考点35直线、平面平行的判定与性质-2019年领军高考数学二轮（理）考点必练含解析

考点35直线、平面平行的判定与性质

1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形A8C。为矩形，E,1r分别为B4,尸。的中点，在此几何体

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线〃平面PBC；④平面BCEJ_平面池》

其中正确的结论个数为（）

A.4个B.3个

C.2个D.1个

【答案】C

【解析】

将平面展开图还原后可得立体图形如图所示：

①E产为P4PD中点=EF//AD,又四边形ABCD为矩形=AD//BC

•.EF//BC=BCE,F四点共面

二直线BE与CF共面，不是异面直线，即①错误

②•••E6平面PAD,AFu平面PAD,EeAF,8W平面P/4D

二直线BE与直线AF为异面直线，即②正确

@---EF//BCr,BCu平面尸BC,EFC平面PBC

・••EF〃平面PBC,即③正确

④假设平面BCE1平面P4D,即平面BCEFJ_平面P4D

又平面BCEFc平面P4D=EF,作.PM_LEP,垂足为M,可得PMJ.平面BCE

但实际无法证得PM，平面BCE,故假设不成立，即④错误

本题正确选项：c

2.设正方体"的棱长为1,E为0%的中点，"为直线上一点，N为平面4EC内一点，则M,

N两点间距离的最小值为（）

好理0电

A.3B.6C.4.D.6

【答案】B

【解析】

结合题意，绘制图形

结合题意可知0E是三角形BDD_中位线，题目计算距离最短，即求0E与8D二两平行线的距离，

DD.=LBD.=、氏BD=、2，所以距离d,结合三角形面积计算公式可得

S=lBDDD.=}RD.2dd=—

22，解得6,故选B.

3.如图，在棱长为2的正方体A"'"-4】/'[/中，E,F,G分别是棱4E,BC,CCI的中点，P是底面4BCD内一动

点,若直线°产与平面引乙不存在公共点，则三角形PBBi的面积的最小值为

Di

*

A.2B.1C.隹D.2

【答案】C

延展平面EFG,可得截面EFG//QR,其中H、Q、R分别是所在棱的中点,

直线D_P与平面EFG不存在公共点,

所以2P〃平面EFGHQR.

由中位线定理可得AC//EF,

EF^^EFGHQR^],

AGS平面EFG"Q矽卜，

所以4c〃平面EFGHQR,

因为D/与4c在平面内相交，

所以平面"1"，〃平面EFGHQR,

所以P在4c上时，直线与.平面EFG不存在公共点,

因为BO与4c垂直，所以P与0重合时BP最小,

此时，三角形P8B1的面积最小，

1KK

-x2xJ2=72

最小值为2，故选C.

4.已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，ABLAC,点MN分别是边"B1，力也上动点，若

直线MN〃平面BCJBI,点Q为线段MN的中点，则Q点的轨迹为（）

A.双曲线的一支（一部分）B.圆弧（一部分）

C.线段（去掉一个端点）D.抛物线的一部分

【答案】C

【解析】

如图作平面尸。欣〃平面3CGB］，可得到点M,N为平面P2K与边AB,,4c的交点，

取的中点Q,由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故

Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.

又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，

所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段0H,又直线MNII平面BCUB；,所以去掉0点,

故选C.

5.在正方体中，下面结论中正确的有（写出所有正确命题的序号）.

5G

-4i鸟

PA

.4B

①B。〃平面CBWi；

②力C〔_L平面CB］。］：

③异面直线4c与人声成60°角；

⑷”的与底面ABCD所成角的正.切值是企.

【答案】①②③

【解析】

逐一考查所给的命题：

在①中，BD//B.D,,8/：（2平面。8,么，BDC平面

二BD〃平面CB/二，故①正确；

中，AA^__L平面二AA^J.B；D；,

又•.&QJ.B也，二BRJ_平面二8也〉心,同理/ClACi，

.•.月心,平面CB一么，故②正确;

在③中，AC〃儿心，A儿C：的等边三角形，则异面直线乂c与4B成60,角，故③正确;

在④中，“与平面ABCD所成的角，tan^C.AC=今=卷=合，故④错误.

故答案为：①②③.

6,四棱锥P-48CD中，PAJ.平面ABCD,E为4。的中点，力ECE为菱形，4840=120',PA=AB,G、F分

别是线段CE、PB的中点.

