苏教版高中数学必修5全部教案

苏教版高中数学必修5全部教案【精美整理版】

目录

第一章解三角形..............................................................................1

第1课时正弦定理（1）..................................................................1

第2课时正弦定理（2）....................................................................3

第3课时正弦定理（3）....................................................................7

第4课时余弦定理（1）.................................................................10

第5课时余弦定理（2）...................................................................13

第6课时余弦定理（3）.................................................................16

第7课时正、余弦定理的应用（1）........................................................20

第8课时正、余弦定理的应用（2）........................................................24

第9课时解三角形复习课.................................................................27

⑴、⑵..................................................................................27

第二章数列..................................................................................34

第1课数列的概念及其通项公式...........................................................34

第2课时数列的概念及其通项公式........................................................37

第3课时等差数列的概念和通项公式.......................................................40

第4课忖等差数列的概念和通项公式.......................................................44

第5课时等差数列的概念和通项公式.......................................................47

第6课时等差数列的前n项和（1）........................................................50

第7课时等差数列的前n项和（2）........................................................54

第8课忖等差数列的前n项和（3）........................................................59

第9课时等比数列的概念和通项公式.......................................................63

第10课忖等比数列的概念和通项公式......................................................67

第11课时等比数列的概念和通项公式.......................................................70

第12课忖等比数列的...................................................................74

前〃项和（1）.............................................................................74

第13课时等比数列的...................................................................77

前n项和（2）...............................................................................77

第14课时等比数列的...................................................................82

前n项和（3）...............................................................................82

第15、16课时数列复习课（2课时）........................................................87

第三章不等式...............................................................................100

第1课时不等关系......................................................................100

第2课时一元二次不等式（1）..............................................................104

第3课时一元二次不等式（2）..............................................................110

第4课时一元二次不等式（3）..............................................................114

第5课时一元二次不等式应用题...........................................................118

第6课时二元一次不等式表示的平面区域..................................................120

第7课时二元一次不等式组表示的平面区域.................................................124

第8课时简单的线性规划问题...........................................................128

第9课时线性规划应用题...............................................................131

第10课时基本不等式的证明(1)...............................................................135

第11课时基本不等式的证明(2)...............................................................139

第12课时不等式的证明方法.............................................................142

第13课时基本不等式的应用(1)............................................................145

第14课时基本不等式的应用(2)..............................................................148

第15课时不等式复习课.................................................................151

本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］.........................................................157

第一章解三角形听课随笔

【知识结构】

正弦定理'

一解三角形7正、余弦定理的应用

余弦定理

【重点难点】

重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简

单的三角形度量问题。

难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

第1课时正弦定理（1）

【学习导航】

知识网络

直角三角形的边角关系f任意三角形的边角关系f正弦定理

学习要求

1,正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；

2.正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边・对角”等的相关问题

【课堂互动】

自学评价

1.正弦定理：在中，_L=_2_=—J=2R,

sinAsinBsinC----

2.正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角:

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.

【精典范例】

【例1】在A46C中，Z=30°,C=105°,a=10,求c.

分析：正弦定理可以用于解决已知两角和•边求另两边和角的问题.

【解】因为N=30。，C=105。，所以8=45°.因为，-=—2-=-J,

sinAsinBsinC

7i7sin510sin45°crrasinCIOsin1050_rr./-

所以6=--------=------------=110V2,c=---------=-------------=5j2+5j6.

sinAsin30°sinAsin30°

因此，b,c的长分别为10夜和50+5街.

【例2】根据下列条件解三角形:

（1）b-A/3,B-60°,c-1；

(2)c=y[6,A=45°,a=2.

分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题.

csinBlxsin60°_1

【解】(1)——=——

sin5sinCb=5，

•[b>c,B=60°,:.C<B,：•C为锐角,C=30"=90°/.a—J/?2+c，=2.

.*9一二党生邛一,一0。或⑵。,

⑵v—

sinAsinC

第1页共159页

上当C=60时8=7562且=迪些=百+1

sinCsin60

•••当C=120,时，8=15。小巫=^^=6-1所以,

sinCsin600

8=0+1,8=75。,。=60。或3=百-1,8=15。,。=120。.

