现代数字信号处理课后习题解答

习题二

1、求证：R&3)=Cx(/",)+mximxjo

证明：R&,t)=E(x,Xj)=jjx,.xy.p(x,.,xj,f,.,')dxidxj

C《”tj)=E[(x;-以),(x厂%)]

="(七一),(Xj-mx)p(x,,Mx/)

--x.mr-xmv+mrmr)p(x；,x;,r,f)dx.dx.

=/?Ar(xtf,rJ)/-/7iAvymAr;-mAjYmY+mAYymAY:

=—)一%加X,

2、令](〃)和y(〃)不是相关的随机信号，试证:若w(n)=x(n)+y(ri),则mw=mx4-m

-r?27

和Mq=4+%。

证明：⑴

加3=取(〃)]=E[x(n)+y(n)]

=E[x(n)]+E[y(n)]

=mx+tny

W=E(y(〃)-加°)2]

M2

=E[[x(n)+y(n)-(mx+/V)]}

⑵=E[(x(〃)-%)+(>(〃)一%)f

2

=E[(x(n)-mx)-]+E[(y(n)-mv)]+2E[(x(n)-砥)(y(〃)一吗)]

=b：+<7；+2[mxmy-mxmy-mxmy+mxmy]

即b：=b：+b；

3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明：

①当r=0时，4(0)=七,C,(0)=近；

②当7=00时，&(00)=〃2；,CX(co)=0。

证明：(1)

R、，)=E[x(f)x(f+r)]R、(0)=卜2⑺p(x,7心

=jjx(f)x(f+r)p(X],X2,7Mx//=E[X2]=DX

Cv(r)=&«)-咸

c、.(o)=&(o)-底

=Dx-m：

=成

(2)

R(ao)=lim/?t(r)=lim£[x,.x,.]

7T8T->00J1•一D/\2

=hmRx(r)-mx

=E(xJE(Xj)=m；—8

=欣一欣=0

4、设随机信号x(f)=Acos/f+8sin6V，例为正常数，46为相互独立的随机变

量，且E(A)=E(B)=O,。(4)=。(8)=，.试讨论》“)的平稳性。

解(1)均值为

mx=E[x(r)]=E[Acosa>ot+Bsina)ot]

-E[Acosco0t]+E[Bsina>ot]

=0

(2)自相关函数为

Rx(t,t+T)=E[x(t),x(f+7)]

=E[(Acosco^t+8sin0J)(Acos例)(f+7)+8sing(t+r))]

2

=E[Acosa>otcos(y0(f+r)+ABcosco0tsin(y0(f+r)+

ABsin(y(/cos为Q+r)+3?sin(y0/sin(v0(t+r)]

2

=E[Acosco0tcos(o0(t+r)]+E[ABcosgfsinco0(t+r)]+

2

E[ABsin6ytzcosa)Q(t+r)]+E[Bsinsinco0(t+r)]

•:A、B相互独立

EAB=EAEB=0

2

故：/?A(/,r+r)=crcosgr与起始时间无关

2

(3)Dx=/?v(0)=cr<oo

可见，该信号均值为-常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义

平稳的随机信号。

5、设随机信号x(f)=4+8产，4、8是两个相互独立的随机变量，且

E(A)=4,E(B)=70(A)=0,D[B)=2。求x(t)的均值、方差、相关函数和协方差函数。

解⑴

mx(t)-E[x(t)]-E[At+Br]

=E[At]+E[Bt2]

=4,+7产

(2)

Dx=E[x2(t)]=E[(At+Bt2)2]22

=Dx-mr

22243

^E[At+Bt+2ABt]23422

=0.1『+56r+2/4_(4/+7『)2

=EIAV]+E[BY]+2E[A^]=_]59产_47「

=O.lr+56r3+2r4

(3)

R,(t,t+T)=E[x(t),x{t+r)]

=E[(At+8产)(A«+r)+BQ+r)2)]

=E[A2t(t+r)+B2t2(t+r)2+ABt(t+r)2+ABt2(t+r)]

=0.IfQ+r)+2t2(t+r)2+28/(f+r)2+28t2(t+r)

Cx(t,t+r)=Rx(t,t+r)-mx(t}mx(t+r)

mx(t+r)=E[x(t+r)]