（I）求证：FG||平面PDC；

（ID求二面角尸-CD-G的正切值*

2

【答案】（I）详见解析（H）§

【解析】

PF_CG_1

证明：（I）延长BG交4。于点D,•.•丽一荏=5

CG_BG_1BF_BG_1

而族=前=2旷丽=5,所以FGIIPD.

FGU平面尸叫PDu平面肛1,.•.FG||平面PDC

（II）过点F作FM148于M,易知FM1面48CD

过M作MN1CDJ-N,连接FN,则CD1面FMN

.•.CD1MN,CD_LFN,;.4FNM即所求二面角的平面角

132

FM=-MN=—tana=一

不妨令P4=4B=1,则2,4,所以3.

7.如图，四棱锥S-4BCC中，a/lBS是正三角形，四边形4BCD是菱形，点E是BS的中点.

（D求证:SD//平面4CE；

（II）若平面4BS1平面4BCD,乙1BC=12O。,求直线4。与平面力DS所成角的正弦值.

理

【答案】（I）证明见解析：（H）5.

【解析】

(I)证明：连接BD角AC于点F,再连接EF.

因为四边形ABCD是菱形，所以点F是BD的中点，

又因为点E是B5的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，

所以DS平行EF,

又因为EFu平面ACE,SDU平面ACE

所以5D/7平面4CE

(II)因为四边形月BCD是菱形，LABC=120=,所以UBD=：UBC=60。

又AB=AD,所以三角形ABD为正三角形.

取AB的中点O,连接SO,则D01AB

因为平面AB5评面看BCD,平面；1B5fl平面ABCD=AB

所以DO_L平面ABS,又因为三角形ABS为正三角形

则以0为坐标原点建立坐标系

设AB=2a,则4(0,-a,0),S(^a,0.0),D(0,0,^d),C(0,2a,v^a)

AD=(0.a.\3a).AS=(\3a,a.0),AC=(0.3a.v'3fl)

设平面ADS的一个法向量为元=(x.y,z)

则陋元=0=0+、骰=0

Us-n=0(v^x+y=0

取x=l,贝ijy=~^3.z=1

所以元=

设直线AC与平面ADS所成角为8

则sind=|cos＜正元＞|=|磊卜T

8.如图，在四棱锥P-4BCD中，M,N分别为棱PA,PD的中点.已知侧面PAD_L底面ABCD,底面ABCD

是矩形，DA=DP.

求证：（1）MN〃平面PBC；

(2)MDJ_平面PAB.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

(1)在四棱锥P-1BCD中，M,N分别为棱PA,PD的中点,

所以MN〃AD.

又底面ABCD是矩形,

所以BC/AD.

所以MN〃BC.

又BCu平面PBCMNC平面PBC

所以MN〃平面PBC.

(2)因为底面ABCD是矩形，

所以AB1AD.

又侧面PAD1底面ABCD,侧面PADC底面ABCD=AD,ABu底面ABCD,

所以AB_L侧面PAD.

又MDu侧面PAD,

所以AB1MD.

因为DA=DP，又M为AP的中点，

从而MD1P4.

又24,AB在平面PAB内，PActAB=A,

所以MD1平面PAB.

9

.如图，在五面体力BCDE77中，四边形4BC。是矩形，平面人防上平面旗。。,48=24。=2EF=4/E=DE=&.

(I)求证：4B||EF-

(II)求直线BF与平面4DE所成角的正弦值；

(III)求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值.

击A/5

【答案】(I)见证明；(2)可；(3)可

【解析】

(I)在五面体ABCDEF中，因为四边形A8CD是矩形，

所以力8IICD.

因为IB年平冢DEF,CDc平面CDEF,

所以ABII平面CDEF.

因为c平面ABFE,平面ABFEn平面CDEF=EF.

所以从BIIEF.

3)取月D的中点0,BC的中点也连接0E,0M

因为四边形ABCD是矩形，所以0M1AD.

因为4E=DE=、②。是nD的中点，所以0E1AD^OE=1.

因为平面4DE1平面4BCD,平面IDEn平面胃BCD=AD,0Eu平面ADE.

所以0E1平面ABCD.

如图，建立空间直角坐标系。-xyz,依题意得0(000),8(140),5(021).

