河南中职数学（基础模块）下册 第九章 《立体几何》习题集（含答案）

第九章立体几何同步习题集（附答案）教材名称（完整全称）数学（基础模块）下册教材ISBN号978-7-04-049893-6主编李广全

李尚志出版社高等教育出版社命题范围教材第83页至第124页

第九章立体几何第九章立体几何一、选择题1.下列说法正确的是（）.每一个平面都有确定的面积.一个平面长为宽为.一个平面把空间分成两个部分.两个平面把空间分成三部分2.下列图形不一定是平面图形的是（）.三角形.平行四边形.梯形.四条线段首尾相接形成的四边形三条平行直线最多能确定平面个数（）....4.下列说法正确的是（）.四边形一定是平面图形.角一定是平面图形.梯形不一定是平面图形.两个平面只有一个公共点5.过空间同一点的三条直线（没有任何两条重合）可以确定的平面个数是最多能确定平面个数（）....6.下列说法错误的是（）.若线段在平面内，则直线就在平面内.若点在平面内，点又在直线上，则直线就在平面内.已知平面，若点在平面内，又在平面内，则点在直线上.若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合7．在空间，下列命题中不正确的是()A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点B．若A、B、C、D四个点不共面，则其中任意三点不共线．C．若点A既在平面内，又在平面内，则与相交于直线且A在上D．任意两条直线不能确定一个平面8．一个正方体8个顶点中4个顶点共面的情况有()A．6种B．8种C．10种D.12种9.平行于同一条直线的两条直线一定（）【2013年】A．垂直 B．平行 C．异面 D．平行或异面10．下列命题中，错误的是()【2018年】A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面11.下列各条件中，能确定空间两条直线平行的是（）.它们没有公共点.它们分别与同一条直线垂直.它们在同一平面内且不相交.它们不相交12.直线在平面外是指直线与平面（）.平行.相交.在平面内.相交或平行13.一条直线与另一条直线平行，它与经过另一条直线的平面的位置关系是（）.平行.相交.在平面内或平行.在平面内14.直线是异面直线，与经过的平面的位置关系可能是（）.平行.相交.在平面内.相交或平行15.直线，那么直线与直线是（）.平行直线.相交直线.异面直线.以上均有可能16.平行于同一平面的两条直线的位置关系是（）A、平行B、相交C、异面D、以上均有可能17.在长方体中，分别是上的点，且，则与的关系是（）.平行.相交.重合.异面18.直线∥平面，那么平行于内的（）.全部直线.任意直线.唯一直线.过的平面与的交线19.直线∥平面，，那么直线与直线是（）.平行直线.相交直线.异面直线.平行直线或异面直线20.下面说法正确的是（）.一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。.一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。.一个平面内的任一直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。.分别在两个平行平面内两条直线互相平行。21.如果平面∥，直线a，直线b，则a与b的关系是（）A、平行B、异面或相交C、平行或异面D、相交22.在空间内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是（）.平行.相交.异面直线.以上都有可能23.下列结论中，正确的为（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（）.（1）和（3）.（2）和（3）.（1）.（1）和（2）24.若直线∥平面，直线平面，则与的关系是（）.垂直.平行.相交但不垂直.以上都不对25.下列说法正确的是（）.一条直线垂直于三角形的两条边，则该直线与三角形所在的平面垂直.一条直线垂直于梯形的两条边，则该直线与梯形所在的平面垂直.一条直线垂直于平面内无数条直线，则该直线与平面垂直.两条平行直线中一条垂直于一个平面，另一条不一定垂直于这个平面26.如果直线，并且直线平面，那么与平面的关系是（）...∥.∥或27.教室内有一直尺，无论如何放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线（）A、异面B、相交C、垂直D、平行28.若平面，平面，且则与平面的关系为（）A、斜交B、C、∥D、以上都有可能29.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（）A、平行B、垂直C、相交但不垂直D、无法确定30．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC且PA=PB=PC，且A、B、C在同一个平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D.