^E[A(t+r)+B(t+r)2]

=4f+1)+7Q+T)2

22

Cs(t,t+T)=ot(tA-T)42t(t+T)+2f(f£』y+2/(&c)-(4f+7〃)[4f+/)+7(f+工)2]

=-15.9?(Z+r)-47z2(/+r)2

6、若两个随机信号x«),y«)分别为x(f)=A(f)coy,y(f)=5(f)sinf,其中6(f),B(t)

是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明

z(f)=x(f)+y(t)是广义平稳的。

证明：

E[z(t)l=E[A(t)cost+B(t)sint|=E[A(t)|cost+E|B(t)|sint=0

Rz(t,t+r)=E[z(t)z(t+r)]

=E{[A(t)cost+B(t)sint][A(t+r)cos(t+r)+B(t+r)sin(t+r)]}

=E[costcos(t+r)A(t)A(t+r)+sintsin(t+r)B(t)B(t+r)]

=costcos(t+r)RA(r)+sintsin(t+r)RB(r)

=cosr/?A(r)

D(Z)=RZ(0)=RA(0)=D(A)<8

均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的

7、设随机信号x(f)=Acos((y(j+9),式1」4、.为统计独立的随机变量,—在[0,21]

上均匀分布。试讨论xQ）的遍历性。

解(1)首先讨论x(f)的平稳性

p(x)=p”俘

1

P((P)=\In,0<^<2TTOX

fix

0，其它dx=—d(p

d(p

m«)=£[x(r)]=[x(f)p(x)dx

产，/、，、d(pdx]

=Acos(cot+(p)p^——d(p

j()oxc(p

F兀1

=IAcos(gf+°)——d(p

*)2)

AI

二五;sin(9/+0)『

=0

m*)=£W)]=]/Q)p(x)dx

=£Acos(^/+cp)p((p)d(p

即1

=IAcos(4，+e)——d(p

))2兀

=E[A]<0

=0

RxQJ+工)=E[x(t),x(t+r)]

=\Acos(d)/+夕)Acos(啰0(r+r)+(p]p{(p)-----d(p

(dxd(p

2

=£^AJ£[cos(d>0(2r4-r)+2(p)+cosco^ydcp与t无关

的,

---~~-L71COS(OT

440

D[A]

--^■COS47

D\A]

Dx=/?v(0)=—^<oo

故x(f)是平稳随机信号

(2)遍历性

1

THm

〃-

Xx(t)dt

T->oo2T

_L

-Acos(69Z+(p)dt=0=m

2r0x

•T

尺”)=盘方。x(t)x(t+T)dt

I

eT

-F[Acos(69r+(p)Acos(例)(r+r)+(p)]dt

iem'—T0

I

=F(!'A2

im——[cos(2690r+2(p+CD^T)+COSCO^Tydt

eLT2

黯

=—cosd^r

故工⑺不具有广义遍历性

8、随机序列x(〃)=cos(供)〃+0),夕在［0,24］上均匀分布，x(〃)是否是广义平稳

的？

解：由已知得

—,Q<(P<2TU

〃(*)=<24

0淇它

©

mx(n)=E[x(n)]=[cos(6W0n+(p)p{(p)d(p

=cos(6y0z:+(p)d(p

1.2zr

=——I[cosa)Qncos(p-sina)()nsin(p\l(p

24力

=0

②

=£[x(m),x(n)]

=jcos(外机+°)cos(g〃+(p)p((p)?^-d(p

—---[cos(ty0m+①()n+夕)+cos690(/??-n)]d(p

2TT2

1/2兀

=——IcoscoAm-n)d(p

4万比

=；cosg(/〃一〃)

1

=—COSG)@

®Dx-/?v(0)=(<oo

均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳

9、若正态随机信号x(f)的相关函数为：

---Irla、,sinTZT

①&(T)=be2；②&⑺=b-----

试分别写出随机变量xQ),xQ+1),x(7+2)的协方差矩阵。

解：由已知得

-e)=R-

>nCx«)=&⑺一段(8)

机:=4(°°)

--\T\

2

当Rx(T)=be时，Cx(r)=&«)—0=RX(T)

