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文档简介
习题二
1、求证:R&3)=Cx(/",)+mximxjo
证明:R&,t)=E(x,Xj)=jjx,.xy.p(x,.,xj,f,.,')dxidxj
C《”tj)=E[(x;-以),(x厂%)]
="(七一),(Xj-mx)p(x,,Mx/)
--x.mr-xmv+mrmr)p(x;,x;,r,f)dx.dx.
=/?Ar(xtf,rJ)/-/7iAvymAr;-mAjYmY+mAYymAY:
=—)一%加X,
2、令](〃)和y(〃)不是相关的随机信号,试证:若w(n)=x(n)+y(ri),则mw=mx4-m
-r?27
和Mq=4+%。
证明:⑴
加3=取(〃)]=E[x(n)+y(n)]
=E[x(n)]+E[y(n)]
=mx+tny
W=E(y(〃)-加°)2]
M2
=E[[x(n)+y(n)-(mx+/V)]}
⑵=E[(x(〃)-%)+(>(〃)一%)f
2
=E[(x(n)-mx)-]+E[(y(n)-mv)]+2E[(x(n)-砥)(y(〃)一吗)]
=b:+<7;+2[mxmy-mxmy-mxmy+mxmy]
即b:=b:+b;
3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质,即证明:
①当r=0时,4(0)=七,C,(0)=近;
②当7=00时,&(00)=〃2;,CX(co)=0。
证明:(1)
R、,)=E[x(f)x(f+r)]R、(0)=卜2⑺p(x,7心
=jjx(f)x(f+r)p(X],X2,7Mx//=E[X2]=DX
Cv(r)=&«)-咸
c、.(o)=&(o)-底
=Dx-m:
=成
(2)
R(ao)=lim/?t(r)=lim£[x,.x,.]
7T8T->00J1•一D/\2
=hmRx(r)-mx
=E(xJE(Xj)=m;—8
=欣一欣=0
4、设随机信号x(f)=Acos/f+8sin6V,例为正常数,46为相互独立的随机变
量,且E(A)=E(B)=O,。(4)=。(8)=,.试讨论》“)的平稳性。
解(1)均值为
mx=E[x(r)]=E[Acosa>ot+Bsina)ot]
-E[Acosco0t]+E[Bsina>ot]
=0
(2)自相关函数为
Rx(t,t+T)=E[x(t),x(f+7)]
=E[(Acosco^t+8sin0J)(Acos例)(f+7)+8sing(t+r))]
2
=E[Acosa>otcos(y0(f+r)+ABcosco0tsin(y0(f+r)+
ABsin(y(/cos为Q+r)+3?sin(y0/sin(v0(t+r)]
2
=E[Acosco0tcos(o0(t+r)]+E[ABcosgfsinco0(t+r)]+
2
E[ABsin6ytzcosa)Q(t+r)]+E[Bsinsinco0(t+r)]
•:A、B相互独立
EAB=EAEB=0
2
故:/?A(/,r+r)=crcosgr与起始时间无关
2
(3)Dx=/?v(0)=cr<oo
可见,该信号均值为-常数,自相关函数与起始时间无关,方差有限,故其为一个广义
平稳的随机信号。
5、设随机信号x(f)=4+8产,4、8是两个相互独立的随机变量,且
E(A)=4,E(B)=70(A)=0,D[B)=2。求x(t)的均值、方差、相关函数和协方差函数。
解⑴
mx(t)-E[x(t)]-E[At+Br]
=E[At]+E[Bt2]
=4,+7产
(2)
Dx=E[x2(t)]=E[(At+Bt2)2]22
=Dx-mr
22243
^E[At+Bt+2ABt]23422
=0.1『+56r+2/4_(4/+7『)2
=EIAV]+E[BY]+2E[A^]=_]59产_47「
=O.lr+56r3+2r4
(3)
R,(t,t+T)=E[x(t),x{t+r)]
=E[(At+8产)(A«+r)+BQ+r)2)]
=E[A2t(t+r)+B2t2(t+r)2+ABt(t+r)2+ABt2(t+r)]
=0.IfQ+r)+2t2(t+r)2+28/(f+r)2+28t2(t+r)
Cx(t,t+r)=Rx(t,t+r)-mx(t}mx(t+r)
mx(t+r)=E[x(t+r)]
^E[A(t+r)+B(t+r)2]
=4f+1)+7Q+T)2
22
Cs(t,t+T)=ot(tA-T)42t(t+T)+2f(f£』y+2/(&c)-(4f+7〃)[4f+/)+7(f+工)2]
=-15.9?(Z+r)-47z2(/+r)2