X

所以BF=(-平面月DE的法向量为而=(0,1.0).

设直线BF与平面jDE所成角为a,则

sina=Icos<fn.BF>I=㈢=—

'33'

所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为第

»

(DI)由C(-L4Q)得加=(-2,0.0X

设平面3CF的法向量为"=(xy.z),则有

fn-BC=0f-2x=0.

<n-BF=0Renll-x-2y+z=0.

令y=L则元=(0.1.2).

因为平面.4DE的法向量为布=(0.1,0),

所以cos<n,m>=-^=y.

所以平面8CF与平面dDE所成锐二面角的余弦值为F

0.如图，在多面体4BCDEF中，四边形4BCD为矩形，直线4。与平面OCFE所成的角为60°,DE//CF,CD1DE,

(1)求证：直线BF〃平面4DE；

3

CG=-

(2)点G在线段CF上，且2,求二面角B-EG-。的余弦值.

1

【答案】⑴详见解析⑵〃

t解析】

<1)因为四边形"CE为矩形，所以

因为ADu而ADE,BC<f而ADE

所以BCII平面加E

同理CFII平面4DE

又因为BCdCF=C,所以平面BCFII平面.4DE

因为3Fu平面BCF,所以BFII平面ADE

(2)因为ADCiDE=D,CD1AD,CD1DE,所以CD_L平面。DE

因为CDu平面CDEF,所以平面CDEF1平面ADE

过点月作4。1DE于点。，则月。坪面CDEF

所以乙4DE=60。

由4D=2.DE=3,得DO=1,EO=2,AO=、，"

以。为原点，平行于DC的直线为1轴，DE所在直线为y轴，(M所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系。一町2,

如(0Q,⑸C(3.-1.0),D(0,-1.0),E(0.2.0),G(3<.0)

OH=OA+AB=OA+DC=(3,0,v3)8(3,04)

贝“BE=(-32—、疔)，BG=(0.：,—、石)

设平面BEG的法向量为而=(x,y.z),

取其一个法向蚩为而=(124)

又平面DEG的一个法向量为元=(0.0.1)

所以|cos<inn>|=/^=：

1X-V»4

所以二面角B-EG-D的余弦值为;.

11.如图，在三棱柱4BC-&B1G中,24工底面4BC,底面4BC为等边三角形，AB=2/^i=\E,F分别为

4c的中点.

(1)求证：BFII平面&EC；

(2)求平面4FC与平面4BC所成二面角的余弦值；

(3)设平面4EC与平面4BC的交线为m,求证：m与平面4BB/1不平行

2-

【答案】(1)证明见解析；(2)飞二(3)证明见解析.

【解析】

.(1)证法1：

取工。中点G,连接GF.GE,贝|JGFI凡唱GF又BEIIA-A^BE=^A-A

所以四边形BEGF为平行四边形，所以GEIIBF,

又GEu平面/1：EC8FC平面

所以BFII平面&EC.

证法2:取4M中点凡连接HEHB,WJ//FIIA-C

因为BE&H为平行四边形，所以4EIIB乩

又&Ec&C=4；,HBc\HF=H,

所以平面“FBII平面工CE,

所以BFII平面4EC,

C

证法3：延长交于点M,连接CM.

在44CM中,8,在为4cMM的中点,所以BFIICM,

又CMu平面&ECBFC平面&EC,

所以BFII平面4EC

⑵因为"/•1"底面ABC,GFIIW,

所以GF，底面.4BC,

又三角形力BC为等边三角形，F为月C中点，所以BF，月C,

以广为原点，建立如图所示所示的坐标系，

贝ijF(OOO),C(l,O,O),4J-1.0.0),E(0，v3:),

CA=(-2,0.1),CE=(-l,yyi),

2£+Z"**-0

_X+用y+为=

令x=1,贝ijz=2,y=0,n=(1.0.2),

易知平面ABC的一个法向量为记=(0,0.1),

贝ijcos(元而＞=言=”.