氏(0)Rx⑴R(2)、

C(o)cx(i)G⑵、x

G=cx(l)Cx(0)Cx(l)=bRx⑴&(0)Rx(D

G⑵cx(i)cx(o)y、RxQ)Rx⑴Rx(0)

।、

1e已e''

I

,21z)-2

e21

7

sin7TT

②当Rx(r)=b：-----时，C(r)=/?(r)-0=/?(r)

71Tvvv

K(0)Rx⑴0⑵T00、

R、⑴b010

C2=RX(D心(0)

、Rx⑵勺⑴Rx(°)7,001>

10、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数？

2

①①2②③一——以。)；

696+34+3ty+1

广、co4

④——5---------6;⑤一⑥一

l+(y+jo)(1+疗)21+2啰+0~

解：由已知得，实函数的功率谱函数为实偶函数，应满足:

S*(-⑼=S,((y)(a)

<S,3)=S：(M3),S「®)=S；®)S；3)(d)

St(«y)>0(c)

则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足(d)；②不满足(a)；③Sx(O)=—5(0)<0不

满足(c)；④不满足(b)；⑥不满足(a)。

11、设x(f),y(f)是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为

16

X(G)=-------,Y(a))=-------，新的随机信号z(f)=x(f)+y«)。求：①z(f)的功率

0+16少~+16

谱；②工。)和y⑺的互谱密度。

解：由已知得mxmy=0,x(r),y(r)独立且平稳=>z(r)平稳

&⑺=E\_z(t),z(t+r)]=E[(x(z)+y(f))(x(f+r)+y(t+r)]

=E[X«)XQ+r)+y(f)yQ+r)+x(t)y(t+r)+y(t)x(t+r)]

=&(7)+&.(T)

j,or

Sz(M=[Rz(T)e-dr

==£&(7)"扭"7+£&(r)e-""dr

=5v(«y)+5v(«y)

=1

R、,(r)=E[x(.t),y(t+r)]=E[x(t)]E[y(t+r)]=0

n5灯(0)=0

12、已知平稳高斯信号x")的自相关函数为/?,«)=4e刊。求x(f)的一阶概率密度函

数p(x)及二阶概率密度函数p(玉,々)，其中玉=%(0)，々=x(l)。

解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得

E[x(t)]=jRx(8)=0,D[x(t)]=Rx(0)=4

/、1,(x-m1.x2.

则一阶概率密度函数P。)=，mexp{---彳—}=与/exP{一至}

11J

对于二阶概率密度函数P(X|/2)-^exp{--(x-zH)Ckx-m}}

2vxx

2万庐|

其中5为x的协方差矩阵，叫为均值

^E[x,(t)Xl(t)]E[X](t)X2(t)])=(段(0)

、E[x2(t)X](t)]E[x2(t)x2(t)]J，&⑴

^(0)J1小1J

1(1-e~{>

ICI=4(1-e-2)

4([_/21一]i)X

一;(/一叫)，C~x(x-m)

p(Xi'X2)=^Hexpx

13、令c(〃)表示白噪声序列，s(〃)表示一个与c(〃)不相关的序列，y(n)=s(n)c(n),

玖》)=吗。试证明序列y(〃)=s(几)c(〃)是白色的,BP£[y(n)y(/i+m)J=A8{in),式中A

是常数。

证明：由已知得

2

E[c(n)]-0,/?c(m)=a3(m)

=>(1)E[y(n)]=E[s(n)c(n)]=E[s(〃)]E[c(〃)]=0

(2)E[y(n)y(n+m)]=E[s(n)c(n)s(n+m)c(n+m)]

=E[s(n)s(n+m)]E[c(n)c(n+m)]

=(y28(jn)E[s(n)s(n+m)]

S(〃)为一与C(n)不相关的序列=>E[s(n)s(n+m)]为一常数

令a2E[s(n)s(n+m)]=A=>E[y(n)y(n+m)J=A3(m)

即得证。

14、设随机信号z(机=》(〃)+y,其中x(〃)是一个平稳信号,y是一个与M>)无关的

随机变量。试讨论Z(〃)的遍历性。

解:由已知得,令=x(/n)+y,E[y]=my

①平稳性

mz(n)=E[z(n)]=E[x(n)+y]=E[x(n)]+E[y(ri)]