6、若两个随机信号x«),y«)分别为x(f)=A(f)coy,y(f)=5(f)sinf,其中6(f),B(t)
是各自平稳、零均值相互独立的随机信号,且具有相同的自相关函数。试证明
z(f)=x(f)+y(t)是广义平稳的。
证明:
E[z(t)l=E[A(t)cost+B(t)sint|=E[A(t)|cost+E|B(t)|sint=0
Rz(t,t+r)=E[z(t)z(t+r)]
=E{[A(t)cost+B(t)sint][A(t+r)cos(t+r)+B(t+r)sin(t+r)]}
=E[costcos(t+r)A(t)A(t+r)+sintsin(t+r)B(t)B(t+r)]
=costcos(t+r)RA(r)+sintsin(t+r)RB(r)
=cosr/?A(r)
D(Z)=RZ(0)=RA(0)=D(A)<8
均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限,故其是广义平稳的
7、设随机信号x(f)=Acos((y(j+9),式1」4、.为统计独立的随机变量,—在[0,21]
上均匀分布。试讨论xQ)的遍历性。
解(1)首先讨论x(f)的平稳性
p(x)=p”俘
1
P((P)=\In,0<^<2TTOX
fix
0,其它dx=—d(p
d(p
m«)=£[x(r)]=[x(f)p(x)dx
产,/、,、d(pdx]
=Acos(cot+(p)p^——d(p
j()oxc(p
F兀1
=IAcos(gf+°)——d(p
*)2)
AI
二五;sin(9/+0)『
=0
m*)=£W)]=]/Q)p(x)dx
=£Acos(^/+cp)p((p)d(p
即1
=IAcos(4,+e)——d(p
))2兀
=E[A]<0
=0
RxQJ+工)=E[x(t),x(t+r)]
=\Acos(d)/+夕)Acos(啰0(r+r)+(p]p{(p)-----d(p
(dxd(p
2
=£^AJ£[cos(d>0(2r4-r)+2(p)+cosco^ydcp与t无关
的,
---~~-L71COS(OT
440
D[A]
--^■COS47
D\A]
Dx=/?v(0)=—^<oo
故x(f)是平稳随机信号
(2)遍历性
1
THm
〃-
Xx(t)dt
T->oo2T
_L
-Acos(69Z+(p)dt=0=m
2r0x
•T
尺”)=盘方。x(t)x(t+T)dt
I
eT
-F[Acos(69r+(p)Acos(例)(r+r)+(p)]dt
iem'—T0
I
=F(!'A2
im——[cos(2690r+2(p+CD^T)+COSCO^Tydt
eLT2
黯
=—cosd^r
故工⑺不具有广义遍历性
8、随机序列x(〃)=cos(供)〃+0),夕在[0,24]上均匀分布,x(〃)是否是广义平稳
的?
解:由已知得
—,Q<(P<2TU
〃(*)=<24
0淇它
©
mx(n)=E[x(n)]=[cos(6W0n+(p)p{(p)d(p
=cos(6y0z:+(p)d(p
1.2zr
=——I[cosa)Qncos(p-sina)()nsin(p\l(p
24力
=0
②
=£[x(m),x(n)]
=jcos(外机+°)cos(g〃+(p)p((p)?^-d(p
—---[cos(ty0m+①()n+夕)+cos690(/??-n)]d(p
2TT2
1/2兀
=——IcoscoAm-n)d(p
4万比
=;cosg(/〃一〃)
1
=—COSG)@
®Dx-/?v(0)=(<oo
均值为与t无关常数,自相关函数与t无关,瞬时功率有限,故平稳
9、若正态随机信号x(f)的相关函数为:
---Irla、,sinTZT
①&(T)=be2;②&⑺=b-----
试分别写出随机变量xQ),xQ+1),x(7+2)的协方差矩阵。
解:由已知得
-e)=R-
>nCx«)=&⑺一段(8)
机:=4(°°)
--\T\
2
当Rx(T)=be时,Cx(r)=&«)—0=RX(T)
氏(0)Rx⑴R(2)、
C(o)cx(i)G⑵、x
G=cx(l)Cx(0)Cx(l)=bRx⑴&(0)Rx(D
G⑵cx(i)cx(o)y、RxQ)Rx⑴Rx(0)
।、
1e已e''
I
,21z)-2
e21
7
sin7TT
②当Rx(r)=b:-----时,C(r)=/?(r)-0=/?(r)
71Tvvv
K(0)Rx⑴0⑵T00、
R、⑴b010
C2=RX(D心(0)
、Rx⑵勺⑴Rx(°)7,001>
10、如果信号是实函数,在下列函数中,哪些是功率谱函数?
