专题21 二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）（解析版）

专题21二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）1．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点，，代入得解得：，∴抛物线解析式为；（2）∵点，，∴抛物线的对称轴为直线：，如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵点在抛物线上∴解得：（舍去）或,∴，如图所示，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，∵点在抛物线上∴解得：（舍去）或，∴，当点与点重合时，如图所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此时，综上所述，或或；【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为；(2)存在，点M的坐标为或或；【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴，将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为；将代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．∴当时，，∴，①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，得，解得，∴直线的解析式为，解方程组，得或，∴点M的坐标为；②当时，设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的解析式为，解方程组，解得或，∴点M的坐标为或综上，点M的坐标为或或；【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．3.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，，分别列出等式求解即可．(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴;(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t），∴，，∴∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)设点M（m,m2-2m-3），，，,①当时，，解得，（舍），，∴M（1，-4）；②当时，，解得，，（舍），∴M（-2，5）；③当时，，解得，，∴M或；综上所述：满足条件的M为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．

(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】(1)；(2)取得最大值为，；(3)点的坐标为或或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解．【详解】（1）解：将点，．代入得，解得：，∴抛物线解析式为：，（2）∵与轴交于点，，当时，解得：，∴,∵．设直线的解析式为，∴解得：∴直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，交于点，

设，则，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，取得最大值为，，∴；（3）∵抛物线将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，∴,∴∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则点的横坐标为，设，∴，，当时，，解得：或，当时，，解得：综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．①当取得最大值时，求的值和的最大值；②当是等腰三角形时，求点的坐标．【答案】(1)；(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，∴抛物线对称轴为直线，在中，当时，，∴抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，∴，∴，∴抛物线解析式为（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于点，与直线交于点∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；②设直线与x轴交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如图3-1所示，当时，过点C作于G，则∴点G为的中点，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，∴，即，∴点E的纵坐标为5，∴，解得或（舍去），∴如图3-3所示，当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴综上所述，点E的坐标为或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；

（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．

∴1-b+c=0c=-3，

∴b=-2c=-3，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，

∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，

令y=0，则x2-2x-3=0，

解得x=-1或3，

∴B（3，0），

∴OB=OC=3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），

∴D2（1，-3），

∵D，D1关于x轴的长，

∴D1（0，2），

∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，

∴△DEF的周长的最小值为26．

（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．

∴S△ABM=2d，

又∵S△AMN=2d，

∴S△ABM=S△AMN，

∴B，N到AM的距离相等，

∵B，N在AM的同侧，

∴AM∥BN，

设直线BN的解析式为y=kx+m，

则有m=-33k+m=0，

∴k=1m=-3，

∴直线BC的解析式为y=x-3，

∴设直线AM的解析式为y=x+n，

∵A（-1，0），

∴直线AM的解析式为y=x+1，

由y=x+1y=x2-2x-3，解得x=1y=0或x=4y=5，

∴M（4，5），

∵点N在射线BC上，

∴设N（t，t-3），

过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．

∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），

∴AM=52，AN=(t+1)2+(t-3)2，MN=(t-4)2+(t-8)2，

∵△AMN是等腰三角形，

当AM=AN时，52=(t+1)2+(t-3)2，

解得t=1±21，

当AM=MN时，52=(t-4)2+(t-8)2，

解得t=6±21，

当AN=MN时，(t+1)2+(t-3)2=(t-4)2+(t-8)7．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．

(1)当时，求点的坐标；(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．【答案】(1)；(2)或；【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解．（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在．【详解】（1）∵，∴抛物线的顶点坐标．∵，点和点关于直线对称．∴．（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，∴，抛物线．∴当时，可得．①当时，如图1，过作轴，垂足为．∵，∴．∵∴．∴．∵，∴．∵直线轴，∴．∴．∵，∴．∴．又∵点在图像上，∴．解得或．∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意．将代入，得．