重心31.下列说法中不正确的是()【2011年】A.平行于同一条直线的两条直线互相平行B．垂直于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两条直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直32．垂直于同一个平面的两个平面一定()【2014年】A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．前三种情况都有可能33.垂直于同一个平面的两个平面()【2015年】互相垂直B．互相平行C．相交D．前三种情况都有可能34．在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是()【2016年】A．平行 B．相交 C．异面D．以上三种情况均有可能35.垂直于平面的两条不重合直线一定()【2010年】A.平行B．垂直C．相交D.异面36.若线段与它在平面内的射影的长之比是，则与平面所成的角的大小是（）....37.如果二面角的一个面上的点到棱的距离是它到另一个面的距离的倍，那么这个二面角的平面角应该满足（）....38.在二面角的一个面内有一个已知点,它到棱的距离等于它到另一个面的距离的倍,则这个二面角的大小为——为（）A、450B、300C、900D、60039.两个平行平面之间的距离12cm，一条直线和它们相交成600角，那么这条直线夹在两平面之间的线段长是（）A、8cmB、24cmC、12cmD、6cm40.在正方体ABCD--ABCD中，二面角D-AB-D的大小是()【2012年】A.30°B．60°C．45°D．90°41．正三棱柱各棱长都是，分别是的中点，则与所成的角的余弦值是()【2019年】A.B.C.D.42.下列说法错误的是（）.棱柱的侧面都是平行四边形.直棱柱的侧面都是矩形.棱柱的侧棱长不一定相等.过棱柱的不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形43.一个正方体的棱长缩小到原来的一半，它的体积缩小到原来的（）....44.如果棱柱的侧面都是矩形,则这个棱柱一定是（）A、正棱柱B、直棱柱C、正方体D、长方体45.正方体的棱长为，则其对角线长为（）A、B、C、D、46.正四棱柱的底面边长和高都为1，则其全面积是()A．6B．4C．2D．147.若正四棱柱的对角线和侧面所成的角为30°，底面边长为a，则它的体积是()A．B．C.D．48.下列说法正确的是（）.底面是矩形的平行六面体是长方体.底面是平行四边形的直棱柱是长方体.侧面是矩形的平行六面体是长方体.底面和侧面都是矩形的棱柱是长方体49.一棱锥被平行于底面的截面所截，顶点与截面的距离与棱锥高之比1：2，则截面面积与底面面积之比是（）.1：2.2：4.1：4.1：850.正四棱锥的侧棱及底面边长都为2，则这个棱锥侧面积为（）....51.正三棱锥的高为，底面边长为，则体积为（）....52.一个正四棱锥的底面边长为2,高为3，则体积为（）A、B、C、D、53．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等为，则它的体积为()A．B．C．D．．54.圆柱侧面积为，一底面半径为，则体积为（）....55．圆柱的底周长为cm，高为4cm，则轴截面的面积是()A.B.C.D.56．把边长分别为，b的长方形卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为()A．B.C．或D．57.若轴截面是正方形的圆柱的侧面积为，则圆柱的体积等于()....58.已知圆柱的底面面积是，轴截面面积是，它的侧面积为（）....59.一个圆锥的轴截面为等边三角形且面积为，则圆锥的高（）....60.一个物体的下半部分为圆柱，上半部分为圆锥，圆锥的底面与圆柱的底面时半径相同的圆，已知圆柱半径为3，高度为8，圆锥的母线长为5，则该物体的表面积为（）....61.一个边长为的正三角形，以其一条高为轴旋转一周所得旋转体的全面积为（）A、B、C、D、62．圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的半径为18，圆心角为240°，则圆锥的体积为()．A.B.C.D.63.圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积()A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的2倍C.不变D.缩短到原来的64.已知球的大圆周长为，则这个球的体积为（）....65.一个玩具的下半部分为半径为3的半球，上半部分为圆锥，圆锥的母线长为5，圆锥的底面与球的截面密合，则该玩具的全面积为（）....66.一个球的体积为，该球内切于一个正方体内，那么这个正方体的棱长为（）....67.球的半径扩大一倍，它的体积扩大到原来的（）倍.....68.