第9章 统计 章末综合教学设计-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

《第九章统计》章末综合教学设计一、知识网络构建核心知识归纳1.简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.2.抽签法先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数.3.随机数法先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数.4.分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.5.获取数据的基本途径(1)通过调查获取数据；(2)通过观察获取数据；(3)通过试验获取数据；(4)通过查询获取数据.6.常用的统计图表扇形图、条形图、频数分布直方图、折线图、频率分布直方图.7.画频率分布直方图的步骤(1)求极差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图.8.第p百分位数(1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.9.众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数.(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数.10.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，标准差为eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2).三、典型例题1.抽样方法的应用【例1】某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个25人的讨论单位发展和薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200小计16032048010402000解：(1)按老年、中年、青年分层，用比例分配的分层抽样法抽取，分配比例为eq\f(40,2000)＝eq\f(1,50).故老年人、中年人、青年人分别抽取4人、12人、24人．(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用比例分配的分层抽样法抽取．分配比例为eq\f(25,2000)＝eq\f(1,80)，故管理、技术开发、营销、生产分别抽取2人、4人、6人、13人．(3)用随机数法：对全部2000人随机编号，号码是1,2,3，…，2000.利用信息技术生成20个不同的随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，与编号对应的20人就是要抽取的样本．【类题通法】1.抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样.2.两种抽样方法比较【巩固训练1】某网站就观众对春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：喜欢程度喜欢一般不喜欢人数560240200现用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本．若从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5，求n的值．解：由题可知，样本容量与总体容量之比为eq\f(n,1000)，则应从不喜欢小品的观众中抽取的人数为eq\f(n,1000)×200＝5，得n＝25.∴n的值为25.2.用样本的取值规律估计总体【例2】下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比.区间界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人数58102233区间界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人数201165解：(1)列出样本频率分布表：分组频数频率[122，126)50.04[126，130)80.07[130，134)100.08[134，138)220.18[138，142)330.28[142，146)200.17[146，150)110.09[150，154)60.05[154，158]50.04合计1201.00(2)画出频率分布直方图，如图所示.(3)因为样本中身高低于134cm的人数的频率为eq\f(5＋8＋10,120)＝eq\f(23,120)≈0.19.所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的19%.【类题通法】与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可利用频率和等于1求解.(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解.【巩固训练2】如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为()A.20 B.30 C.40 D.50【答案】C【解析】前3组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×eq\f(2,1＋2＋3)＝0.25，设样本容量为n，则eq\f(10,n)＝0.25，则n＝40.故选C.3.用样本的百分位数估计总体【例3】（2022·安徽淮北一中）某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）．解：由图可知，，，，，对应频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四分位数为70.0．前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80分位数在第四组．设第80分位数为，则，解得．【类题通法】1.四分位数：第25分位数，第50分位数，第75分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.2.由频率分布直方图求百分位数时，一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程求解.【巩固训练3】（2022河北石家庄市高一月考）高一（1）班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下：5154596064686870717272747576798080818283858788909192939598100则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为（）A．87 B．88 C．90 D．87.5【答案】B【解析】由，可知样本的第75百分位数为第23项数据，据此估计这次数学考试成绩的第75百分位数为88.故选B.4.用样本的集中趋势、离散程度估计总体【例4】根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收入在[6.5，7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭年收入在[7.5，8.5]万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果的频率分布直方图如图所示.(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2；(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量.解：(1)这200户家庭的全年收入的样本均值eq\o(x,\s\up6(－))＝1×0.06＋2×0.10＋3×0.14＋4×0.31＋5×0.30＋6×0.06＋7×0.02＋8×0.01＝4，方差s2＝(－3)2×0.06＋(－2)2×0.10＋(－1)2×0.14＋02×0.31＋12×0.30＋22×0.06＋32×0.02＋42×0.01＝1.96.(2)由频率分布直方图可知，样本中“贫困户”的频率为0.06，所以估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量为100×0.06＝6(万户).【类题通法】为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，中位数为处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中位数为中间两个数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用eq\o(x,\s\up6(－))表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).有时也用标准差的平方(方差)来代替标准差.【巩固训练4】某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表：(1)求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分)；(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？成绩1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人数0006152112330解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,60)×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s2＝eq\f(1,60)×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，所以s≈1.22，故样本的平均成绩为6分，标准差约为1.22分.(2)在60名选手中，有12＋3＋3＝18(名)学生预赛成绩在7分或7分以上，所以估计210人中有eq\f(18,60)×210＝63(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，故大约有63名学生可以进入复赛.操作演练素养提升1.在某时段由辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这辆车的车速的众数（单位：）为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条形图知：个数据出现次数最多的为，所以众数为.故选C.2.（2022·广东·仲元中学高一期末）已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（）A．8 B．7 C．8.5 D．7.5【答案】D【解析】因为从小到大排列为4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10个数据，，所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即，故选D.3.（多选题）（2022·江苏如皋市高一月考）为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”.现从全市参加比赛的学生中随机抽取人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、.规定得分在分及以上的被评为“计算小达人”.下列说法正确的是（）A．的值为B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的频率为C．被抽取的名小学生的均分大约是分D．现准备在这名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则须抽取成绩为的学生人【答案】AD【解析】对于A选项，由频率分布直方图可知，解得，A对；对于B选项，该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，B错；对于C选项，被抽取的名小学生的均分大约是分，C错；对于D选项，现准备在这名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则须抽取成绩为的学生人数为，D对.故选AD.4.（多选题）（2022·湖南娄底市娄星区高一期中）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】设除记错以外的数据为，，因为所以所以所以.故选AC.答案：1.C2.D3.AD4.AC五、课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？六、作业布置完成教材：第222页复习参考题9第1，2，3,4,5,6,7,8,9,10,11题七、课堂记录