=mx+my

与n无关

R.(n,〃+m)=£[z(/?),z(〃+m)]=E[(x(n)+y)(x(n+加)+y)]

=E[(x(n)x(n+m)]+E[(x(n)y]+E[x(n+m)y]+E[y2]

=Rx(m)+mxmy+mxmy+D、

=Rj(〃z)+2mxmy+Dy

与n无关

Dz=/?2(0)=R、(0)+2mxmy+Z)v<00平稳

②遍历性

(N1N

mN=lim------V[z(n)]=lim-------V(x(»)+y]

zf2N+l£NT62N+1£

=%+y

m：不为常数，则信号z(〃)不具有遍历性。

习题四

1、令*5)是一个平稳白噪声过程，它的均值为零，方差为cr〉又令/(〃)是冲激响应

为力(〃)的线性非移变系统在输入为x(〃)时的输出。

证明：

(1)E[x(〃)y(〃)]=〃(0<>；；(2)cr；=£//(〃)

k="ao

证明：(1)由题条件：x(〃)是一平稳白噪声，E[x(n)]=0,O[x(〃)]=cr；

可知：其自相关函数凡(〃?)=。节(〃?)，经过线性非移变系统得到的输出y⑺也是

一个广义平稳信号。则：

E[x(〃)y(〃)]=R£0)

=以加)*尺(利“=0

=力(用)*cr：b(〃2)|0

=〃(0)矣

(2)因为E[y(n)]=mvW(0)=0

•••4=。[如)]一矶刈)]2

=E[y2(〃)]=q(ML

=h(-m)*h(m)*Rx

=/?(-m)*h(m)*(7]8(m)|°

=h[m}a>^\

xlw=O

8

=V/?(〃+加)//(〃)(T；

n=-oo*I〃i=0

co

"工/我〃)

n=-oo

2、令x(〃)是白色随机序列，其均值为零，方差为设有一个级联系统，由两个线

性非移变时域离散系统按图4-6的形式构成，x(〃)是它的输入。

(1)=O⑹是否正确?

A=0

(2)城=反£必出是否正确?

火=0

(3)令％(〃)=a"u(n)和％,(〃)=b"u(n)<)试确定图4—6的整个系统的单位取样响应,

并由此求出如果你认为问题(2)是正确的，那么它与问题(3)的答案是否一致?

x(n)y(n)w(n)

似〃)似〃)

图4-6习题2用图

解(1)正确

8

>(〃)=X

女=T»

•••巴.(〃)=£1)，(〃)]=讥fh,(k)x(n-k)J

k=-<x>

=£4-)E[x(〃-k)]

k=-<x)

a；

=mxZ%(k)

&=V

=0(mx=0)

cr；=E[y(n)-mJ2=E[y(n)f

=仇£—

k=­oo

为白噪声，•••x(6,x(J)互不相关，即/?w=0

(k)x(〃一幻]2=fh2(Qf(〃一口

A:=—oo4=—oo

•F；=£始⑹矶x("k)f

&=-Q0

8

=a；.h；(k)

it=-oo

x(〃)为因果序列时，TEE"(外

A=0

(2)不正确

由(1)中推导知，由于y(〃)不是白色序列，所以它不满足&y=0

.•.[£〃2(左》(〃一*£鱼2(幻y2(〃—外

*=-00*=-00

，<7；=。:三均彳左)不成立

k=0

(3)y(n)=x(n)*%(〃)

co{n}=y(n)*h2(n)=x(ri)*%(n)*h2(ri)

对上式两边作Z变换得

W(z)=X(z)d(z)”式z)

H(z)=*W(z)=W(z)”2(z)

/?1(n)=anu(n)=>H、(z)=——h(n)=hnu(n)=>H/z)=--

z-a2z-b

2逆z变换

7an+l-bn+',、

="(z)=-----------------=>h(n)------:—“(〃)

(z-a)(z—6)a-b

•.•4(〃)=仇以〃)]=E[£h2(k)y(n-k)]

A:=-oo

=£hAk)E[y{n-k}]

k=-<x)

00

=m,£2)

A=­oo

=0(my=0)

