2022-2023学年高二物理竞赛课件：薛定谔波动方程

薛定谔波动方程2.4薛定谔波动方程

一、含时薛定谔方程薛定谔图像，坐标表象的状态随时间演化为为厄米算符，且为局域的，即为的实函数以后我们会讨论含时的非局域但可分离的势，与动量相关的势，,等等。由而得含时薛定谔方程为基于上式的量子力学有时称为波力学，是当时态矢在坐标表象下薛定谔方程的特殊形式。二、不含时薛定谔方程

对A和H的共同本征初态,对能量本征态得定态薛定谔方程：束缚态：要解方程需加边界条件，假设要求的解，合适的边条件为当即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，有分立的一组E值。定态薛定谔方程

能级的量子化。可见由定态薛定谔方程寻求微观物理体系的能级与寻求弹簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。三、波函数的解释

波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几率密度，在附近的体积内找到该粒子的几率为由含时方程可推出连续性方程该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。几率流与动量有关：连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因此曾被认为是物质密度，是实际电荷密度。非物理图像：一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。Born提出了合理解释，即为几率密度的统计解释。四、波函数的相位S为实数，ρ是几率密度。S的含义？由得：可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向与该点上等相位面垂直。对平面波虽然形式上我们有但将解释成需要坐标与速度的同时精确测量而不可能（测不准关系）。五、经典极限

据薛定谔方程有：若可看成小量，并设等，则上方程中不含的部分有与分析力学的Hamilton-Jacobi方程相同，其中是Hamilton的主函数。因此，薛定谔波力学在极限下给出经典力学。若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量，主函数S具有可分离的形式，称为Hamilton的特征函数。随着时间的转移，等S面的空间演化与波动光学中的常相位面即波前变化相同.六、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解经典Hamilton-Jacobi方程的解是对定态由连续性方程得故与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致WKB解：七、WKB近似成立条件：条件对应于：

即或者说必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短波极限下是可信的。八、完整的WKB解对区，有对上述解不成立,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是：1．在附近将V(x)线性化。2．解微分方程得与阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近3.将这一第三个解通过选择合适的积分常数与另两解匹配这里不讨论这些步骤的细节而只给出结果：波函数在E>V(x)区振荡，在E<V(x)区指数衰减。匹配条件I与II区：II与III区：波函数的唯一性意味着这两个cos的变量最多差π的整数倍。故有自洽性（量子化）条件：除部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同九、量子化条件应用举例势阱中粒子的近似能级经典转折点为：由于无限高势垒，解在x<0区必为0.对x>0区的解，可通过求解修正势,的对称解得到该问题的WKB转折点为,量子化条件变为即

与本征能态的严格解：非常接近（-λ是Airy函数为零的根）十、遂穿几率由WKB解知：粒子速率：碰撞频率：f=v/2x0遂穿几率：简谐振子的时间演化

x，p的Heisenberg运动方程可表示为这对耦合方程等价于和的独立微分方程：即或得解为与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一样振荡振子的时间演化（直接解法）由算符的时间演化直接求出x(t)，p(t)：利用Baker-Hausdorff引理