球的半径为，截面圆周长为，则球心到截面圆心的距离是（）....69.已知球的大圆周长为，则这个球的表面积为（）....二、填空题1.正方形是图形；正方体是图形。2.当平面正对我们竖直放置时，通常把平面画成。3.水平放置的平面用平行四边形表示时，把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的倍。4.如果一条直线上有点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。5.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过的公共直线。6.的三点可以确定一个平面。7.直线和一点可以确定一个平面。8.两条或直线可以确定一个平面。9.若在平面内，记，直线在平面内，记。10．三个平面最多把空间分成部分.【2014年】11.过直线外一点有条直线与这条直线平行。12.在正方体中，下列直线的位置关系是(1)是直线（2）是直线(3)是直线。13.若三角形ABC在平面内，P在平面外，则图形P-ABC中异面直线为______________。14.直线与平面交于用符号表示为________；直线与平面平行用符号表示为________；直线在平面内用符号表示。15.在正方体中，下列位置关系是(1)直线；（2）直线和平面；(3)直线和平面是;(4)直线和平面是;16.如果直线与平面没有公共点，则直线与平面的位置关系为。17.在正方体中，互相平行的平面有对。18.平面∥平面，直线，则直线与关系是19.直线，∥，则。20.若∥，是平面、外一点，过P的两条直线和交平面于，交平面于，，则。21.垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是。22.垂直于同一平面的两条直线。23.平面则。24.如果直线⊥,且⊥平面，则与平面的关系为。25.空间四边形ABCD各边及两条对角线长均为1,E是对角线BD的中点,则B到平面ACE的距离为。26.已知长方体中，AB=4，AD=2，则与平面的距离为。27.正方形ABCD，AB=PD=1，则P到AC的距离为28．已知正方形ABCD的边长为，PA⊥平面ABCD，且PA=b，则PC=____【2007年】29.在正方体中，直线与所成的角为度。30.点到平面的一条垂线段，斜线段，那么斜线与平面的夹角为度。31.正方形所在的平面外一点，有，则二面角的余弦值为。32.在二面角的一个面内有一点到另一面的距离为，则点到棱的距离为。33.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后.34.已知正方体中，二面角的大小为。35.在45°二面角的一个平面内有一点A，它到另一平面的距离为，则点A到棱的距离为。【2006年】36.正方体ABCD-A1B1C1D1中AC与AC1所成角的正弦值为___.【2015年】37．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,则_________．【2016年】38．若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为．【2013年】39．正六棱柱的底面边长是1，侧棱长也是1，则它的体积是．【2011年】40．将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_____倍.【2017年】41．侧棱长和底面边长都为1的正三棱锥的体积为．【2017年】42.圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则其体积是____________.【2020年】【2021年】43.已知正方体棱长为，则它的对角线长为．44.正方体的对角线长为，则它的棱长为．45.已知正四棱柱底面长为，高为，则它的底面积为；体积为．46.若长方体的长、宽、高分别为，则对角线长为。47．设正四棱柱的对角线长是3cm，底面边长为2cm，则它的体积为____．48.底面边长为1，侧棱长也为1的正六棱柱，其体积为．49.若正四棱柱底面边长为，侧面对角线长为，则正四棱柱的对角线长为。50.在正三棱锥中，若底面边长为，侧棱长为，则其高为，侧棱与底面所成的角为。51.设正四棱锥底面长为，高为，则它的斜高为；侧面积为。52.在正方体中，是正三棱锥的四个顶点，则正方体的全面积是正三棱锥的全面积之比为.53.已知正四棱锥的侧面积等于底面积的倍，则它的侧面和底面所成二面角等于。54.圆柱底面半径为，高为，其全面积为。55.一个圆柱的高为，底面半径为，一个平面截的圆柱的截面为正方形，则这个截面与轴的距离为。56．圆柱的轴截面面积为4，则侧面积为____．57.圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的表面积_______________．58.以直角边长为的等腰直角三角形一直角边为轴旋转一周，形成的圆锥的轴截面面积为___。59.