由图可知，所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为萨一

(3)方法1：

假设?”与平面4BB二人平行，

因

为mu平面4/C,平面/l/Cn平面小,/"]=4/,所以

12.己知如图1所示，在边长为12的正方形中，88//CCJ//14,且汨=3,BC=4,分别

交BBi,于点P、Q,将该正方形沿BB〔，CClf折叠，使得“①’与人为重合，构成如图2所示的三棱柱

在该三棱柱底边4c上有一点M,满足4%=kA/C；请在图2中解决下列问题：

（1）求证：当4时，BM〃平面4PQ；

避

（2）若直线BM与平面4PQ所成角的正弦值为求k的值.

k=Lk=2

【答案】（D见解析；（2）a或4

【解析】

（1）解：在图（2）中，过M作MN〃CQ交4Q于N,连接PN,所以MN〃PB,

：.MNPB共面且平面MNPB交平面4PQ于PN,

_3MN_AM_3

=4,CQ=AC=7,

又CQ=7,：.MN=3,MN=PB=AB=3,

二四边形MNPB为平行四边形，,BM//PN,

PNu平面APQ,BMC平面月PQ,

.,.BM//平面.4PQ.

(2)解：因为MB=3,BC=4,所以AC=5,}^AC2=AB:+BC:,

即月BJ.8C.由图1知,PB=AB=3,QC=7,分别以BA,BC,BB加,.，逸,

则4(3.0,0),C(0.4.0),P(0.0.3),(?(0.4.7),

BC=(0.4,0),AP=(-3.0.3),AQ=(-3,4.7),

设平面』PQ的法向量为在所以5量:得鬻Hl0

令a=!,贝ijc=1,b=-1,所以元=(1.-1.1),

由莉=k正得M的坐标为（亲.最,0）,

•.・直线BM与平面,4PQ所成角的正弦值为皆,

.•.扁=病,解得"善一

13

.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E,F分别为棱

PC,PD的中点，已知PA_LAB,PA±AD«

p

(2)求证：平面OEFJ•平面ABCD。

【答案】详见解析

t解析】

(1)。为PB中点，F为PD中点，所以，PB//FO

而PBC平面OEF,FOu平面OEF,

/.PB"平面OEF。

(2)连结AC,因为ABCD为平行四边形，

.'.AC与BD交于点O,O为AC中点，又E为PC中点，

/.PA//OE,

因为PA1AB,PA1AD,ABCiAD=A,

/.PA1平面ABCD,

OE1平面ABCD

又OEu平面OEF,

二.平面OEF1平面ABCD

14.如图，在底面为正方形的四棱锥E-4BCD中，BE,平面4BCD,「点F,G分别在棱4B,EC上，且满足

AF=2FB,CE=3CG

(1)证明：FG〃平面4DE；

(2)若BE=48,求二面角F-EG-B的余弦值.

3Vli

【答案】(1)见解析；(2)=.

【解析】

(1)在棱DE上取一点H,使得DE=3DH,连接AH,HG,

因为CE=3CG,DE=3DH,所以GH〃DC,

听以HG=沙C.又因为钎=2FB,AB=CD,所以月F〃HG,AF=HG,

年以工FG”是平行四边形，所以FG〃儿兄

因为FGU平面ADE,m平面4DE,所以FG〃平面4DE.

(2)依题意，以B为坐标原点，以BAbE.BC为x,y,z轴建立空间直角坐标系8-犬尸,

设=3,贝必(1,0。)，E(0.3.0),6(0.1,2),

年以而=(-1.3.0),FG=(-1,1.2).

设平面EFG的法向量为元=3y,z),则g|；，即｛二：;1二0，取、=3,

1忻=(3.1.1).

又84，平面EGB,所以平面EGB的一个法向蚩为瓦？=(3.0.0),

…BAn3«T

cos<BAn>=—~-=------

所以t即||川11,

3yn

又二面角F-EG-B为锐角，所以二面角F-EG-B的余弦值为

15.在如图所示的几何体中，四边形"BCD是菱形，ADNM是矩形,平面力DNM，平面力BCD,40/18=60°,

AD=2,AM=1,E为的中点.

（1）求证：AN〃平面MEC；

71

（2）在线段4M上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为§?若存在，求出力P的长；若不存在，请说明

理由.

7T

【答案】（I）详见解析；（2）3

【解析】

（/）CM与BN交于F,连接EF.

由已知可得四边形BCMM是平行四边形，

所以F是BN的中点.

因为E是力B的中点，

所以4V〃EF.

y.EFu平面MEC,AN片面MEC,

所以月N〃平面MEC.

