2023-2024学年高二数学2019选择性试题2.2直线与圆的位置关系（十三大题型）

2.2直线与圆的位置关系课程标准学习目标(1)能用直线的方程、圆的方程解决具有一定综合性的数学问题和实际问题.(2)体会数形结合、函数与方程、转化与化归、特殊与一般等数学思想及方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养.1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断．2、理解并掌握直线与圆相切的问题．3、理解并掌握直线与圆的相交问题．4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题.知识点01直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．【即学即练1】直线与圆的位置关系是（

）A．过圆心 B．相切C．相离 D．相交但不过圆心【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆相交但不过圆心，故选：D知识点02圆的切线方程的求法1、点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是．【即学即练2】圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆的圆心，显然点在此圆上，直线的斜率为，所以所求切线斜率为，切线方程为，即.故选：D知识点03求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．【即学即练3】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为.【答案】4【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以所求弦长为，故答案为：4题型一：不含参数的直线与圆的位置关系例1．（2023·高二课时练习）直线和圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A【解析】圆的圆心，半径为，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．故选：A.例2．（2023·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】A【解析】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，由得，圆心到直线的距离为：，故圆与直线相切，故选：A例3．（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】A【解析】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A变式1．（2023·全国·高二专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【答案】C【解析】由题意知为圆内异于圆心的一点，则，而圆：的圆心到直线的距离为，故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C【方法技巧与总结】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．题型二：含参数的直线与圆的位置关系例4．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【答案】C【解析】由题知，圆心坐标，半径，将直线化为点斜式得，知该直线过定点，又，故该定点在圆内，所以该直线与圆必相交.故选：C例5．（2023·高二单元测试）直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定【答案】A【解析】由直线，得，令，则，所以直线过定点，因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.例6．（2023·全国·高二专题练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A【解析】已知直线过定点，将点代入圆的方程可得，可知点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.变式2．（2023·安徽亳州·高二统考开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交【答案】C【解析】因为，所以，即直线恒过定点；因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.故选：C.变式3．（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】C【解析】由直线得，令，得，故直线恒过点，又，即点在圆内，故直线与圆的位置关系为相交.故选：C.变式4．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：与圆C：的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关【答案】A【解析】∵直线l的方程为，即，∴直线l恒过定点，∵，即该定点在圆C：内，∴直线l与圆C相交．故选：A．变式5．（2023·高二课时练习）直线：与圆C：的位置关系为（

）A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交【答案】D【解析】圆C：，圆心为，半径为，直线：，即，圆心到直线的距离为，故直线与圆相交.故选：D【方法技巧与总结】通过判定直线过圆内一定点，从而转化为点与圆的位置关系．题型三：由直线与圆的位置关系求参数例7．（2023·高二单元测试）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值不可能是（

）A．2 B．0C．1 D．3【答案】D【解析】圆的方程可化为，则圆心为，半径为，要使条件成立，设圆心到直线的距离为，则只需要，即，所以的取值不可能是3.故选：D.例8．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知点为圆上一点，点在圆外，若满足的点有且只有4个，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，解得，如图所示，此时且，，此时满足的点有2个，此时，故，解得，故要想满足的点有且只有4个，则要，综上：正数的取值范围是.故选：A例9．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A．变式6．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，则令，解得，则其过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.故选：C．变式7．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．1【答案】C【解析】由圆，可圆心坐标为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心必在直线上，即，解得.故选：C.变式8．（2023·全国·高二专题练习）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.变式9．（2023·云南曲靖·高二校考期中）若直线与圆相切，则b的值是（