圆锥的底面半径为，轴截面为直角三角形，圆锥的全面积为。60.一个圆锥，底面积不变，高扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的倍。61.一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是15，则圆柱的体积为_______。62．圆锥的底面面积为，母线与底面所成的角为60°，其体积为____．63.如果一个球的半径缩小为原来的一半，则它的表面积缩小为原来的倍。64.球心到截面圆心距离为，球的半径为，则截面圆的直径为。65.三个球的半径之比为，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的倍。66.若与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，则球的表面积是。67.已知两球的表面积比为9:16，则这两个球的体积比为。68.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为4,则这个球的体积为。69.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则球的半径是。70．-个正方体的顶点部在球面上，它的棱长是6cm，则这个球的体积是____．71.一个正方体的全面积为，它的顶点都在球面上，这个球的表面积为____．72.已知长方体的长为2，宽为3，高为6，求它的对角线长_______。73.已知正方体的对角线长为，求它的棱长_________。三、计算题1.用符号表示下列语句（1）：若不在直线上（2）直线不在平面内2．已知A，B是直二面角的棱上两点，线段AC，线段BD，且AC⊥，BD⊥，AC=AB=6，BD=24，求线段CD的长.【2008年】3.以等腰直角△ABC的斜边BC上高AD为折痕，使平面ABD与平面ADC互相垂直，求∠BAC．【2009年】4．已知正六棱柱的底面边长为，高为，求它的全面积．5.正三棱柱的侧面积为，高为，求它的体积6.若正三棱锥的侧棱长于底面边长都是，求该棱锥的高。7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，已知，求该棱锥的体积。8.已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，求它的体积。9.已知圆柱的底面半径为2，体积为，求圆柱的高与全面积.10.一个工件由圆柱中间去掉一个圆锥构成，已知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，求工件的体积。11．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得的小圆锥底面与圆锥底面半径的比是1:4，小圆锥的母线长是3cm，求圆锥的母线长．已知圆锥的底面半径为，它的轴截面是直角三角形，求圆锥的体积。13.已知圆锥的轴截面是直角三角形，求它的侧面积于底面积之比值。14.将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.15.已知球的半径为41cm，一个球的截面与球心的距离为9cm，求该截面的面积．16.已知正方体各顶点都在球面上，正方体棱长为2，求球的体积。17.一个球的体积为，该球内切于一个正方体内，求这个正方体的棱长。四、证明题1．如图9-05，已知三角形ABC各边所在直线分别与平面交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线．2．如图9-06，O是正方体ABCD--ABCD的上底面ABCD的中心，M是对角线AC和截面BDA的交点。求证：O、M、A三点共线．3.已知：分别是空间四边形的边的中点，且，试问：四边形是什么图形，并说明理由。4.正方体中,分别是棱的中点，求证:∥平面.5.如图,P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，E是PA中点.求证:PC//平面BDE。6.已知∥，求证：∥。7.空间四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB.BC,CD,DA上的点，且EFGH是平行四边形，求证：AC//EF.8.正方体中，求证：平面∥平面.9.在正方体中，求证：。10.等腰三角形的底边的中点为，,求证：.11.已知平面，垂足分别是，求证：。12.在空间四边形中，若，为对角线中点，求证：。13.如图，ABCD是矩形E是以DC直径的半圆上一点，平面CDE⊥平面ABCD。求证：CE是AE、BC公垂线。14.空间四边形中，平面平面，，为的中点，求证：平面平面。15.四棱锥中，为矩形，平面平面，求证：16.已知在平面内有平行四边形，是对角线的交点，点在外，且，求证：如上图，四边形是正方形，为平面外一点，平面，求证：平面平面18．