追踪训练一

1.在4ABC中,C=105°,8=45°,c=5,则6的值为(A)

A5(V3-1)B5(73+1)

C10D5(V6+V2)

2

2.在4ABC中,已知67=3,6=4,sin5=—,则sin/=(C)

3

31小1

ADB-C一D1

462

3.（课本P9练习第2题）在aABC中,

(1)已知4=75°,B-45°,c=3-J2,求a,b；

(2)已知Z=30°,8=120°,6=12,求a,c

略解：(1)a=3+V3,b—2V3；

(2)a=4也,c=4百(可以先判断是等腰三角形再解)

4.(课本P9练习第3题)根据下列条件解三角形：

⑴6=40,c=20,C=25°；

(2)6=13,a=26,3=30°。

略解：(1)由题意知：

sin8=2sinC=2sin25°=0.423=>5=58°或122°

=>4=97°,a=47或4=33°,a=25.8(要注意两解的情况)

(2)由题意知：

/=90°=C=60°=c=1373

【选修延伸】

【例3】在锐角三角形ABC中，A=2B,a、b、c所对的角分别为A、B、C,试求且的范围

b

分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出@的范围。

b

8<90°

【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<90°,即：，28<90°二>30°<8<45°,

180°-38<90°

山正弦定理知:

a_sin4_sin25=2cos5G(V2,A/3),

bsin8sin5

故所求的范围是：

［例4］在AABC中，设

第2页共159页

cos5cosCCOSJ,、,­

----=-----=-----，求cos/的值。

3b2ca

【解】由正弦定理得：

cos5_cosC_cosA

3sin52sinCsinJ

tan5=—tanA

3

n<

tanC=—tanA

2

「,/「tanB+tanC5tanJ2,一

又tan/=-tan(5+C)=-------------......-=>tan2A=H

1-tan5tanC6-tan-A

.V3

ncosA=—o

6

追踪训练二

(l)在AA5c中，已知6+c=8,ZB=30°,NC=45。，则6=,c=.

(2)在A48C中，如果4=30°,Z5=120°,6=12,那么a=______,A48C的面积是

(3)在A48C中，历=30,SMBC*6则4=•

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第2课时正弦定理（2）

【学习导航】

知识网络

正弦定理一测量问题中的应用

学习要求

1.正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标;

2.学会用计算器，计算三角形中数据。

【课堂互动】

自学评价

1.正弦定理：在△Z8C中，-0-=_9_=_J=2A,

sinAsinBsinC

变形：(1)。=2火sinZ,6=27?sin5,c=2RsinC

0nb•「c

(2)、s•in〃—°，si•nB—,sinC一

2R2R2R

第3页共159页

2.三角形的面积公式:

(1)s--absinC=—bcsmA=—casmB

222

(2)s=27?2sinAsinBsinC

【精典范例】

【例1】如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000

m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°,求山的高度BC（精确到1m）.

分析：要求BC,只要求AB,为此考虑

解AABD.

【解】

过点D作D脐昭窿交BC于E,因为ZDAC=20°,所以

NADE=160。，于是/ADB=360。-160°-65°=135°.又NBAD=35°-

20°=15",所以NABD=30°.

在4ABD中，由正弦定理，得sin

在Rt^ABC中，BC=ABsin35°=1000后sin35°弋811(m).

答山的高度约为811m.

【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究

中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经丹塌了），ZA=50°,ZB=55°,AB=120m,如何求得它的高?

(sin50°=0.766,sin55°=0.819)

分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C；

(2)求三角形的\昌1o

【解】/\

(1)先分别沿人、4BB延长断边，确定交点C,ZC=180°-ZA-ZB,用正弦定理

4C=2^-sinB

算出AC或BC：

sinC

170

=------sin550=101.8

sin75°

(2)设高为h,则

//=JC-sinJ=101.8-sin50°=78

【例3】一座拦水坝的横断面为梯形,如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到0.1）

【解】

连接BD,设NFDC=a,则由正弦定理知

第4页共159页

BC_DC

sinZBDC~sinADBC

70_50

sinasin(60"-a)

=tana==a=35.5°,从而有

17

N8D4=105°-35.5°=69.5°,

BD_BC

=80=104.4,由

sinl20°-sin35.5°

AB_BD

,即

sinZ.BDAsin/BAD

AB_104.4

n48=101.2,

sin69.5°-sin75°

而梯形的高

h=BCsinAABC=70sin60°=35

所以有+

=i(50+101.2)-35V3-4583.0

注：本题也可以构造直角三角形来解，过C作CEJ_AB于E,过D作DFJ_AB于F即可。

【例4】已知a、b、c是aABC中NA、

NB、NC的对边，S是AABC的面积，若a=4,b=5,S=5A/J,求。的长度。

【解】

由三角形的面积公式得：S=-^sinC=--4-5sinC

22

=>cosC=±—=>c=yja2+b2-labcosC

2

^16+25±2.4-5-,

c=V5T或&T

追踪训练一听课随笔

1.海上有/、8两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60。的视角,从8岛望C岛和A岛成75。

