高一（下学期）期末数学试卷及答案

高一(下学期)期末数学试卷及答案

(时间120分钟，满分150分)

1.设集合」IW,H|H,且■；2.I；,则，

A.IB.2C.2D.4

2.函数,，,;'h的最小值是।

X—1

A.2B.4

4.函数」一「'Jr的单调递增区间是II

A.v,-2lB.x.I)C.(1»4-x)D.il-

...>inn/anssI_,八,

5.若,,贝心；川2<・二：I

24111n—CUH<12

A.：<B,3C.*D.；

II33

6.若二口一，一I',贝！L=，I

A.1iB.1-iC.iD.i

7.在一.1〃「中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知，、：u(561.sinBlablsmA,则

C=()

ci2k八2krU„5.T

A4.B.或C.D.或

bo3«Sbo

8.菱形A8CD中，1"?，l>I》，，，将一(沿8。折起，C点变为E点，当四面体/\l(l>

的体积最大时，四面体/.」/>,〃的外接球的面积为，：।

A.2lt-B.10zC.5方D.7k

9.设函数、一”3.」，给出下列命题，不正确的是，：।

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A.:，।的图象关于直线J.，对称

B..I的图象关于点，对称

C.把.।的图象向左平移「，个单位长度，得到一个偶函数的图象

D.।的最小正周期为：，且在“上为增函数

10.下列命题中是真命题的有(j

A.有A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9,则样本容量为

30

B.一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同

C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲

D.某一组样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在区间[1U：.1213

内的频率为UI

11.在j1/“,中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知…[:且，1，则

COHC2Q-c4

()

I/o

A.B.13、C.j.\3D.(J(12

12(

12.已知直三棱柱ABC小山。中，三BC。是AC的中点，。为.1(’的中点.点

产是/"'i上的动点，则下列说法正确的是”।

A.当点尸运动到中点时，直线.1/‘与平面」，"<।所成的角的正切值为\

B.无论点尸在上怎么运动，都有

C.当点P运动到,，「中点时，才有,1：。与。〃।相交于一点，记为。，且二?

D.无论点尸在。q上怎么运动，直线.1「与A8所成角都不可能是；川

13.已知小।♦,上I,则、二।工t的值是__________.

43

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14.设向量1-n.11,//-।JI,若万,，；，则.

15.若二：,1,则称马与“互为"邻位复数”.已知复数I-a-r卜与r2-6互为“邻位复

数”，a,「，"，贝I，'的最大值为.

16.在正三棱锥、.1〃「中，/“―LI—i，点。是SA的中点，若S/L「〃，则该三棱锥外接

球的表面积为.

17.为了落实“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居

民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准」吨I,一位居民的月用水量不超过尤的部分按

平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人

的月均用水量：单位：吨I,将数据按照1」［…，、.出I分成9组，制成了如图所示的频率分布

直方图，其中II|i?*.

II求直方图中a,6的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数彳每组数据用该组区间中点

值作为代表）；

口设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；

B）若该市政府希望使N*的居民每月的用水量不超过标准，吨I估计x的值，并说明理由.

频率

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18.在一.1〃「中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,且bccw.4ca.

1।求角B；

⑵若L.l/“的面积为人：；，8c边上的高」〃|,求6,「

19.已知函数。”.1…一，..-4।-1.」的图象如图所示.

[I求出函数/」的解析式；

(2)若将函数J一的图象向右移动:个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的'纵坐标不变।得到

«>

函数U，『”的图象，求出函数”，;，1的单调递增区间及对称中心.

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20.如图，在四棱锥厂中，底面ABC。为正方形，侧面PAO是正

三角形，侧面「底面ABCQ,M是尸。的中点.

U）求证:IV.平面尸CD；

求侧面PBC与底面A8CO所成二面角的余弦值.

21.在锐角一.1〃「中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知八'--.1.1

1I若"3,b\；，求c；

Q求…「的取值范围；

O

mr+Kr+”

22.已知函数。”

lofa----4,i---

M若〃，nI,求函数J，।的定义域和值域;

"11若函数「，1的定义域为R,值域为门2,求实数机，〃的值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力.

由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A,B,再由交集的定义，可得。的方程，解方程可得，，

【解答】

解：集合』=｛」」‘1=I-2■，，

H|/2T,〃,I”\rr':"I’

由｛t2-r-I］，可得,*'I1,

则，2

故选：n

2.【答案】c

【解析】解：因为u-','11,

Z-1

2/9

?，/11',22J1"'26，

r-1Vz-l

当且仅当I',2时取等号，此时取得最小值

x—1

故选：，

•/2」，，.!2,2,然后结合基本不等式即可求解.

x-1z—1

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题.