2
①①2②③一——以。);
696+34+3ty+1
广、co4
④——5---------6;⑤一⑥一
l+(y+jo)(1+疗)21+2啰+0~
解:由已知得,实函数的功率谱函数为实偶函数,应满足:
S*(-⑼=S,((y)(a)
<S,3)=S:(M3),S「®)=S;®)S;3)(d)
St(«y)>0(c)
则可批判断⑤为功率谱函数,其中①不满足(d);②不满足(a);③Sx(O)=—5(0)<0不
满足(c);④不满足(b);⑥不满足(a)。
11、设x(f),y(f)是相互独立的平稳信号,它们的均值至少有一个为零,功率谱为
16
X(G)=-------,Y(a))=-------,新的随机信号z(f)=x(f)+y«)。求:①z(f)的功率
0+16少~+16
谱;②工。)和y⑺的互谱密度。
解:由已知得mxmy=0,x(r),y(r)独立且平稳=>z(r)平稳
&⑺=E\_z(t),z(t+r)]=E[(x(z)+y(f))(x(f+r)+y(t+r)]
=E[X«)XQ+r)+y(f)yQ+r)+x(t)y(t+r)+y(t)x(t+r)]
=&(7)+&.(T)
j,or
Sz(M=[Rz(T)e-dr
==£&(7)"扭"7+£&(r)e-""dr
=5v(«y)+5v(«y)
=1
R、,(r)=E[x(.t),y(t+r)]=E[x(t)]E[y(t+r)]=0
n5灯(0)=0
12、已知平稳高斯信号x")的自相关函数为/?,«)=4e刊。求x(f)的一阶概率密度函
数p(x)及二阶概率密度函数p(玉,々),其中玉=%(0),々=x(l)。
解:由平稳随机信号自相关函数的性质可得
E[x(t)]=jRx(8)=0,D[x(t)]=Rx(0)=4
/、1,(x-m1.x2.
则一阶概率密度函数P。)=,mexp{---彳—}=与/exP{一至}
11J
对于二阶概率密度函数P(X|/2)-^exp{--(x-zH)Ckx-m}}
2vxx
2万庐|
其中5为x的协方差矩阵,叫为均值
^E[x,(t)Xl(t)]E[X](t)X2(t)])=(段(0)
、E[x2(t)X](t)]E[x2(t)x2(t)]J,&⑴
^(0)J1小1J
1(1-e~{>
ICI=4(1-e-2)
4([_/21一]i)X
一;(/一叫),C~x(x-m)
p(Xi'X2)=^Hexpx
13、令c(〃)表示白噪声序列,s(〃)表示一个与c(〃)不相关的序列,y(n)=s(n)c(n),
玖》)=吗。试证明序列y(〃)=s(几)c(〃)是白色的,BP£[y(n)y(/i+m)J=A8{in),式中A
是常数。
证明:由已知得
2
E[c(n)]-0,/?c(m)=a3(m)
=>(1)E[y(n)]=E[s(n)c(n)]=E[s(〃)]E[c(〃)]=0
(2)E[y(n)y(n+m)]=E[s(n)c(n)s(n+m)c(n+m)]
=E[s(n)s(n+m)]E[c(n)c(n+m)]
=(y28(jn)E[s(n)s(n+m)]
S(〃)为一与C(n)不相关的序列=>E[s(n)s(n+m)]为一常数
令a2E[s(n)s(n+m)]=A=>E[y(n)y(n+m)J=A3(m)
即得证。
14、设随机信号z(机=》(〃)+y,其中x(〃)是一个平稳信号,y是一个与M>)无关的
随机变量。试讨论Z(〃)的遍历性。
解:由已知得,令=x(/n)+y,E[y]=my
①平稳性
mz(n)=E[z(n)]=E[x(n)+y]=E[x(n)]+E[y(ri)]
=mx+my
与n无关
R.(n,〃+m)=£[z(/?),z(〃+m)]=E[(x(n)+y)(x(n+加)+y)]
=E[(x(n)x(n+m)]+E[(x(n)y]+E[x(n+m)y]+E[y2]