圆的直径是AB，PA垂直于圆所在平面，C为圆上不同于A，B的任一点，求证：平面⊥平面.P是△ABC所在平面外的一点，PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC，H是垂足．求证：H是△ABC的垂心.如图9-27，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆上一点，平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE是AE、BC的公垂线【2006年】21.菱形ABCD在平面上，PA⊥，求证：PC⊥BD【2010年】22．在正方体，证明：直线AC平面．【2016年】23．如图所示，矩形ABCD所在的平面与直角三角形ABE所在的平面互相垂直．。证明：平面平面．【2019年】24.如图1所示，在直四棱柱中，AD⊥AB，AD=AB=1，BC=，DC=2，求证：平面⊥平面.【2020年】25．如图所示，在直三棱柱中，是边长为4的正方形，，求证：平面．（请将23题图画在答题卡上，并作答）26.已知正方体ABCD-ABCD，证明：直线AC与直线AD所成角的余弦值为.【2012年】27.已知正方体棱长是，求证:三角形为等边三角形.【2014年】五、综合题1．ABCD是边长为2ABC=60°，PC⊥底面ABCDPC=2EFPAAB的中点.【2018年】EFPBC；E-PBC的体积.2．如图，正方体的棱长为1.【2017年】（1）求与所成的角；（2）求三棱锥的体积.六、判断题1.判断题两条相交直线可以确定一个平面()【2006年】2．判断题：如果一平面内有无数条直线与另一平面平行，则这两个平面平行．()【2006年】3．判断题：平行于同一平面的两条直线平行．()【2008年】4.判断题：过平面外一点P可以作无数条直线与平面平行()【2009年】5．判断题：过直线外一点有无数条直线与该直线平行．()【2010年】第九章立体几何答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.C6.B7．D8．D9.B10.C11.C12.D13.C14.D15.D16.D17.A18.D19.D20.C21.C22.D23.C24.A25.A26.D27.C28.C29.B30．A31.D32．D33.D34．D35.A36.B37.C38.A39.A40.C41．A42.C43.C44.B45.C46.A47.B48.D49.C50.C51.D52.A53.B54.D55.C56.C57.A58.A59.C60.C61.D62.A63.A64.B65.A66.A67.D68.A69.B二、填空题1.平面；立体2.矩形3.，2。4.两5.这个点6.不在同一条直线上7.这条直线外8.相交，平行9.，10.811.且只有一12.(1)平行（2）异面(3)平行。13.14.；∥；15.(1)平行；（2）平行；(3)相交;(4)在平面内;16.平行17.318.平行19.∥20.921.垂直22.平行23.24.平行或在平面内25.26.27.28．29.4530.3031.32.33.34.35.36.37．60°或QUOTE38．39．40．QUOTE41．QUOTE42.16π43.44.45.；46.47．48.49.50.，51.;52.53.54.55.56．57.58.59.，60.61.62．63.64.65.66.67.27:6468.69.70．71.72.73.三、计算题1.用符号表示下列语句（1）：若不在直线上（2）直线不在平面内解：（1）：（2）2．已知A，B是直二面角的棱上两点，线段AC，线段BD，且AC⊥，BD⊥，AC=AB=6，BD=24，求线段CD的长.【2008年】解由于平面是直二面角，且AC⊥，AC，所以AC⊥，AD因此CA⊥AD在直角△ACD中，CD=AC+AD在直角△ABD中，AD=AB+BD因此CD==183.以等腰直角△ABC的斜边BC上高AD为折痕，使平面ABD与平面ADC互相垂直，求∠BAC．【2009年】解连接BC,由题设∠A=90°，且AB=AC设AB=AC=，则BD=DC=，由于平面ABD与平面ADC互相垂直．因此∠BDC=90°，于是BC==故△ABC是等边三角形，∠BAC=60°4．已知正六棱柱的底面边长为，高为，求它的全面积．解:由题意得，侧面积为，所以全面积为.5.正三棱柱的侧面积为，高为，求它的体积解:设底面边长为由题意得侧面积为，所以，体积为.6.若正三棱锥的侧棱长于底面边长都是，求该棱锥的高。方法一：利用高、侧棱及其射影组成的直角三角形求.解:由题意得，侧棱的射影长为：，所以棱锥的高为.方法二：利用高、斜高及其射影组成的直角三角形求.解:由题意得斜高，斜高的射影为：，所以棱锥的高为.7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，已知，求该棱锥的体积。解:由题意得把作为棱锥的高，三角形作为棱锥底面，，所以体积为.8.已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，求它的体积。