保险精算学-趸缴纯保费

第

五

章人

寿

保

险

趸

缴

纯

保

费

的

厘

定本

章

结

构■

人

寿

保

险

趸

缴

纯

保

费

厘

定

原

理■

,死

亡年

末赔

付

保

险

趸

缴

纯

保

费

的

厘

定■

·死

亡即

刻赔

付

保

险

趸

缴

纯

保

费

的

厘

定

递

归

方

程第

一

节人

寿

保

险趸

缴

纯

保

费

厘

定

的

原

理人

寿

保

险

简

介■

什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否

死亡作为保险标的的一种保险。广

义

的

人

寿

保

险

是

以

被

保

险

人

的

寿

命

作

为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被

保险人死亡为标的的狭义寿险，

也包括以保

障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全

保

险

。受

益

金

额

是

否

恒

定

。定额受益保险。变额受益保险保单签约日和保障期

期始日是否同时进行■

非

延

期

保

险■延期保险保

障

标

的

的

不

同■人寿保险(狭义)生

存

保

险■两全保险■

保障期是否有限

定

期

寿

险■

终身寿险人

寿

保

险

的

分

类人

寿

保

险

的

性

质■保

障

的

长

期

性这使得从投保到赔付期间的投资受益(利息)成为

不容忽视的因素。■

保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，

它依赖于被保险人剩余寿命分布。■

被保障人群的大数性付，

统计的原理计趸

缴

纯

保

费

的

厘

定■

假

定

条

件

：假定

一：

同性别、

同年龄、

同时参保的被保

险人的剩余寿命是独立同分布的。■

假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经

验

生

命

表

进

行

拟

合

。■

假定三：保险公司可以预测将来的投资受益

(

即

预

定

利

率

)

。纯

保

费

厘

定

原

理■

原则保

费

净

均

衡

原

则■解

释■

所谓净均衡原则，即保费收入的期望现

时

值

正

好

等

于

将

来

的

保

险

赔

付

金

的

期

望

现

时

值

。

它

的

实

质

是

在

统

计

意

义

上

的

收

支

平

衡

。

是

在

大

数

场

合

下

，

收

费

期

望

现

时

值

等

于

支

出

期

望

现

时

值主

要

险

种

的

趸

缴

纯

保

费

的

厘

定■

n年期定期寿险■

终

身

寿

险■

延

期

m

年

的

终

身

寿

险

n

年

期

生

存

保

险n

年

期

两

全

保

险■

延

期

m

年

的

n

年

期

的

两

全

保

险■

递

增

终

身

寿

险■

递

减n

年

定

期

寿

险—

—

投

保

年

龄x

的

人

。—

—

人

的

极

限

年

龄—

—

保

险

金

给

付

函

数

。

——贴现函数。Z.

f

—保

险

给

付

金

在

保

单

生

效

时

的

现时值z,=b,·v,基

本

符

号(x)COb₁趸

缴

纯

保

费

的

厘

定■

趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的

期望现时值■

趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于E(z,)第

二

节死

亡年

末理

赔的

死

亡

保

险的现

值死

亡

年

末

赔

付死亡年末赔付的含义死

亡

年

末

陪

付

是

指

如

果

被

保

险

人

在

保

障

期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将

在

死

亡

事

件

发

生

的

当

年

年

末

给

予

保

险

赔

付。由

于

赔

付

时

刻

都

发

生

在

死

亡

事

件

发

生

的

当

年年

末

，

所

以

死

亡

年

末

陪

付

时

刻

是

一

个

离

散

随被

保

险

人

签

约

时

的

整

值

剩

余

寿

命

加

一

。

这

正好

可

以

使

用

以

整

值

年

龄

为

刻

度

的

生

命

表

所

提供

的

生

命

表

函

数

。所

以

死

亡

年

末

赔

付

方

式

是

保

险

精

算

师

在

厘

定

趸

缴

保

费

时

通

常

先

假

定

的

理

赔

方

式

。机变量，它距保单生效日的时期长度就等于假设对

于x

岁

的人

的

延

期t

年的

1年定期

的

死亡保险合同规定：

若被保险人在时段(x+t,x+t+l)(达到x+t

岁，在x+t+1

岁之前)死亡，则保险公司在死亡年末支付1元保险金.若

被

保险

人

在

其

他时

段

死

亡，

则保险公司无

支

付。

试

计

算

该

保

单的

精

算

现

值

。预

备

1

:

延

期t年

的

1

年

定

期

的

死

亡保

险1、

计算原理其计算原理为：死者保单对全体保单共有财产的分享.2、计算公式

则有平衡关系式：假设上述的延期t年的

1年定期的保单的现值为×l×(1+i)+¹=1×死者保单对全体保单共有财产的分享t

年

末

的

投资积累每

人

交

的

净

保

费死

亡

人

数初

始

人

数1

元

赔

偿X+tX计

算

原

理

解

释

：假设l=4(人),每人交0.25元，共交

0

.