②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得．∵，∴．∵，∴．∴．又∵点在图像上，∴．解得或．∵，∴．此时符合题意．将代入，得．③当时，此情况不存在．综上，所对应的函数表达式为或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．8．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，的最大值为，；(3)或【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设，可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，解得：，抛物线的解析式为．（2）解：设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为；设（），，解得：，，，，，，，当时，的最大值为，，．故的最大值为，．（3）解：存在，如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，∵抛物线的对称轴为直线，设，，，，，，解得：，；设直线的解析式为，则有，解得，直线解析式为，，且经过，直线解析式为，当时，，

；综上所述：存在，的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．9.（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为（3-2t，4-t），∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M点的坐标为（，）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．10.（2021·江苏中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，∴抛物线的解析式是；（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ，∵C（0，2），E（2，0），∴直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，∴点P的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，∵PH∥y轴，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，∵C（0，2），B（4，0），∴直线BC的解析式为，设G（0，m），∵A（-1，0），∴直线AF的解析式为y=mx+m，解方程组，得，∴点F的坐标是，∴，当CG=CF时，，解得：（舍去负值），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=；当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），∴PH=2-=1.5；当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），∴PH=；综上，PH=或1.5或．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．11.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．

（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；（3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，；，；，．【分析】（1）由和，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点作，交抛物线于点，②在下方作交于点，交抛物线于；（3）为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当；②当；③当．【详解】解：（1）将和代入得又∵顶点的坐标为∴∴解得∴抛物线的解析式为：．（2）∵和∴直线的解析式为：∵抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，则C点坐标为，B点坐标为．①过点作，交抛物线于点，则直线的解析式为，结合抛物线可知，解得：（舍），，故．②过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，由可知四边形为正方形，∵直线的解析式为∴与轴交于点，在下方作交于点，交抛物线于∴又∵OC=CG，∴≌，∴，，又由可得直线的解析式为，结合抛物线可知，解得（舍），，故．综上所述，符合条件的点坐标为：，．（3）∵，∴直线的解析式为设M的坐标为，则N的坐标为∴∵，∴直线的解析式为∵为等腰直角三角形∴①当时，如下图所示则Q点的坐标为∴∴解得：（舍去），，∴此时，；，；②当时，如下图所示则Q点的坐标为∴∴解得：（舍去），，∴此时，；，；③当时，如图所示则Q点纵坐标为∴Q点的坐标为∴Q点到MN的距离=∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：（舍去），，∴此时，；，．综上所述，点及其对应点的坐标为：，；，；，；，；，；，．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．12.（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出“雁点”坐标即可；（2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标．【详解】解：（1）联立，解得或即：函数上的雁点坐标为和．（2）①联立得∵这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴∵∵∴②将代入，得解得，∴对于，令有解得∴过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=，MH=∴∴为等腰直角三角形，（3）存在，理由如下：如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，∴CH=PK，HP=KB，即∴当时，∴如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴KP=JB，KC=JP设P（x，y），C（m，m）∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，即解得令解得∴或如图3所示，∵△RCP≌△TPB∴RC=TP，RP=TB设P（x，y），C（m，m）即解得令解得∴此时P与第②种情况重合综上所述，符合题意P的坐标为或或【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．13.（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解．【分析】（1）由题意易得，然后设二次函数的解析式为，进而代入求解即可；（2）由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可分①当时，②当时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；（4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰，②当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型”进行求解即可．【详解】解：（1）∵，，，∴，设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，∴二次函数的解析式为，即为；（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线，设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，解得：，∴直线BC的解析式为，∴点，，∴由两点距离公式可得，若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有，①当时，则有轴，如图所示：∴点，②当时，如图所示：∴，∴，∴点；（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：∵OC=8，点D为CO的中点，∴OD=4，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：，解得：，∴直线HI的解析式为，当y=0时，则有，解得：，当x=1时，则有，∴点，∴点G走过的最短路程为；（4）存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下：设点，则有：①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如图所示：过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，∴，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵等腰，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵点，∴，解得：（不符合题意，舍去），∴；②当点