3.【答案】A

【解析】

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【分析】

本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题.

根据函数的奇偶性和I，|时函数值的正负即可判断.

【解答】

解：函数八,,定义域为R,

\"-/JI」、

则一,•I,

，川■_1二•1

则函数”。，-I为奇函数，故排除C,D,

当u时，"/'-III,故排除8,

故选：.1

4.【答案】D

【解析】解：由"2-、U得「I或J

设/，-L、，则当「I时，，，」为增函数，此时”：…为增函数，则，।为增函数，

即「，I的单调递增区间为

故选：/>

求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可.

本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是基础题.

5.【答案】B

na-4CXJWa

【解析】解:

taiKi

则I；山2(e

tairn

故选：H

将已知等式左边的分子分母同时除以，…，，，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于twn的方程,

求出方程的解得到，.的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将，皿「的值代入即

可求出值.

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此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题

的关键.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轨复数的概念得答案.

【解答】

解：由I-，1一得'''1''1->,

1(I4-1)(1-I)

,♦2；].

故选I).

7.【答案】C

【解析】解：由正弦定理知，—,

MinAsinBMinC

isi】“'।2”•b、in"ui/•：MII.1,

..<,「2〃♦LJ\u即0]J—ubf

1

由余弦定理知，CO1c..七T.,

2<ib21b2

(,<'：0.

-C-T-

故选：(

先利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，即可得解.

本题考查解三角形的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，

属于基础题.

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8.【答案】A

【解析】解：当平面，平面时，£到平面48。的距离最

大，由于底面54。的面积为定值，

所以此时四面体/.的体积最大.

设三角形A3。的外接圆的圆心为。半径

RD_2v3_c

'2sin1211'

设四面体/.的外接球的球心为。，三角形E8O的外接圆的圆心为。.

可得(儿):：；21I，

所以「，<)("II5,

则四面体/的外接球的面积为、「丁171”,

故选：A

考虑当平面平面A3。时，此时四面体/.的体积最大.求得三角形A3。的外接圆的半径,

结合球的截面性质和勾股定理、表面积公式，计算可得所求值.

本题考查四面体LI"。的外接球的面积，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：选项A,令3,，「，，"，贝U.'',-Z,

32122

函数/」的图象关于直线」--k-7对称，即选项A不正确；

(4,,>

选项B,令、二，r-/,贝!I」-，//,,

3li2

函数।的图象关于点，：/对称，即选项B不正确；

ti2

选项C,把：门的图象向左平移;个单位长度，得到-f-”3.,…一」，是

偶函数，即选项C正确；

选项D,最小正周期/

9

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令。,；三—：+上.：,一人K］,*£-Z,则，上上,",kez,

322122122

函数1,I的单调递增区间为［上.匚二「，1/,

122122

当小H时，函数「门的增区间为|：：.：；,而"：1不是,二一的子区间，即选项。不正确.

故选：」“〃

根据正弦函数的中心对称、轴对称、周期性和单调性可分别判断选项A,8和D；选项C,由函数图象的平

移变换法则可判断选项「

本题考查三角函数的图象与性质，以及图象的平移变换，熟练掌握正弦函数的对称性、周期性和单调性是

解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

10.【答案】8。

【解析】解：对于A，由分层抽样原理知，样本容量为"：；"，所以选项A错误;

3+1+2

对于8,数据1,2,3,3,4,5的平均数为」,1•：12.：II1：;，

6

众数为6,中位数也是3,所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项8正确；

对于C,甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5；

它的平均数是rHlr.7,

□

方差为/J•$■■：»；7i-■IM:广，门」,「，7i?II,

5

这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C错误；

对于。，由题意知样本容量为10,样本数据落在区间II；［121"，内的频数是4,

所以频率为L1,选项。正确.

故选：BD

A中，由分层抽样原理求出样本容量的值；

8中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；

C中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；

。中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可.

本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题.