2

5

×

4

=

1

.

0

0

(

元

)假

设

利

率

i=100%,

则

1

年

末

变

为0

.

25×4×(1+100%)=2(元)假设死亡率=50%,则共

亡

2人.则保险费支出=1×2=2(元)于是并

令

D₄=v

*l₄,

则其

中t=0

表示不延

期

.生

存

年

金

是

以

被

保

险

人

生

存

为

支

付

条

件

的

年

金

.生

存

年

金

的

精

算

原

理

是

“生

者

利”

原则

.所

谓

生

者

利

，

指生

存

者

对

共

有

财

产

中

死者权利部分的享有权.预

备2

:

纯

粹

生

存

年金

与

生

者

利

原

理(1)建模原理现在考虑关于x

岁的人的t年期的纯粹生存年金：合同规定，如果被保险人在t年后仍存活，则保险公司在其x+t岁时支付1元.试求该年金的精算

现值.纯

粹

生

存

年

金

的

现

值建

模

原

理

可以

用

如

下的

等

式

表

示

：x岁的人群的共有财产=该人群在(x+t)

岁时生存的人分

享

的

财

产

.生者

利

原

理记该年金的精算现值为，a

则可得O时刻此人群共缴纳钱类分假设年利率为i,

现值因子为

t时刻还存活的人所领取的保险金在0时刻的现值●其

中。p.=1.

可见，

a是

¥1在生存概率，p、下的数学

期

望(

均

值

)

.令

D=lv*,

则1元

t

年纯粹生存年金的现值

为进

一

步

记5.2.1

1

元

保

险

金

的

终

身

寿

险记x岁

的人

的

1元

保

险

金

的

终

身

寿

险

的

精

算

现

值为

A

·死亡率

9x

119x

219x

nl9xdx

dx+1dx+2

dx+n

1XX+1X+2X+3X+N

X+n+死亡数年龄A×lx=vdx+v²dx+1+

…+vn+1dx+n+

…Ax=V9x+v²119x+…+Vn+1nl9x+

…vdxV²dx+Vn+1dx+n年龄

X

X+1X+2nl9x=d₄

nZ总

收

费：

AxIx死亡率死亡数nl9xd,x+nX+N

X+n+119xdx+1219xdx+29xdx各支出X+3终身寿险年末付的趸交纯保费：终

身

寿

险

精

算

现

值

的

例

子■

例

：假

设50岁

的人投保了10000

元的终

身

寿险，保

险

费在

死

亡

年

末

支

付，

假设年利率

按3%

计算，

试根据表IV计算

其

精

算

现

值

.=

5

1

4

8

.

1

6

(

元

)解

：x=50,i=3%.练

习

：

变

额

保

险

金

的

终

身

寿

险假设第t年的死亡保险金为b,,

则相应的终身寿险的精算现值为5

.

2

.

2

定期

寿

险年

末

付

的

趸

交

纯

保

费例

：

假

设

3

0

岁的

人

投

保。

保

单

规

定

：

被

保

险

人

在

保50

。死

■

解

：

所

求

趸

缴

纯

保

费

可以

看

作

保

额

2

0

0

0

元的

终

身寿险

趸

缴

纯

保

费与

保

额

1

0

0

0

元

的

5

年

定

期

寿

险

趸

缴

纯

保费的

差

额。

则

，·所求趸缴纯保费=2000

A₃o-10004305保

费1

0

0纯付缴给趸，其时求亡元内0年给

付

2

0险

开

始=622.095.2.3

延

期

的

终

身

寿

险5.2.4

n年

生

死

两

全

保

险它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终

时，都支付给付金的一种保险形式。例

：假

设

2

0

年生

死

两

全

保

险的

保

额

为

1

00

0

元

，

试

求

其

在

2

0

岁

签

发

保

单

的

趸

缴

纯

保

费

。■

解：所求趸缴纯保费=1000A

20:20|=561.18寿险的累积费用，是期末生存者为亡故者提供的

寿险保险金支出的累计终值.设投保年龄

为

x,险

种

为

n年定期寿

险

，保

险

金为

1

,

该保

险

的

累积

费

用

为

S,5.2.5

寿

险

的

累

积

费

用X+1

X+2

X+3

X+n-1

X+Ndx+n-1

dx+₁(1+i)n-2

dx(1+i)n-1S×lx+n=d(1+i)”-¹+d+(1+i)”-2