.,.靖=E[(y(k)-用°]=

00

fc=-00

=一/2⑹

k=o

#+】

3aK+i

­；z(-

k=0a-b

00a2alit+b°b"-2ab(ab)k

女=0("A)?

a1b2lab

x

222

2(a-b)+cb(a+b)

若按(2)来计算，则

2

(T

y

k=0k=0

(j2)(")

k=0k=0

与上面计算结果不符，故结论(2)不正确。

3、考虑一个时域连续的随机过程｛4«)｝,它有如图4—7(a)所示的限带功率谱。假设

对U(t))采样,得到了一个时域离散的随机过程｛x(〃)=兀(nT)｝。

图4-7习题3用图

(1)该时域离散随机过程的自协方差序列是什么？

(2)对于上述的模拟功率谱，应如何选择7才会使时域离散过程为白色的？

(3)如果模拟功率谱如图4—7(b)所示，应该如何选择7才会使时域离散过程为白色

的？

(4)欲使时域离散过程为白色，应对模拟过程和采样周期提出哪些•般要求？

解(1)该时域离散随机过程的自协方差序列是抽样序列。

(2)T==使时域离散过程是白色的，因为时域采样后，信号功率谱变为周期序

。()

列，如图所示，要想使时域为白噪声，周期功率谱叠加应为常数。

（3）T=女或7=二使时域离散过程是白色的。

Q0。（）

（4）欲使时域离散过程为白色，模拟功率谱应是限带的，且功率谱幅度应是线性

的，采样周期T=9737（Q。为功率谱的最高频率），若功率谱为矩形的，采样周期还可为

皿0

TC

T

4、将零均值与方差为0；的白噪声通过一线性系统，其传递函数为〃（z）,试求此系统

2

输出的方差又若H（z）=―二,0＜。＜1,&•等于什么？

\-az'＜T;

解：由第2题结论可知=o-；y{Z-'［W（z）］}2

k=0

H(z)=——^――时h(n)=anu(n)

l-az~

决h1-/

5、在图4―8所示的反馈系统中，为白噪声，又,（0）=1,随机信号才（力与M6不

H（co）H（co）

相关。设〃o（。）=------h------2f--------的傅里叶反变换为％«）。试证K（t）与Mt）的

1+°

互相关函数/?.（7）=-%”）。

图4—8习题5用图

证明：图中反馈系统有两个输入力（。、M。。

y3）=x（°）—{田（。）”“（⑼+N3）］/（助”,（⑼}

1

丫⑼

1+乩(刈/3)”/3)'所田湍j)

1

X((y)+(—"。(⑼加初

(

SNY(CO)=-H0(O)SN(a))=-Ha(co)

故/?亚(7)=_40(。

解法2：y(f)=X(f)-{r(f)*%“⑺+NQ)1*%⑴*hf(r)}

n丫⑺=X⑺—{»Q)*%⑴*%(t)*hf⑻+[N⑺*=(f)*hf(0]}

=>N(t)]=E[X(t)-W)]-E{[Y(t)*ha(f)*也⑺*hf⑺卜N(f)}

+E[[N(t)*hb(t)*hf(t)]N(t)}

因X(t)与N(f)不相关，则E[X(t)-N⑴]=0

E{[N(f)*4(f)*勺(f)]-N(f)}=E{Jj\(“)％(v>N(fi—v)dudM⑴1

=肚⑺/(v).E[N(t-u-v)-N(t+T)]dudv

=(“)％(v)-RN(r+M+v)dudv

--hf(v)-3(r+u+v)dudv

=",(一7)*%(-7)

同理E{[Y(f)*九(f)*hb(t)*hf(t)]-N(t)}=Rm(r)*ha(-T)*也(-r)*%(t)

故RYN(r)=-RYN(r)*/?a(-r)*hh(-T)*hf(-T)-hb(一7)*hf(-r)

NSYN3)=—SYN3•Hn(o).%(°).%(o)-4®).H")

nS“3)=一…).…

1+乩(。)乜(助•”/(◎)

=>/?KV(r)=-/?0(/)

6、某系统的传递函数H(0)=ErSa(々-)。若输入平稳随机信号的自相关函数为

Rx(r)=e-忖，输出记为Kt),试求互相关函数/?xr(r)(rwa)。

解：

/?xr(r)=E[x(f)y(r+r)]