=Rx(m)+mxmy+mxmy+D、
=Rj(〃z)+2mxmy+Dy
与n无关
Dz=/?2(0)=R、(0)+2mxmy+Z)v<00平稳
②遍历性
(N1N
mN=lim------V[z(n)]=lim-------V(x(»)+y]
zf2N+l£NT62N+1£
=%+y
m:不为常数,则信号z(〃)不具有遍历性。
习题四
1、令*5)是一个平稳白噪声过程,它的均值为零,方差为cr〉又令/(〃)是冲激响应
为力(〃)的线性非移变系统在输入为x(〃)时的输出。
证明:
(1)E[x(〃)y(〃)]=〃(0<>;;(2)cr;=£//(〃)
k="ao
证明:(1)由题条件:x(〃)是一平稳白噪声,E[x(n)]=0,O[x(〃)]=cr;
可知:其自相关函数凡(〃?)=。节(〃?),经过线性非移变系统得到的输出y⑺也是
一个广义平稳信号。则:
E[x(〃)y(〃)]=R£0)
=以加)*尺(利“=0
=力(用)*cr:b(〃2)|0
=〃(0)矣
(2)因为E[y(n)]=mvW(0)=0
•••4=。[如)]一矶刈)]2
=E[y2(〃)]=q(ML
=h(-m)*h(m)*Rx
=/?(-m)*h(m)*(7]8(m)|°
=h[m}a>^\
xlw=O
8
=V/?(〃+加)//(〃)(T;
n=-oo*I〃i=0
co
"工/我〃)
n=-oo
2、令x(〃)是白色随机序列,其均值为零,方差为设有一个级联系统,由两个线
性非移变时域离散系统按图4-6的形式构成,x(〃)是它的输入。
(1)=O⑹是否正确?
A=0
(2)城=反£必出是否正确?
火=0
(3)令%(〃)=a"u(n)和%,(〃)=b"u(n)<)试确定图4—6的整个系统的单位取样响应,
并由此求出如果你认为问题(2)是正确的,那么它与问题(3)的答案是否一致?
x(n)y(n)w(n)
似〃)似〃)
图4-6习题2用图
解(1)正确
8
>(〃)=X
女=T»
•••巴.(〃)=£1),(〃)]=讥fh,(k)x(n-k)J
k=-<x>
=£4-)E[x(〃-k)]
k=-<x)
a;
=mxZ%(k)
&=V
=0(mx=0)
cr;=E[y(n)-mJ2=E[y(n)f
=仇£—
k=oo
为白噪声,•••x(6,x(J)互不相关,即/?w=0
(k)x(〃一幻]2=fh2(Qf(〃一口
A:=—oo4=—oo
•F;=£始⑹矶x("k)f
&=-Q0
8
=a;.h;(k)
it=-oo
x(〃)为因果序列时,TEE"(外
A=0
(2)不正确
由(1)中推导知,由于y(〃)不是白色序列,所以它不满足&y=0
.•.[£〃2(左》(〃一*£鱼2(幻y2(〃—外
*=-00*=-00
,<7;=。:三均彳左)不成立
k=0
(3)y(n)=x(n)*%(〃)
co{n}=y(n)*h2(n)=x(ri)*%(n)*h2(ri)
对上式两边作Z变换得
W(z)=X(z)d(z)”式z)
H(z)=*W(z)=W(z)”2(z)
/?1(n)=anu(n)=>H、(z)=——h(n)=hnu(n)=>H/z)=--
z-a2z-b
2逆z变换
7an+l-bn+',、
="(z)=-----------------=>h(n)------:—“(〃)
(z-a)(z—6)a-b
•.•4(〃)=仇以〃)]=E[£h2(k)y(n-k)]
A:=-oo
=£hAk)E[y{n-k}]
k=-<x)
00
=m,£2)
A=oo
=0(my=0)
.,.靖=E[(y(k)-用°]=
00
fc=-00
=一/2⑹
k=o
#+】
3aK+i
;z(-
k=0a-b
00a2alit+b°b"-2ab(ab)k
女=0("A)?
