(5)如果两直线不相交，则这两条直线平行；

(6)集合ACB是集合A的子集；

分析：(1)存在性命题；(2)全称命题；(3)存在性命题；(4)全称命题；(5)全称命题;

(6)全称命题；

四、数学理论

1.开语句：语句中含有变量x或y,在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假

的.这种含有变量的语句叫做开语句。如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.

2.表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：

(1)全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可

统称为全称量词，记作Vx、Vy等，表示个体域里的所有个体。

(2)存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词,

记作玉，寺等，表示个体域里有的个体。

3.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式：“对M中的所有x,p(x)”的命题，记为：

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题，记为：IveM,式x)

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A,实际上就是英语"any”中的

首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E,实际上就是英语

"exist”中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假：

(1)3xeR,x2>x(2)Vxe/?,>x(3)e-8=0(4)Vxe/?,x2+2>0

分析：(1)真；(2)假；(3)假；(4)真；

例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：

第一步：设a=b,则有£=ab

第二步：等式两边都减去况得齐氏a

第三步：因式分解得(a+»(af)=6(a-6)

第四步：等式两边都除以a-8得，a+b=b

第五步：由<8=6代人得，2b=b

第六步：两边都除以6得，2=1

分析：第四步错：因a-6=0,等式两边不能除以a-6

第六步错：因6可能为0,两边不能立即除以6,需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(.a-b)=>a+6=6是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可

A4--

罪。

同理，由26=8=2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

(1)中国的所有江河都注入太平洋；

(2)0不能作除数；

(3)任何一个实数除以1,仍等于这个实数；

(4)每一个向量都有方向；

分析：(1)全称命题，V河流xG｛中国