(〃)由于四边形48CD是菱形，LDAB=60SE是AB的中点，可得DE1>1B.

又四边形月DNM是矩形，面1DNM1面月BCD,

DNl^ABCD,

如图建立空间直角坐标系D-xyz,

则D(0,0,0),Eg0,0),C(0,2,0),P(、&-1,h),

CE=(v^,-2,0),乔=(0,-1,h),

设平面PEC的法向量为7=(x,y,2).

rni|(££'711=0'卜"x-2y=o

人%p.元=0，"t-y+hz=0

令y=\3h,n~~(2h,\3h,丫勺),

又平面ADE的法向量汇=(0,0,1),

九巧

・•・cos<n.苏>=::=、:=p解得h=

2InTlInzI、'济+3

^>1,

•••在线段AM上不存在点P,使二面角P-EC-D的大小为g.

lEF=-BD

16.如图，边长为"的正方形力BCD和高为1的等腰梯形EDEF所在的平面互相垂直，EF||BD,2,AC

与B。交于点。，点”为线段。F上任意一点.

E

(I)求证：OFII平面4鸣

(II)求BF与平面力DE所成角的正弦值；

0H

(III)是否存在点“使平面BC"与平面4DE垂直，若存在，求出赤的值，若不存在，说明理由.

4非0H2

【答案】(I)详见解析(n)后(in)存在，且此时而的值为5

【解析】

证明：(I)因为正方形月BCD中，AC与BD交于点。,

所以D。=^BD.

因为EF=：BD,EFIIBD

所以EFIID。目EF=DO

户做EF。防平行四边形.

所以OFIIED.

又因为OFC平面ADE,EDu平面ADE,

所以OFII平面BDE.

解：5)取EF中点M,连结M。，因为梯形BDEF为等腰梯形，所以M。1B>

又因为平面月BCD1平面BDEF,

MOu平面BDEF,

平面4BCD评面BDEF=BD,

所以MO，平面ABCD.

又因为OALOB,

所以CM、OB.OM两两垂直.

如图，建立空间直角坐标系。-孙z,

E(0.-1,1),F(0.i,1),

BF=(O.-7，l),DA=(1,1,0),DE=(0.7.1),

设平面4DE的法向量为元=(x,y.2),

'x+y=0

则朦口，即

三y+z=0'

令戈=1,贝Uy=-Lz=；，所以元=(1,-1I；

设直线BF与平面4DE所成角为0,

BFn

sinO=\cos<BFtn>|=

阳•hi

所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为誉.

(m)设丽=而，

则丽=(0,2)，CH=(1，7X.A),CB=(I,I.O)

设平面BCH的法向量为而=(x,y,z),

则便电二,即卜+4+墨=。，

'-CB-m=0Ix+y=0

令x=1,则)，=-1,2-旨一

所以沅=

若平面8cH与平面4DE垂直，则汨•元=0.

由1+1+费=0,得7=：•

所以线段OF上存在点”使平面BCH与平面4DE垂直，

警的值相

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD为正方形，PA±平面4BCD,E为40的中点，AC交BE于点F,G

为APCD的重心.

(1)求证:FGII平面P4D；

(2)若P4=4D,点”在线段PD上，且P"=2HD,求二面角“-FG-C的余弦值.

_理

【答案】(I)详见解析(2)-T

【解析】

(1)证明：因为AEII8C,所以

因为E为4D中点，所以CF=2AF,

连接CG并延长，交PD于M,连接月M,

因为G为/PCD的重心，

所以M为PD的中点，目CG=2GM,

所以FGIIAM,

因为AMu平面24D,FG评面PAD,

所以FGII平面PAD.

(2)分别以AB,AD,”为x轴,)轴,2轴建立空间直角坐标系.

设P月=4D=3,则C(330),D(0.3,0),P(0.0.3),F(l.l,O),

因为PH=2//D,所以H(021),

因为G为』PCD的重心，所以G(121)

设平面FGC的法向蚩记=(乙,九,z；),FC=(220),FG=(0.1,1),

则俘震:，腮代:"°，

取x=1,则y=-1,z=1,

所以元=(l.-l.l)-

设平面FGH的法向量五=（x;.y;,z=）,FH=（-1.1.1）,

则白.而=o,所*4y+z=0，

则x=0,取y=1,则z=-1,

所以五=（oi--i）-

所以cos二用=需=-乎

由图可知，该二面角为钝角，

所以二面角”-FG-C的余弦值为―一.