a1b2lab
x
222
2(a-b)+cb(a+b)
若按(2)来计算,则
2
(T
y
k=0k=0
(j2)(")
k=0k=0
与上面计算结果不符,故结论(2)不正确。
3、考虑一个时域连续的随机过程{4«)},它有如图4—7(a)所示的限带功率谱。假设
对U(t))采样,得到了一个时域离散的随机过程{x(〃)=兀(nT)}。
图4-7习题3用图
(1)该时域离散随机过程的自协方差序列是什么?
(2)对于上述的模拟功率谱,应如何选择7才会使时域离散过程为白色的?
(3)如果模拟功率谱如图4—7(b)所示,应该如何选择7才会使时域离散过程为白色
的?
(4)欲使时域离散过程为白色,应对模拟过程和采样周期提出哪些•般要求?
解(1)该时域离散随机过程的自协方差序列是抽样序列。
(2)T==使时域离散过程是白色的,因为时域采样后,信号功率谱变为周期序
。()
列,如图所示,要想使时域为白噪声,周期功率谱叠加应为常数。
(3)T=女或7=二使时域离散过程是白色的。
Q0。()
(4)欲使时域离散过程为白色,模拟功率谱应是限带的,且功率谱幅度应是线性
的,采样周期T=9737(Q。为功率谱的最高频率),若功率谱为矩形的,采样周期还可为
皿0
TC
T
4、将零均值与方差为0;的白噪声通过一线性系统,其传递函数为〃(z),试求此系统
2
输出的方差又若H(z)=―二,0<。<1,&•等于什么?
\-az'<T;
解:由第2题结论可知=o-;y{Z-'[W(z)]}2
k=0
H(z)=——^――时h(n)=anu(n)
l-az~
决h1-/
5、在图4―8所示的反馈系统中,为白噪声,又,(0)=1,随机信号才(力与M6不
H(co)H(co)
相关。设〃o(。)=------h------2f--------的傅里叶反变换为%«)。试证K(t)与Mt)的
1+°
互相关函数/?.(7)=-%”)。
图4—8习题5用图
证明:图中反馈系统有两个输入力(。、M。。
y3)=x(°)—{田(。)”“(⑼+N3)]/(助”,(⑼}
1
丫⑼
1+乩(刈/3)”/3)'所田湍j)
1
X((y)+(—"。(⑼加初
(
SNY(CO)=-H0(O)SN(a))=-Ha(co)
故/?亚(7)=_40(。
解法2:y(f)=X(f)-{r(f)*%“⑺+NQ)1*%⑴*hf(r)}
n丫⑺=X⑺—{»Q)*%⑴*%(t)*hf⑻+[N⑺*=(f)*hf(0]}
=>N(t)]=E[X(t)-W)]-E{[Y(t)*ha(f)*也⑺*hf⑺卜N(f)}
+E[[N(t)*hb(t)*hf(t)]N(t)}
因X(t)与N(f)不相关,则E[X(t)-N⑴]=0
E{[N(f)*4(f)*勺(f)]-N(f)}=E{Jj\(“)%(v>N(fi—v)dudM⑴1
=肚⑺/(v).E[N(t-u-v)-N(t+T)]dudv
=(“)%(v)-RN(r+M+v)dudv
--hf(v)-3(r+u+v)dudv
=",(一7)*%(-7)
同理E{[Y(f)*九(f)*hb(t)*hf(t)]-N(t)}=Rm(r)*ha(-T)*也(-r)*%(t)
故RYN(r)=-RYN(r)*/?a(-r)*hh(-T)*hf(-T)-hb(一7)*hf(-r)
NSYN3)=—SYN3•Hn(o).%(°).%(o)-4®).H")