的视角，则8、C间的距离是(D)

A.10百海里海里

3

C.5、历海里D.56海里

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2.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20。，现要将倾斜角改为10。，则坡底要伸长(A)

A.1公里B.sinlO。公里

C.coslO。公里D.cos20。公里

3.如图：在斜度一定的山坡上的一点/测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15。，向山顶前进

100m后，又从点8测得斜度为45。，假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度&

【解】在中，AB=100m,/CAB=15°,Z.ACB=450-15°=30°

100BC

由正弦定理：------=-------.\5C=200sinl5°

sin30°sin15°

在△D8C中，C£>=50m,Z.CBD=45°,/LCDB=90°+0

200sin15°

由正弦定理：------=>COS0=V3—1

sin45°sin(90°+6)

.,.0=42.94°

【选修延伸】

【例5】在湖面上高〃处，测得云彩仰角为a,而湖中云彩影的俯角为0,

求云彩高.

【解】a关于点6对称，设云高CE=x,

则=C'D=x+h,

CD_x—h

在R/ZL4CZ)中，

tanatana

.入,C'Dx+h

在中，AD=--=--

tanBtanp

.x-h_x+h

tanatanp

上“加,tanB+tana,sin(B+a)

解得x=h------------=h——V——-.

tanp-tanasin(p-a)

追踪训练二

1.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，

看见一灯塔在船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西75。，则这只船的速度是每小时(C)

A.5海里B.5、回海里

C.10海里D.IOA/J海里

2.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车

与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离4与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为

(C)

A.&>d2B.d、=d2

C.dx<d2D,不能确定大小

第6页共159页

听课随笔

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第3课时正弦定理（3）

知识网络

,判断三角形状

正弦定理的应用平面几何中某些问题

解的个数的判定

学习要求

1.掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形;

2.熟记正弦定理及其变形形式；

3.判断△ABC的形状.

【课堂互动】

自学评价

1.正弦定理：在8c中，‘一=」一=—^=2及，

sinAsinBsinC

a±b_a±b±c

sin4士sin8sin4±sin6±sinC

R为MBC的外接圆的半径

2.三角形的面积公式：

s=—abs\nC=—bcs\v\A=LisinB

(1)

222

(2)s=2R2sinAsinBsinC

abc

(3)s=-----

4R

【精典范例】

【例1】在4ABC中，已知，==试判断4ABC的形状.

cosAcosBcosC

【解】令61=k,由正弦定理，^a=k\\mA,b=ks\nB,c=ksinC

sinA

第7页共159页

、r，…rZBsinAsinBsinC„„「_

代入已知条件，得-----=-----=-----,即tanA=tanB=tanC.

cosAcos8cosC

又A,B,CG(0,加)，

所以A=B=C,从而AABC为正三角形.

点评：通过正弦定理，可以实现边角互化•听课随笔

AD是NBAC的平分线，用正弦定理证明丝=处.

【例2】在AABC中，

ACDC

【证】设NBAD=a,ZBDA=P,则NCAD=a,ZCDA=180°

CD中分别运用正弦定理，得出_=吧2,AC

-B.在4NBD和4A

ACsinaDC

sin(180°-广).AC4R

•S1n(180°-P)=sinB,所以丝=生，即丝

sina

_BD

~~DC'

【例3】根据下列条件，判断A4BC有没固解？若有解，判断解的个数.

(1)a=5,6=4,A=120°,求5；

(2)。=5,6=4,A=90°,求5；

(3)a=10A/6,h=20^/3,A=45°,求B；

(4)a=20V2,b=20V3,4=45。，束8；

(5)a=4,b-1°"，A—60°,求B

3

【解】(1)•••/=120。，...B只能是锐角，因此仅有一解.

(2):/二乡。。，...B只能是锐角，因此仅有一解.

(3)由于/为锐角，而10指=20百X业，即a=Asin/因此仅有--解8=90°.

2

(4)由于4为锐角，而20G>20拉>2)JJx~—=10后，即6>a>bsin4,因此有两解，易解得

2

8=60。或120。.

(5)由于力为锐角，又4<丝巫6皿60°=5,即avbsinN,

3

・・・B无解.