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11.【答案】AD

【解析】解：由及正弦定理可得，,2•­.1.1••：1।•二打…•”，

COHCMC

所以23"I<i>e*/?、:11〃,।尸厂♦，Li（*.it1i•（tillA,

因为、：I1.1，II,

所以…、〃1,即。：，

2•»

田力C1„\3:W3

囚刃、!...'<11/»，…，

21

所以“-3,

因为3,

由余弦定理可得，

ii•<，；<；<1-d'1/•<'）"，

则」：\2

故选：」〃

由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求2,然后结合三角形的面积公式及余弦定理即可进行判断.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力，属

于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与平面的夹角，即可判断选项4设出点P

坐标，计算」7.（订II，可判断选项8；由三角形中位线的性质可得，<〃’」必，且（“/四，

即可判断选项C；根据已知判断当点P运动到83中点时，直线与A8所成的角最小，求出其正切值

即可判断选项I）

本题考查命题的真假判断与应用，空间向量的应用，考查空间想象能力和思维能力，属中档题.

【解答】

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解：如图所示，以3为坐标原点，建立空间直角坐标系"/"一，

设.1〃H(UU2,则JMd,B(O,O.D),CH2JI.2),BjO.O.21

当尸运动到m'i中点时，/MJUl,则rI；,1j|1,

平面1〃平的一个法向量为加;Hiu.2i

设直线.1〃与平面所成的角的为“，

则、iii〃<<»/Mi,Uli-~-，则，

66

所以二’，故A正确；

当点尸在〃Q上运动时，可设四，。“，则」「:2.f，，

因为。为的中点，则"，1111,

所以。3tI-III，贝!1」［〔(7力；所以」/'_<〃力，故以正确;

当点尸运动到.，，“中点时，」：。与。“I相交于一点，记为。，连接PO,///,,

则尸为〃(’的中点，所以在一.1“(中，(〃'且()〃口向，

PQOPI

所以“「故c错；

Q.Tl-

因为」1小，所以直线」，与AB所成的角为.八，

因为「〃一平面.'3(,所以为［『="J,

在八中，当。，最小，即点P为BG中点时NBMJP最小,

计算可得一”.1/最小正切值为'

所以直线.1十与A8所成角都不可能是小「，故。正确.

故选：1/山

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13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角公式，考查计算能力，属于基础题.

根据二倍角公式即可求出.

【解答】

解：因为蚀『二，",则

|3仙0，（I）—少-

解得7121,

3

故答案为：

14.【答案】5

【解析】

【分析】

本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题.

根据向量垂直的条件可得关于，”的方程，解之可得结果.

【解答】

解：向量“：i1I,AIJH1I,若一厂，

则-112,',',1'5II>

则…1,

故答案为:，

15.【答案】8，2x7

第14页共21页

【解析】解：由题意，■，、’3，-2，”-1,故，“一一\：；M-I,

点F在圆门2'-：；.,\「1±,

而、H表示点（"，”到原点的距离，

故”‘）■的最大值为‘：\」--△「.一1.\7、・人；

故答案为：N.“二

由题意可得关于a,6的关系式，再由其几何意义求解.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是中档题.

16.【答案】55

【解析】解：如图，取AC中点尸，连接SP,八八

在正三棱锥、.1"「中，、1>71

.•SP1AC.

V,SP、-平面SPB,

.平面

、/，・平面SNB,

/AC1SB.

又（一，AC、DCc平面SAC,

II.平面、u,

又、〃-平面SAB,II-平面SAB,S/?r|EF

sn平面、I，

4.s\］、-平面SAC,

-57?*.IS-

正三棱锥的三个侧面全等，

•CS1AS.

（\-li，（S.AS.

/.CS-45-6x--3g.

第15页共21页

4.S>CS、BC两两垂直，且「、」.、、1;A2

可将正三棱锥S.1"补成正方体」//"CIIKC

一正三棱锥、.1/“‘外接球的直径即为正方体.1〃卜，；/”\「的体对角线、7/

SH-CSB-3>/6.

正三棱锥的外接球的表面积为S-1-1T-I--11-5-1r.

2

求有关正三棱锥的外接球的问题时，需转化成求对应正方体的外接球.正方体的外接球半径即为正方体体

对角线的一半.

本题考查学生的想象能力，利用数形结合的方法进行解题，属于中等难度.