nS“3)=一…).…
1+乩(。)乜(助•”/(◎)
=>/?KV(r)=-/?0(/)
6、某系统的传递函数H(0)=ErSa(々-)。若输入平稳随机信号的自相关函数为
Rx(r)=e-忖,输出记为Kt),试求互相关函数/?xr(r)(rwa)。
解:
/?xr(r)=E[x(f)y(r+r)]
=E[x(t)£h(u)x(t+r-u)d"
=£h(u)E[x(t)x(t+r-u)]du
=h(u)Rx(t-u)du
=/i⑺*凡⑺
H(<y)==1———=>//(r)=b(r)-2ae-aT
j(o+aja)+a
RxY(T)=h(T)*R*G)
=(b(〃)-2ae~an)*
=e~rM-2ae-ar*e'rM
=e~rM-2a「
J-oO
=/忖—2a棺力卜"
=e'r^-2ae-ar---------I(r>a>0)
卜+Qr-a)
=e'"-4are~ar—7^―-
r-a
E[b(n,k)x(n-k=0
7、某系统的传递函数H3)=坦二3。若输入平稳随机信号的自相关函数为
jco+a
忖,输入记为f⑺,试求互相关函数Rxy⑺&W。)。
解:
RXY(r)=E[x(t)y(t^r)]
=E[x(t)[/?(w)x(f+T-u)dU
二£h(u)E[x(t)x(t+r-u)]du
=£h(u)R«-u)d4
=//«)*4⑺
H(<y)==1——=>h(r)=3(7)—2ae-aru(7-)
ja)+ajco+a
/?xy(r)=/i(r)*/?v(r)
=3(几)-2ae~aTu(ry)*e""
="附一2a[e~a{T~t}u(r-t)e~r^dt
=e-唱—2《[,""'+,(7T)e"力+「e-a'+r'u(r-t)e-r'dt^
ii(fl-r)r
=e-r|r|-2ae-°T[——+——+-——]
r+ar-aa-r
।。
=e-r|r|-4are-ar-^―y--e-rrr>a>0,r>0
r~-a~r-a
8、两个串联系统如图4―9所示。输入爪力是广义平稳随机信号,第一个系统的输出
为『(t),第二个系统的输出为Hr),试求『(t)和K(r)的互相关函数RwyQ/+7)。
图4-9习题7用图
解:输入内力是广义平稳随机信号,经串联系统后输出r(f)»
输入¥(6线性系统4⑺,输出为『(r)o
Rw(f,f+T)="(-r)*%(r)*/?x(r)
因为与t无关,+=&,«),可知也是广义平稳随机信号。
R
RWy",f+7)=为(7)*W«)=为«)*%(一工)*%«)*^«)
9、假定MA⑴模型为z“=”“+加1,网<1,求与它等价的AR模型。
解:
•••z“=ull+bu„_l
■•un^zn-bun_}(1)
%"="「bu-,/一2=4一2一加入3,…
代入⑴得
%=z“-b(z“T—bu〃一2)
2
=zn-bz„_l+b(zn_2-bun_3)
23
=zn-bzn_t+bzn_2-bzn_3+•••
2
所以与之等价的AR模型为:4—bzn_x+bzn_2-b\n_3+…=M(〃)
8
XT)]=〃(〃)
/M=0
10、已知人1?岫(2,1)模型为4一1.5/_]+0.6々_2=以一0・5以_1,求其前5个格林函数
值及G。,G],G2>G3和G4。
解:G⑵=।=G°+Gz"+GZ-2+G,Z-3+GZ-4+...