1

8.如图，己知在四棱锥P-力BC。中，P41底面4BCD,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,4B=1,点

E为棱PC的中点，

（1）试在棱CD上确定一点M,使平面BEM〃平面P4D,说明理由；

（2）若尸为棱尸。上一点，满足BF14C,求二面角尸-4B-C的余弦值.

回

【答案】（1）详见解析（2）而

【解析】

（1）取CD中点M,则中点即所求的点M.理由如下：

••瓦”分别为「（?（。的中点，:EM//PD.

又：PDu面PAD,EMC面PAD.；.EM//^PAD.

易知四边形ABMP为平行四边形，所以BM//RD,ADa^PAD,BMU面PAD,

BM〃面PAD.

又EMnBM=M，二平面BEM〃平面PAD.

（2）由题意知.4BMDMP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则向量前=(1.2.0),CP=(-2,-2.2),AC=(2,2,0),AB=(1.0.0).

由点、F在棱PC上，设而=xCP,0<>l<1,.

故而=BC+CF=BC+ACP=(1-2A,2-2A.2X).

由而1AC,得乔•M=0,因此2(1-2X)+2(2-2A)=0,解得为=

即法

设7=（*，y，z）为平面E4B的法向量,

14X=0,

力i・4B=0,113

则|后•郎=°，即卜2,+2y+丁=°.

不妨设Z=1,可得平面FAB的一个法向量为记=(0.-3.1).

取平面4BC的法向量亚=(0.0.1),

贝ijcos<rT1.n2>=1n=三=—.

八」-In,IlnJvToio

易知，二面角5一月B-C是锐角，

所以其余弦值为界.

19.如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,E,尸分别为AO,BC的中点，AE=EF,AF="AE.将

四边形ABFE沿所折起，使平面平面EFC。(如图2),G是所的中点.

(2)在线段BC上是否存在一点儿使得。”〃平面ABFE?若存在，求8c的值；若不存在，说明理由;

(3)求二面角。-AC-F的大小.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)90°

【解析】

证明：(1)在图1中，AE=EF.AF=^2AEt.

可得AAEF为等腰直角三角形，AE1EF.

因为AD〃BC,所以EFJ_BF,EF1FC.

因为平面ABFEJ_平面EFCD,且两平面交于EF,CFu平面CDEF,

所以CF1平面ABFE.

又EGu平面ABFE,故CF1EG；

由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF1EG;

又AF1FC=F,所以EG1平面AFC.又ACu平面AFC,所以AC1EG

(2)由(1)知:FE,FC,FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz,

设FE=1,贝(0,0,0),C(0,2,0),B(0,0,2),D(1,1,0).

设H是线段BC上一点，则存在Ae[01]使得丽=ABC.

因此点H(0,2A2-2A)„DH=(-1..2A-1,2-2A).

由⑴知峰)平面ABFE的法向量，FC=(0,2,0),

因为U平面ABFE,所以DHII平面ABFE,当且仅当丽=0,

即(-122-12-22)(020)=0,解得人=：.

所以在线段BC上存在点H使得DHII平面ABFE比时器==.

(3)设A(1,0,1),E(1,0,0),G(0,0,1).

由(1)可得，就是平面AFC的法向量，前=(T01).AD=(01-1)CD=(1.-10),

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

m--=0

AD

T=0fy-z=o

由ICD即=

令x=l,则y=l,z=l.于是n=(1,1,1).

•n

_EG

cos<.n>==0

…EG|||n|

所以EC.

所以二面角D-AC-F的大小为90°.

20.如图所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的边长为2,侧棱长为2、仅.

（I）若点E为PD上的点，且PB〃平面EAC.试确定E点的位置；

（II）在（I）的条件下，点F为线段PA上的一点且师=义力，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角

1

的余弦值为正，求实数4的值.

A=-

【答案】（I）E为PD中点，（II）5

【解析】

（I）设3。交/C于点。，连结OE,

'：PBH平面AEC,平面4ECC平面BDP=OE,

S.PBHOE,

又。为BD的中点，

.,.在ABDP中，E为PD中点.