解:设底面的半径为，由题意得，，所以它的体积为.9.已知圆柱的底面半径为2，体积为，求圆柱的高与全面积.解:由题意得，底面的半径为，它的体积为，所以.10.一个工件由圆柱中间去掉一个圆锥构成，已知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，求工件的体积。解:由题意得，圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以.工件的体积11．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得的小圆锥底面与圆锥底面半径的比是1:4，小圆锥的母线长是3cm，求圆锥的母线长．解：设圆锥的母线长为，小圆锥底面与圆锥底面半径分别为,，根据相似三角形的性质得即=12．即圆锥母线长为12cm.12.已知圆锥的底面半径为，它的轴截面是直角三角形，求圆锥的体积。解:由题意得，圆锥的母线为，圆锥的高为所以.它的体积13.已知圆锥的轴截面是直角三角形，求它的侧面积于底面积之比值。解:由题意得，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，底面积为所以.它的侧面积于底面积之比值为14.将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.解:由题意得，圆锥的母线为，底半径为，圆锥的侧面积为，底面积为所以.它的表面积为又因为圆锥的高为所以.它的体积为15.已知球的半径为41cm，一个球的截面与球心的距离为9cm，求该截面的面积．解:由题意得，截面半径为，截面的面积为16.已知正方体各顶点都在球面上，正方体棱长为2，求球的体积。解:由题意得，球的直径等于正方体对角线长，，球的半径为所以球的体积为17.一个球的体积为，该球内切于一个正方体内，求这个正方体的棱长。解:由题意得，球的体积为，球的半径为所以正方体的棱长为四、证明题1．如图9-05，已知三角形ABC各边所在直线分别与平面交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线．证明：设三角形ABC所确定的平面为，直线AP，AQ，BR，即点P，Q，R∈，又P，Q，R∈，所以P，Q，R∈∩，所以P，Q，R共线．2．如图9-06，O是正方体ABCD--ABCD的上底面ABCD的中心，M是对角线AC和截面BDA的交点。求证：O、M、A三点共线．证明∵AC∩BD=O，BD平面BDA，AC平面AACC∴O∈平面BDA，O∈平面AACC∵AC∩平面BDA=M，AC平面AACC．∴M∈平面BDA，M∈平面AACC又∵A∈平面BDA，A∈平面AACC，∴O、M、A都在两个平面BDA和平面AACC的交线上，由公理2可知O、M、A三点共线．3.已知：分别是空间四边形的边的中点，且，试问：四边形是什么图形，并说明理由。解:四边形是矩形.原因如下：联结因为分别是的中点，所以为三角形的中位线，于是∥，且，同理可得∥，且，因此，∥，且，故四边形是平行四边形.又因为所以四边形是矩形.4.正方体中,分别是棱的中点，求证:∥平面.证明:设是的中点,联结因为分别是的中点，所以为三角形的中位线，于是，∥，,又因为，∥，所以，∥且，故四边形是平行四边形.因此∥.又因为，平面。平面因此，∥平面.5.如图,P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，E是PA中点.求证:PC//平面BDE。证明:联结,交的于因为分别是的中点，所以为三角形的中位线，于是，∥，又因为，平面BDE,平面BDE因此，PC//平面BDE。6.已知∥，求证：∥。证明:因为，,∥，所以，∥，又因为，，所以∥.7.空间四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB.BC,CD,DA上的点，且EFGH是平行四边形，求证：AC//EF.证明:因为，EFGH是平行四边形，所以，∥又因为，平面,平面，所以，∥平面，又因为，平面，平面平面，所以，AC//EF.8.正方体中，求证：平面∥平面.证明:由题意得∥所以是平行四边形，所以，∥又因为，平面,平面，所以，∥平面，同理∥平面，又因为，平面，且，所以，平面∥平面.9.在正方体中，求证：。方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.证明:由题意得联结因为平面平面，所以，又因为是平面相交直线。所以，平面，又因为，平面，所以，.方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.证明:因为平面平面，所以平面平面ABCD交线为，又因为为正方形，所以，因为平面ABCD，所以，.又因为，平面，所以，.10.等腰三角形的底边的中点为，,求证：.方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.证明:因为等腰三角形的底边的中点为，所以因为,平面，所以，又因为，是平面相交直线,所以，平面，又因为，平面，所以，.