1-1.5z+0.6z24
比较式中等号两边的同次基系数,得:
z°次暮:G°=l=>Go=l
l
二次嘉:GlZ-'-\.5Gaz~'=-0.5z~=>G,=1
次暴:-2-2-2
Z-2G2Z-1.5G,Z+O.6GOZ=0nG2=0.9
333
Z-3次幕:G3Z--1.5G2Z-+0.6G,Z-=0nG3=0.75
44-4
z一次果:G4Z--1.5G3Z-+0.6G2Z=0=>G4=0.585
11、设人口配(〃,0)模型的格林函数为6/=0.4(0.9)/1,/21,且已知%=0,u(描为
n012345
Un00.5-11-22
(1)计算/;
(2)求出相应的ARMA模型及其参数。
00
解(1)x(〃)=>,G(fn)u(n-m)
,”=0
x5=GOU5+G,U4+G2U3+G3U2+G4ut+G5U0
Go=1,G,=0.4,G2=0.36,G3=0.324,G4=0.2916,G5=0.26244
x5=1x2+0.4x(-2)+0.36x1+0.324x(-1)+0.2916x0.5+0.26244x0
=2—0.6182=1.3818
00
(2)G(z)=^G(z)z-/又•.•G(i)=0.4(0.9)i,iNl
;=o
=1+0.4z-1+0.4(0.9)z-2+0.4(0.9)2z-3+---
2
=1+0.4Z-'[1+(0.9)/+(0.9)尸+…]
11-0&T
=l+0.4z-1
1—0.9/1-0.9Z-1
l-0.5z-'
即〃(z)=
l-0.9z-1
:.m=n=\,M/]=-0.53=-0.9
该ARMA(1,1)模型为:x(n)-0.9x(«-1)=M(n)-0.5w(n-1)
12、设平稳随机信号乙,具有下列自相关函数
(1)%⑹=(0.5再
(2).一)=(0.51+(-0.5)川
试求产生此随机信号的模型。
解(1)求出R,(0)=1,R,(1)=0.5,&⑵=:0.25,段(3)=0.125,R、(4)=0.0625
一旦(0)H,⑴&⑵&⑶--R、⑴一
段(1)凡(0)&⑴R,Q)一。2段⑵
选用AR模型:——
凡⑵凡(1)号(0)R,⑴一名4(3)
&⑶R。)&⑴Rv(0)_4(4)_
=>(P\=-0.5,92=03=夕4=0
故得信号的模型:x(n)=0.5x(〃-1)+〃(〃)
(2)求出&(0);=2,4⑴=0,4⑵=05&(3)=0,&(4)=0.125
五(0)《⑴%⑵段⑶一'J”,⑴一
%⑼段⑴《⑵一。2R,⑵
选用AR模型:—
段⑵段⑴4(。)尺⑴一。3凡⑶
A⑶段⑵%⑴4(0)_-%.4(4)_
n(p2--0.25,例=%=%=0
故得信号的模型:x(n')=Q.25x(n-2)+M(Z?)
13、用AR(8)表示MA⑵。
解:MA(2)的传递函数为“M)=1+7亿7+%二2
AR(00)的传递函数为"(z)=-----」一;——
1+C]Z+C2Z~+…
令H(z)=”'(z)
2
\+Yxz'+y2z
[+C]Z1+c^z~+…
比较同次累系数得到
%+q=0=q=-/i
71+Cl/1+C2=>。2=-%+%2
ck-iYi+Ck-\Y\+,=0=或=一川一+%*
;."A(2)模型可表示为:X(〃)+C|X(〃—1)+C2X(〃—2>•••=«(«)
其中J—*(k>2)
ci=-/i
14、设AR⑵模型为x(〃)=4》(〃-1)+/?2工(〃-2o
(1)求x5)的功率谱
Sx(co)-cr;[l+b:+/?;-2bl(1—4)cos。一2〃2cos2<®]"'»
(2)求x(〃)的自相关函数。
(3)写出相应的Yule-Walker方程。
解(1)由AR(2)模型可得系统函数为:
1
〃(小)=
io>i2w
\-b{e--b2e-
而\H(eja)[=H(eja)-Ht(eja,)
即:
=jt0i2,iai210
闻)l\-bie--b2e-0'\-bxe-h2e
i2a
=-b2e-b©汕+b:+仇仇e'3_He"0+"瓦6可°+b也「
=[1+-2blcosco-2b2cos2co+2b}b2cos加一
又:
S,(o)
=cr;[l+b;-2/7,(1-/?2)COSG-2b2cos
(2)AR(2)模型的自相关函数为:
p
R、(m)=一ZQR](fn-i)+a2S(⑼
»=i
m2
=>/?v()-h}Rv(m-\)^-b2Rx(m-2-\)(y3(m)
取777=0,1,2
一段(。)-a2
&⑴段⑵]P
段⑴%(0)4⑴一仇=0
4(。)」[-4一
人⑵"⑴0
得方程组:
叫(0)=bxRx(1)+8段⑵+4段(0)-4叫⑴一b2Rx⑵=/
<段⑴=仇&(0)+2凡⑴n—济号(0)+(1—%)&⑴=0
1⑵=4&⑴&(0)应&(。)-4凡(D+R0)=
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