（H）连结。尸，由题意得尸。1平面相8,且HC13D,

..•以。为原点，OC、OD、。尸所成直线为x,y,2轴，建立空间直角坐标系，

OP-vPD--OD2=历，

.'.A(一、％0,0),B(0,—y/2,0)，C(0,0)，D(0,0),P(0,0,、⑥,

则E(0,冬g),OC=(、％0,0),CE=1%y,y),OD=<0,、％0),

设平面血的法向量m=(x,y,z),

则一J.01=言=0，令z=l,得平面板的一个法向量启=(0,75,1),

hn-CE=-缶++芋2=0

设平面BZ>尸的法向量■=(x,y,z),

由而=大而1,得尸(一、宓，0,、另一、⑥0,OF=(-、②i,-、Z、另一、⑥0,

.5.凉=一坐二为+(8-阚z=0,令d得1=(一,0,D,

n•0D=\f2y=0

・・・平面4EC和平面瓦加所成的锐二面角的余弦值为

・——mn11

..cos<?nn>=―—=—，=一,

MH川Ii3|l-i)214

、+4

解得，=].

21.如图，三棱柱4BC-4B1G的侧面BCG/是平行四边形，BCiiqC,平面41cle41平面BCC]Bi，且用F

分别是的中点

(1)求证：EF〃平面41cle4；

(2)当侧面为。1“是正方形，且B%=GC时，

(i)求二面角F-BG-E的大小；

(ii)在线段EF上是否存在点P,使得4P，EF?若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.

A

3TT

【答案】(1)见解析(2)(i)4(ii)点P在点E处时，有4P1EF

【解析】

证明：(D取儿的中点G,连FG,连GC.

在Al：瓦G中，因为广G分别是4儿Q中点,

所以FG8.C.,且FG/J

在平行四边形BCQ工中，因为E是BC的中点,

所以ECB,C,f且EC=：B；Q.

所以ECFG,且EC=FG.

所以四边形FECG是平行四边形.

所以FEGC.

又因为FEU平面&QC4,GCu平面必QC4,

所以EF平面&GC4

(2)因为侧面&GG4是正方形，所以儿GJ.JC.

又因为平面，4：QC4J■平面BCC_3：,且平面儿仁a4C平面BCJB：=C.C,

所以4Q1平面BCQB.所以&QJ.C.B.

又因为8al.JC,以J为原点建立空间直角坐标系Q-孙z,如图所示.

设C：C=a,则4(0,a,a),B(a,0,0),C(0,a,0),AM0,0,a),Ba(a,-a,0),

E(建,o),F(m

(i)设平面FBG的一个法向量为n=(x,y.z).

4nS=0得卜-第b=0.＜：邸"1，所作=(。」也

又因为4GJ•平面5C*,所以(0Q。)是平面BQE的一个法向量.

1%4|川IaI_G

所以|cos(C：&M|==

kiXillnl一Ia.㈤-2'

由图可知，二面角F-BQ-E为钝角，所以二面角F-BQ-E的大小为学.

(ii)假设在线段Ef•上存在点P,使得AP_LEE

EP

—=A,A€|01]--

设EF,\则EP=AEF.

因为

AP=AE+EP=AE+AEF=(7,-7-ax,-fl+z^),

又”1EF,

所以丽.豆=ExO+(一弓-aQ(-a)+(-a+"A)7=a=(^2+A)=0.

所以W=0e[0,1].

故点P在点E处时，有4PJ.EF

22.在四棱锥P-ABC。中，侧面04。，底面4BCD,底面力BCD为直角梯形，BC//AD,ZADC=90°,BC=CD=1,

AD=2,PA=PD=\后，E为4D的中点，F为PC的中点。

(1)求证：P4〃平面BEF；

(2)求二面角F-BE-4的余弦值。

_A/3

【答案】⑴见证明；(2)"T

【解析】

(1)连接4c交BE于M并连接CE,FN,

BC//AD,BC=，D,E为AD中点，.'AEaBC,且AE=BC,

二四边形ABC防平行四边形，

N为AC中点，又F为PC中点，NF〃PA,

•••NFu平面BEF,PAC平面BEF,二PA//平面BEF.