17.【答案】解：11由题意得：],'.।,,,...,।,

|11]11i''IJ11J'1'..''1।11；III_1

解得,，III,6II

由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：

0.5x0.0441.5x0.08+2.5x0.15+3.5x0.20+L5x0.26+5.5x0.15+6.5x0.06+7.5x0.04+8.5x0.02«4.07

」由频率分布直方图得：

全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1।4II।>,

..全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为：

400000x(1-0.04-0.0H)=352aMl

旧.,前6组的频率之和是1川、11；.I..2.IH2'.­>"、、I

而前5组的频率之和为U3.川、lr.-II2।JrH7'；।>j,

%;I-fi,

由III1111s-r>I>73,解得：r—1、,

因此，估计月用水量标准为吨时，、1的居民每月的用水量不超过标准.

【解析】.1由频率分布直方图中小矩形面积之和为1,列出方程组，能求出a,h由频率分布直方图能估

计该市居民用水的平均数.

，由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率，由此能求出全市居民中月均用水量

不低于2吨的人数.

前6组的频率之和是”、：，而前5组的频率之和为Il<i,从而〜一「li,由

第16页共21页

HI'.H「、二।；：；,能估计月用水量标准为：,、吨时，的居民每月的用水量不超过标准.

本题考查平均数、频数、用水量标准的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

18.【答案】解：r।因为「a,

2

所以由正弦定理可得

I

BcutiA-sinC-sinA-HU(A♦D)

(

可得、.111C-—,

因为、in.1，II,可得B--3)

2

所以由"II.:l,可得〃

b

门因为一的面积为入J,8C边上的高.-1,

AH1______________

在RtA.l。//中，可得'-n=2，BH--瓜，

,6

所以-locsinB-；x(v,»」〃7•?，，解得〃厂.卜3,可得“BH-HC1，

在一中，由余弦定理可得八4c2_2accoiB-［，I、：；2-2x1^5x2x--2\/7

【解析】I由正弦定理，两角和的正弦公式化简己知等式，结合、u-I,”,可得…、H的值，结合，“5」，

可得B的值.

在①I/"/中，由已知利用三角函数的定义可求c,利用勾股定理可求的值，进而根据三角形的面

积公式可求HC的值，从而可得a,在一J/“中，由余弦定理即可求得》的值.

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中

的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

I|4-6-6

19.【答案】解：缶由函数>川的图象可得\解得:

I.I\b-1

又由‘2-得：1~~；---

•>,>

第17页共21页

而广.।得：；•▼i•一，Q」Z,，,

4b113

综上：f{J\—L、】nl./一-2.

<*>

口显然力「八"L•,11-2,

o

由二1'-r--2AT♦.,k■-Z,得””的单调递增区间为f'--'->.1，>--/.,

J(>13b

由L,'，「，r-/得：对称中心是「,2i,A'Z

«•>12

【解析】1।由函数的图象的顶点坐标求出A和6,由周期求出，，最高点求出，的值，可得函数的解析式.

2由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数”，jJ的单调递增区间及对称中心.

本题主要考查由函数UI的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和6,由周

期求出•.，最高点求出，的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题.

20.【答案】3)证明：在正方形ABC。中，\1),

又侧面j底面ABC。，侧面，底面［；；(/>AI),(D评面

ABCD,

所以f/L平面PA。，又.LU平面PAD

所以，，

因为一『.10是正三角形，〃是尸。的中点，贝II,/PI),

又LZ)r|P/：)-。，CD,，〃平面PCD,

所以I1/.平面PCD;

，解：取A。，BC的中点分别为E,F,连接EP,PE,PF,

则一(!),1.1「口，所以//\1),

在正.中，/>/M>,

因为一1］『/F,EF,/,/-平面PER

则1/>,平面PEF,

在正方形A8CD中，」"〃(’，

故Ml平面PER

所以八//,是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

第18页共21页

由平面PAD,ElCD,

则，/一平面PEF,又，/平面PAD,

所以///'/，

设正方形ABC。的边长.1/)加，贝山］」」'/\

所以//v/*/-'II

则…」T/?”，

PF7

故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为\

【解析】」।利用面面垂直的性质定理证明1/),平面E4。，从而得到「/，I\!,由正三角形的性质可得

AMI'l),再利用线面垂直的判定定理证明即可；

，取AD,8c的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,利用线面垂直的判定定理证明平面尸ER则

可得平面PER由二面角的平面角的定义可知，/>//是侧面P2C与底面4BC。所成二面角的平面

角，在三角形中，由边角关系求解即可.

本题考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，二面角的求解，解题的关键是由二面角的

平面角的定义确定所求的角，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(11由nsi>2〃67IIA，得、hi』・2Gn〃〃3“\，

则，，3、即，

23

由余弦定理“