=E[x(t)£h(u)x(t+r-u)d"

=£h(u)E[x(t)x(t+r-u)]du

=h(u)Rx(t-u)du

=/i⑺*凡⑺

H(<y)==1———=>//(r)=b(r)-2ae-aT

j(o+aja)+a

RxY(T)=h(T)*R*G)

=(b(〃)-2ae~an)*

=e~rM-2ae-ar*e'rM

=e~rM-2a「

J-oO

=/忖—2a棺力卜"

=e'r^-2ae-ar---------I(r>a>0)

卜+Qr-a)

=e'"-4are~ar—7^―-

r-a

E[b(n,k)x(n-k=0

7、某系统的传递函数H3)=坦二3。若输入平稳随机信号的自相关函数为

jco+a

忖，输入记为f⑺，试求互相关函数Rxy⑺&W。)。

解：

RXY(r)=E[x(t)y(t^r)]

=E[x(t)[/?(w)x(f+T-u)dU

二£h(u)E[x(t)x(t+r-u)]du

=£h(u)R«-u)d4

=//«)*4⑺

H(<y)==1——=>h(r)=3(7)—2ae-aru(7-)

ja)+ajco+a

/?xy(r)=/i(r)*/?v(r)

=3(几)-2ae~aTu(ry)*e""

="附一2a[e~a{T~t}u(r-t)e~r^dt

=e-唱—2《[,""'+,(7T)e"力+「e-a'+r'u(r-t)e-r'dt^

ii(fl-r)r

=e-r|r|-2ae-°T[——+——+-——]

r+ar-aa-r

।。

=e-r|r|-4are-ar-^―y--e-rrr>a>0,r>0

r~-a~r-a

8、两个串联系统如图4―9所示。输入爪力是广义平稳随机信号，第一个系统的输出

为『(t),第二个系统的输出为Hr),试求『(t)和K(r)的互相关函数RwyQ/+7)。

图4-9习题7用图

解：输入内力是广义平稳随机信号，经串联系统后输出r(f)»

输入¥(6线性系统4⑺，输出为『(r)o

Rw(f,f+T)="(-r)*%(r)*/?x(r)

因为与t无关，+=&，«)，可知也是广义平稳随机信号。

R

RWy",f+7)=为(7)*W«)=为«)*%(一工)*%«)*^«)

9、假定MA⑴模型为z“=”“+加1，网<1，求与它等价的AR模型。

解：

•••z“=ull+bu„_l

■­•un^zn-bun_}(1)

%"="「bu-，/一2=4一2一加入3，…

代入⑴得

%=z“-b(z“T—bu〃一2)

2

=zn-bz„_l+b(zn_2-bun_3)

23

=zn-bzn_t+bzn_2-bzn_3+•••

2

所以与之等价的AR模型为：4—bzn_x+bzn_2-b\n_3+…=M(〃)

8

XT)]=〃(〃)

/M=0

10、已知人1?岫(2,1)模型为4一1.5/_]+0.6々_2=以一0・5以_1，求其前5个格林函数

值及G。，G],G2>G3和G4。

解：G⑵=।=G°+Gz"+GZ-2+G,Z-3+GZ-4+...

1-1.5z+0.6z24

比较式中等号两边的同次基系数，得：

z°次暮:G°=l=>Go=l

l

二次嘉:GlZ-'-\.5Gaz~'=-0.5z~=>G,=1

次暴：-2-2-2

Z-2G2Z-1.5G,Z+O.6GOZ=0nG2=0.9

333

Z-3次幕：G3Z--1.5G2Z-+0.6G,Z-=0nG3=0.75

44-4

z一次果:G4Z--1.5G3Z-+0.6G2Z=0=>G4=0.585

11、设人口配(〃,0)模型的格林函数为6/=0.4(0.9)/1,/21,且已知%=0,u(描为

n012345

Un00.5-11-22

(1)计算/；

(2)求出相应的ARMA模型及其参数。

00

解(1)x(〃)=>,G(fn)u(n-m)