(2)[解法11](向量法)连接PE,由E为AD的中点及PA=PD=

得PE1AD则PE=、%...侧面PAD，底面ABCD,且交于AD,

/.PE1®ABCD,

如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为

x、y、z轴建立空间直角坐标系，

贝ijE(OOO),4(1.0.0),5(0.1.0),C(-Ll.O)P(0.0.v^).

,；F为PC的中点，「.F(-HF)

EB=(0,1.0)EF=

f一nu十)'+u=u

设平面EBF法向量为河=(x.y.z),贝网,兽=?=x,

<m-EF=0--x+-y+—z=

M■0

取而=(y,l.O.l),

平面EBA法向量可取：n=(0.0.1),

设二面角F-BE-A的大小为力显然9为钝角，

.\cos0=—|cos<inn>|=-,

(m||n|3'

•.二面角F-BE-A的余弦值为—W

»

(2)口解法2工(几何法D连接PE,

得PE1AD'.,DE=1,PE=、②

取PD中点M,连ME,MF,MA,

•••侧面P4D_L底面4BCD,且交于力。，BELAD,

W面P/1D

•/MEu面PADAEci^PAD

：.BELME.BELAE

.「F为PC的中点，M为PD的中点

ME//PA,NF〃PA

/.ME//NF

1.NMEA为二面角F-BE-A的平面角

在Rt/PDE中,cosrPDE=ME=亘，

3,2

在AMDA中，由余弦定理得MA=干

.•.在△MEA中，由余弦定理得cosZMEA=-4,

所以二面角F-BE-A的余弦值为一斗.

（2）R解法32（几何法2）连接PE,由E为AD的中点及PA=PD=、芍

得PE±AD•.•侧面PADJ■底面ABCD,.,.PE_L面ABCD,

连8。交CE于点Q,则Q为CE中点，连QF,QN,FN,

•.•?为。。的中点，；/后〃/<2,FQ±面4BCD,

XQN//BC,/.QN1BE/.FN1BE

.'.ZFNQ为二面角F-BE-A的平面角的补角

在Rt/FQN中，FQ=：PE=乎QN=：BC=：,

由勾股定理得FN=/

/.cosZFNQ=4，

所以二面角F-BE-A的余弦值为-9

3

2

3.在三棱柱4BC-4B1G中，/^=8。=2,乙4。8=120°,。为4避1的中点

（1）证明：&C〃平面8C/；

V15

（2）若"4="',点4在平面力优的射影在4c上，且BC与平面BC3所成角的正弦值为5,求三棱柱

4BC-4iB£的高,

【答案】（1）详见解析；（2）高为G

【解析】

（1）连结交Bg于点E,连结DE,则E是的中点,

又D为a瓦的中点,所以DEIAS，目DEu面BCR4”面BQD,

所以&C湎BCD

(2)取AC的中点0,连结4。，

因为点4在面ABC上的摄影在AC上，S.A.A=A.C,

所以工。，面ABC,可建立如图的空间直角坐标系。-x』z,设&0=a,

因为4c=BC=l,^ACB=120s,

则B(-2,\3.0),C(-1.0.0),^(-2.0.a),D(-

BC=(1,-v^.0).BC[=(0,a),CD=

设彳=(乂)")为面5(?心的法向量,

n-BC^=—\3y+az=0

取y=-a,贝|忻=

万=：x+竺=0

由BC与平面8C_D所成角的正弦值为产，即

|cos<n,BC>1==呼,解得a=岛

所以三棱柱月BC-&尻a的高是、区

24

.如图，在直三棱柱4EC_&BIG中，AB=2,AC=1,CG=W,乙IBC=30。，。为AB的中点.

（1）证明："G"平面

（2）求直线与平面&CD所成角的正弦值

迤

【答案】（I）见解析（2）而

【解析】

（1）连接BC咬于点E,连接DE,因为四边形是矩形，所以点E是BC：的中点,

又点D为胃8的中点，所以DE是d4BQ的中位线，所以DEIIAC,.

因为DEu平面B[CD,AC,C平面为CD,

所以ACJ平面B：CD.

（2）由4B=2,AC=1,zABC=30。，可得力C1BC,

分别以a,CB,cq为x轴、）轴、帮建立如图所示的空间直角坐标系C-M,

则有C（OOO）,瓦（0,何舟,D（e，?.O）,J（0,0,、，3）,

所以DC\=VI）,CBj,=（0,、③、疔）,CD=（；,工