追踪训练一

1.在AABC中，已知b=6,c=10,B=30°,则解此三角形的结果是(C)

A.无解B.一解

C.两解D.解的个数不能确定

2.在AABC中，若2=28,则。等于(D)

A.2Z?sinAB.2bcosA

C.2bsinBD.2bcos8

若咽'=g_,则ABC的形状是(D)

3.在AABC中，^

tan8b2

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.不能确定D.等腰三角形

【选修延伸】

第8页共159页

【例4】如图所示，在等边三角形中，/8=区O为三角形的中心，过。的直线交Z8于/交AC于N,

求+工的最大值和最小值.

OM2ON2

角形N8C的中心，二/。=且。

【解】由于。为正三

3

71yr27r

ZMAO=ZNAO=-设NMQ4=a,则勺WaW工,

633

OM_04

在A40M■中，由正弦定理得:

sinNM40-sin[4—(a+工)]

6

V3V3

——a——a

：.OM=—-------,在A4ON中，由正弦定理得：ON=―--------

sin(a+—)sin(a--)

66

♦1112r,2/兀、.2/兀、、12/1.2\

••--------------r=~7[sin~(a4—)+sin"(a—)1———(—Fsin~cc),

OM2ON2a266a22

,**—<a<—,—<sina<1,故当a=一时-----H--------取得最大值一-，

3342OM2ON2a2

所以，当a=生，”至时sin2a=3,此时一^+工取得最小值..

334OM2ON2a2

追踪训练二

1.在A48C中,A:B\C=^\\A,则Q:6:C=(D)

A.4:1:1B.2:1:1

C.V2:l:lD.V3:1:1

2.在A48c中,若sin4:sinB:sinC=4:5:6,且。+力+。=15,则a=4,b=5

6

3.已知△48C中，a：6：c=l：VJ：2,则/：2：C等于（A）

A.1：2：3B.2：3：1C.1：3：2D.3：1：2

4.如图，是简易遮阳棚，4、8是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40。角,

为了使遮阴影面16。面积最大，遮阳棚48。与地面所成的角为（C）

阳光

A.75°B.60°C.50°D.45

5.已知△48C中，sinA：sinB:sinC=k：(1-2*)：3W0),则k的取值范围为(B)

A.(2,+8)B.(1)!)听课随笔

64

C.(一;,0)D.(y,+°°)

6.在AABC中，

,cos2/cos2511

XTlFD明Q：---：----------z—=--------.

第9页共159页

cos2/cos25_1-2sin2l-2sin2B

证明:

a~b-—a2b2

11/sin2Asin25"1

/一落b^)

sin2B

山正弦定理得：二丁

h2

cos2/4cos25_11

b2a2b2

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第4课时余弦定理（1）

知识网络

三角形中的向量关系f余弦定理

学习要求

1.掌握余弦定理及其证明；

2.体会向量的工具性;

3.能初步运用余弦定理解斜三角形.

【课堂互动】

自学评价

1.余弦定理：

(l)a2=b2+c2-2be-cosA，b2=a2+c2-lac-cosB,c2=a2+b2-2ab-cosC.

222

(2)变形：cosA=b2+c2-a2,cosB=a+c-b

2be2ab

2.利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题:

（1）已知三边，求三个角;

（2）已知两边和它们的夹角，求第二边和其他两个角.

第10页共159页

【精典范例】

［例1］在A48C中，

(1)已知6=3,c=1,A=60°,求Q；

(2)已知。=4,b=5,c=6,求4(精确到0.1°).

【解】⑴由余弦定理，得/=b2+c2-2bccos/=32+12-2x3xlxcos60°=7,

所以Q=J7.

,22252+62-42

（2）山余弦定理，得COS/=+。一一"一=0.75,

2bc2x5x6

所以,4=41.4°.

点评：利用余弦定理，可以解决以下两类的斜际物幄里问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边

和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

【例2】48两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C,测得CZ=182加，C8=126〃?，

4c8=63°,求48两地之间的距离（耨确到1根）.

【解】山余弦定理，得

4产=CA2+CB2-2ACCBcosC

«28178.18

所以，43=168(优)

答48两地之同的距离约为168/M.

【例3】用余弦定理证明：在A48C中，兰C为锐角时，a2+b2>c2；当。为钝角时，a2+b2<c2.

【证】当。为锐角时，cosC>0,由余弦之理，得=廿十力一2abcosC<1+/,

即a2+b2>c2.

同理可证，当。为钝角时，a2+b2<c2

点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广.