，”=0

x5=GOU5+G,U4+G2U3+G3U2+G4ut+G5U0

Go=1,G,=0.4,G2=0.36,G3=0.324,G4=0.2916,G5=0.26244

x5=1x2+0.4x(-2)+0.36x1+0.324x(-1)+0.2916x0.5+0.26244x0

=2—0.6182=1.3818

00

(2)G(z)=^G(z)z-/又•.•G(i)=0.4(0.9)i,iNl

;=o

=1+0.4z-1+0.4(0.9)z-2+0.4(0.9)2z-3+---

2

=1+0.4Z-'[1+(0.9)/+(0.9)尸+…]

11-0&T

=l+0.4z-1

1—0.9/1-0.9Z-1

l-0.5z-'

即〃(z)=

l-0.9z-1

:.m=n=\,M/]=-0.53=-0.9

该ARMA(1,1)模型为：x(n)-0.9x(«-1)=M(n)-0.5w(n-1)

12、设平稳随机信号乙，具有下列自相关函数

(1)%⑹=(0.5再

(2).一)=(0.51+(-0.5)川

试求产生此随机信号的模型。

解(1)求出R,(0)=1,R,(1)=0.5,&⑵=:0.25,段(3)=0.125,R、(4)=0.0625

一旦(0)H,⑴&⑵&⑶--R、⑴一

段(1)凡(0)&⑴R,Q)一。2段⑵

选用AR模型：——

凡⑵凡(1)号(0)R,⑴一名4(3)

&⑶R。)&⑴Rv(0)_4(4)_

=>(P\=-0.5,92=03=夕4=0

故得信号的模型：x(n)=0.5x(〃-1)+〃(〃)

（2）求出&（0）;=2,4⑴=0,4⑵=05&(3)=0,&(4)=0.125

五（0）《⑴%⑵段⑶一'J”,⑴一

%⑼段⑴《⑵一。2R,⑵

选用AR模型：—

段⑵段⑴4（。）尺⑴一。3凡⑶

A⑶段⑵%⑴4（0）_-%.4（4）_

n(p2--0.25,例=%=%=0

故得信号的模型：x(n')=Q.25x(n-2)+M(Z?)

13、用AR(8)表示MA⑵。

解：MA(2)的传递函数为“M)=1+7亿7+%二2

AR(00)的传递函数为"(z)=-----」一；——

1+C]Z+C2Z~+…

令H(z)=”'(z)

2

\+Yxz'+y2z

[+C]Z1+c^z~+…

比较同次累系数得到

%+q=0=q=-/i

71+Cl/1+C2=>。2=-％+%2

ck-iYi+Ck-\Y\+，=0=或=一川一+%*

；."A(2)模型可表示为：X(〃)+C|X(〃—1)+C2X(〃—2>•••=«(«)

其中J—*(k>2)

ci=-/i

14、设AR⑵模型为x(〃)=4》(〃-1)+/?2工(〃-2o

(1)求x5)的功率谱

Sx(co)-cr；[l+b：+/?；-2bl(1—4)cos。一2〃2cos2<®]"'»

(2)求x(〃)的自相关函数。

(3)写出相应的Yule-Walker方程。

解(1)由AR(2)模型可得系统函数为：

1

〃(小)=

io>i2w

\-b{e--b2e-

而\H(eja)[=H(eja)-Ht(eja,)

即：

=jt0i2,iai210

闻)l\-bie--b2e-0'\-bxe-h2e

i2a

=-b2e-b©汕+b：+仇仇e'3_He"0+"瓦6可°+b也「

=[1+-2blcosco-2b2cos2co+2b}b2cos加一

又：

S,(o)

=cr；[l+b；-2/7,(1-/?2)COSG-2b2cos

(2)AR(2)模型的自相关函数为：

p

R、(m)=一ZQR](fn-i)+a2S(⑼

»=i

m2

=>/?v()-h}Rv(m-\)^-b2Rx(m-2-\)(y3(m)

取777=0,1,2

一段(。)-a2

&⑴段⑵]P

段⑴%(0)4⑴一仇=0

4(。)」[-4一

人⑵"⑴0

得方程组:

叫(0)=bxRx(1)+8段⑵+4段(0)-4叫⑴一b2Rx⑵=/

<段⑴=仇&(0)+2凡⑴n—济号(0)+(1—%)&⑴=0

1⑵=4&⑴&(0)应&(。)-4凡(D+R0)=