方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.证明:因为,平面，所以平面平面交线为，又因为等腰三角形的底边的中点为，所以又因为平面所以，平面，又因为，平面，所以，.11.已知平面，垂足分别是，求证：。方法：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直.证明:因为平面，,所以同理又因为，是平面相交直线,所以，.12.在空间四边形中，若，为对角线中点，求证：。方法：已知线线垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出面面垂直.证明∵AB=AD，K为BD中点∴AK⊥BD同理CK⊥BD，且AK∩KC=K∴BD⊥平面AKC∵平面，∴13.如图，ABCD是矩形E是以DC直径的半圆上一点，平面CDE⊥平面ABCD。求证：CE是AE、BC公垂线。方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直.证明：因为ABCD是矩形，所以AD⊥DC，BC⊥DC又平面CDE⊥平面ABCD交于DC，所以AD⊥平面CDE，BC⊥平面CDE所以AD⊥CE，BC⊥CE由于∠DEC是圆的直径所对的圆周角，所以CE⊥DEAD∩DE=D所以CE⊥平面ADE又因为平面ADE所以CE⊥AE故CE是AE、BC的公垂线14.空间四边形中，平面平面，，为的中点，求证：平面平面。方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出面面垂直.证明:因为，为的中点，所以因为平面平面，交线为,平面ABC所以又因为平面，所以，平面平面.15.四棱锥中，为矩形，平面平面，求证：方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出线线垂直.证明:因为为矩形，所以因为平面平面，交线为,平面ABCD所以又因为平面，所以，.16.已知在平面内有平行四边形，是对角线的交点，点在外，且，求证：方法：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直.证明∵PA=PC，O为AC中点∴PO⊥AC同理PO⊥BD，且AC∩BD=O∴PO⊥平面ABCD∴17.如上图，四边形是正方形，为平面外一点，平面，求证：平面平面方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.证明:因为为正方形，所以因为平面，平面ABCD所以又因为，是平面相交直线,所以，.又因为平面，所以平面平面方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.证明:因为平面，平面PAC所以平面平面ABCD又因为为正方形，所以且平面ABCD，所以，.又因为平面，所以平面平面18．圆的直径是AB，PA垂直于圆所在平面，C为圆上不同于A，B的任一点，求证：平面⊥平面.方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.证明:因为圆的直径是AB，C为圆上不同于A，B的任一点，所以因为平面，平面ABC所以,又因为是平面相交直线,所以，.又因为平面，所以平面平面方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.证明:因为平面，平面PAC所以平面平面ABC交线是因为圆的直径是AB，C为圆上不同于A，B的任一点，所以且平面ABC，所以，.又因为，所以平面平面19．P是△ABC所在平面外的一点，PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC，H是垂足．求证：H是△ABC的垂心.方法：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.证明连接BH,∵BP⊥PABP⊥PC∴BP⊥面PAC，因为AC平面PAC∴BP⊥AC又因为PH⊥平面ABC，因为AC平面ABC,所以PH⊥AC又因为BP和PH为平面PBH相交直线∴AC⊥面PBH，因为BH平面PBH,∴BH⊥AC.同理可证CH⊥AB综上可知H是△ABC的垂心20.如图9-27，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆上一点，平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE是AE、BC的公垂线【2006年】方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直.证明：因为ABCD是矩形，所以AD⊥DC，BC⊥DC又平面CDE⊥平面ABCD交于DC，所以AD⊥平面CDE，BC⊥平面CDE所以AD⊥CE，BC⊥CE由于∠DEC是圆的直径所对的圆周角，所以CE⊥DEAD∩DE=D所以CE⊥平面ADE又因为平面ADE所以CE⊥AE故CE是AE、B