追踪训练一

1.在4NBC中，

（1）已知A=60°,b=4,c=7,

求a\

（2）已知a—7,b=5,c=3,求A.

略解：（1）a国

略解：（2）A=—

3

2.若三条线段的长为5,6,7,则用这三条线段（B）A.能

组成直角三角形

B.能组成锐角三角形

C.能组成钝角三角形

D.不能组成三角形

3.在aABC中，已知/+/+a/,=c2,试求NC的大小.

第11页共159页

略解：c=——

3

4.两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h的速度向正北行驶，另一艇以7km/h的速度向北偏

东45°的方向行驶，问：经过40min,两艇相距多远？

略解：两艇相距4.71km

【选修延伸】

【例4】在AABC中，BC=a,AC=b,且a,6是方程x?-2jJx+2=0的两根，2cos(/+8)=1。

(1)求角C的度数；

(2)求AB的长;

(3)求AABC的面积。

解：⑴cosC=cospr-(/+8)]=-cos(^+5)=-1^0=120°

(2)因为a,6是方程2岳+2=0的两根，所以["+”=2返

ab=2

/.AB2=b2+a2-2abcos120°=(a+b『听那驾On"=VTo

(3)SMBC=^absinC

-T

[例5]ftAABC中，角A、B、C所对的.力分别为a，b,c,证明：

a2-b2_sin(4-B)

c2sinC

证明：由余弦定理知：

a2=b2+c2-2bc•cosA,b1—a「2+c2-2ac-cosB

则/-/

=b2-a2-26。•cosA+2ac-cosB,

整理得：

a2-b2acosB-hcosA

-c，

又由正弦定理得：

a_sinAb_sinB

=~~■，

csinCcsinC

第12页共159页

cr-b~_sinJcos5-cosJsin5sin(74-B)

C2sinCsinC

追踪训练二

1.在AABC中，已知6=后，c=\,B=45°,贝ija=(B)

V6+V2

A2B-------

2

听课随笔

C屈土垃口娓一册

-2--T~

2.在AABC中，已知AB=5,AC=6,BC=J5T,则A=(A)

7T八2〃一4cn

A—B—C—D—

3364

jr

3.在AABC中，若6=10,c=15,C=一，则此三角形有一解。

6

提示：由余弦定理得：

a2+h2-c273a2+100-225

cosC=------------=>——=--------------

lab220a

n4-10y/3a-125=0na=55/3±10V2

负值不合题意，舍去。

4、ZXABC中，^a2-c2+bc=b2,

贝人f。

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第5课时余弦定理（2）

【学习导航】

知识网络

第13页共159页

加［航运问题中的应用

余弦定理［4判断三角形的形状

学习要求

1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题；

2.余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；

3.初步利用定理判断三角形的形状。

【课堂互动】

自学评价

1.余弦定理：

(l)a2=b2+c2-2bc-cosA,h2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2ab-cosC.

k2,^2o2o2,^2k2o2.k2八2

c\亦称Ab+c—a„a+c_ba+b—c

(2)父形：cosA=------------，cosB=-------------，cosC=-------------

2.利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

【精典范例】

【例1】在长江某渡口处，江水以5碗/〃的速度向东流，一渡船在江南岸的〃码头出发，预定要在0.16后

到达江北岸8码头，设而为正北方向，已知8码头在力码头的北偏东15°,并与力码头相距1.2协?.该

渡船应按什么方向航行？速度是多少(角度精确到0.1°,速度精确到0.1七w/〃)？

【解】如图，船按力方向开出，AC方向为水流方向，以AC为一边、AB为对角线作平行四边形488,

其中28=1.2(七《),/C=5x0.1=0.5(方M).

在AABC中，由余弦定理，得

BC2=1.22+0.52-2-1.20.5-cos(90°-15°)所以

AD=BC-\Al(km).

因此,船的航行速度为1.17+0.1=11.7(6/〃).

在\ABC中，山正弦定理得

…cACsmABAC0.5sin75°”一。

sin/ABC=------------=---------=0.4128所以

BC1.17

24.4°

所以ZDAN=ZDAB-Z.NAB=ZJBC-15°=9.4°

答：渡船应按北偏西9.4°的方向，并以11.7加?///的速度航行.

【例2】在A48C中，已知sin/=2sin8cosC,试判断该三角形的形状.

【解】山正弦定理及余弦定理，得^i=g,cosC=一厂，

sinBblab

所以g=2工+匕匕整理得b2=c2

b2ab

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因为6>0,c>0,