）A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12【答案】D【解析】由得圆的圆心坐标为半径为1，因为直线与圆相切，所以或.故选：D.变式10．（2023·高二单元测试）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】因为圆的圆心为，半径为，则点到直线的距离大于，，即或；故选：A.变式11．（2023·高二课时练习）若直线与圆相交，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直线，可化为，因为直线与圆相交，可得，整理得，所以.故选：B.变式12．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为2．若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足，则，解得．故选：C．【方法技巧与总结】抓住了直线与圆的位置关系的代数或几何特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法．题型四：求直线与圆的交点坐标例10．（2023·高二课时练习）过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程为．【答案】【解析】由直线得：①，把①式代入圆的方程中，得，解得：，，代入到中，解得，，所以两交点为，要使圆的面积最小，只需线段AB作为圆的直径，．设AB的中点为即为所求得圆的圆心则，，所以，设半径为r，则，此时圆的方程为．故答案为：例11．（2023·高二课时练习）一个圆过圆与直线的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程为.【答案】【解析】由，解得或，所以交点为，因为AB的斜率为，AB的中点为，所以AB的垂直平分线为，即，又因为圆心在y轴，所以圆心为，半径为圆心到交点B的距离，则所求圆的方程为故答案为：例12．（2023·辽宁·高二开学考试）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则.【答案】4【解析】，解得或，不妨设，，，则所作直线斜率为，直线方程为，令得，所以，直线方程为，令得，所以，所以.故答案为：4.变式13．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与圆，试判断直线与圆的位置关系，若相交求出交点坐标．【解析】圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，由，得或，所以交点坐标为或变式14．（2023·江苏·高二假期作业）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．【解析】直线和圆的公共点的坐标就是方程组的解，解这个方程组，得或，所以公共点的坐标为或．因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．变式15．（2023·全国·高二课堂例题）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程．【解析】法一：解方程组，得或，∴直线与圆交于点．设所求圆的方程为()，将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足，故所求圆的方程为．法二：设所求圆的方程为，又在圆上，则，解得，故所求圆的方程为，即．【方法技巧与总结】直接联立求解．题型五：求过圆上一点的切线方程例13．（2023·福建福州·高二福州三中校考期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆：，即，圆心为，半径，又，所以点在圆上，且，所以切线的斜率，所以切线方程为，即.故选：C例14．（2023·高二课时练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7【答案】A【解析】，则线段的中点坐标为，易知，则经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，设圆心为，则圆的方程为，当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），则此时P的坐标为，代入圆的方程得，解得或，即对应的切点分别为和，因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点为所求，即点的横坐标为.故选：A例15．（2023·全国·高二专题练习）过圆上一点的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得：，则该圆的圆心为，又是该圆上一点，则直线的斜率为，所以过点的切线的斜率，则过点的切线方程为，即，故选：B.变式16．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，设圆心为,由于在圆上，所以,所以切线的斜率为，由点斜式可得切线方程为，即，故选：A【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型六：求过圆外一点的切线方程例16．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）过点向圆引切线，则其切线方程为.【答案】或【解析】当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，再根据圆心到切线的距离等于半径可得，解得，此时切线方程为.故答案为：或例17．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）过点的圆的切线方程【答案】或【解析】由圆方程知：圆心，半径；当过的直线斜率不存在，即直线方程为：时，直线与圆相切；设过点且斜率存在的圆的切线方程为：，即，则圆心到直线的距离，即，该切线方程为：，即；综上所述：所求切线方程为或.故答案为：或.例18．（2023·全国·高二课堂例题）经过点，且与圆相切的直线的方程为．【答案】或【解析】因为，所以点P在圆外．方法一

若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为，即．又圆心为，半径，且圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，(过圆外一点有两条直线与圆相切，因此若解得只有一个k值时，另一直线的斜率一定不存在)所以直线的方程为．若直线的斜率不存在，则直线的方程为，显然满足题意．综上可知，满足题意的直线的方程为或．方法二

设所求切线方程为，其中是圆上的切点，将(4，5)代入后，得．由解得或故所求切线方程为或．故答案为：或变式17．（2023·全国·高二专题练习）过点的圆的切线方程为．【答案】或【解析】当切线的斜率不存在时，切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意，当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即，∵圆心到直线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程为，综上所述，切线方程为或．故答案为：或．变式18．（2023·高二单元测试）经过点作圆的切线，则切线的方程为.【答案】或【解析】圆的半径为，圆心为，当切线的斜率不存在时，方程，与圆不相切，所以切线的斜率存在，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得或，所以切线的方程为或.故答案为：或.变式19．（2023·全国·高二专题练习）过点且与圆：相切的直线方程为【答案】或【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为是圆的切线，满足题意；当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，故答案为：或．【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型七：求切线长例19．（2023·全国·高二专题练习）过点引圆切线，则切线长是.【答案】3【解析】把圆的方程化为标准方程得：，得到圆心坐标为，圆的半径，，切线长是，故答案为：3例20．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为.【答案】【解析】圆的圆心为，在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．在中，．要使最小，则应最小．又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为．故答案为：.例21．（2023·全国·高二专题练习）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为．【答案】【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，圆的圆心为，半径为，则，当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，所以，，即切线长的最小值为.故答案为：.变式20．（2023·河北唐山·高二统考期末）已知圆：，圆：，过圆上的任意一点P作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最大值为.【答案】【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，四边形面积，∵，∴四边形面积的最大值为.故答案为：.变式21．（2023·山东菏泽·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.设点，则，所以，的几何意义是点到点的距离，，所以，的几何意义是点到点的距离，如下图所示：，当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.变式22．（2023·河北邢台·高二统考期中）过点作圆的一条切线，切点为，则.【答案】【解析】由圆的方程知：圆心，半径，，.故答案为：.【方法技巧与总结】利用切线长公式求解．题型八：已知切线求参数例22．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆相切，则（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】圆的圆心，半径，依题意，，解得，所以.故选：A例23．（2023·全国·高二专题练习）若直线，与相切，则最大值为（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】的圆心为，半径为，因为直线，与相切，所以，即，所以可设，所以，其中，故选：B例24．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】设两切点为，则，，所以,因此只要直线上存在点，使得即可满足题意．圆心，所以圆心到直线的距离，解得或．故选：C．变式23．（2023·河南周口·高二校考阶段练习）已知直线与圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以圆心，半径.因为直线与圆相切，所以，解得，故选:A.变式24．（2023·高二课时练习）直线与圆相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因为直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径得：，即，解得：.故选：C变式25．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选：A.变式26．（2023·四川成都·高二成都七中校考期末）若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（

）A．8或2 B．6或4 C．4或6 D．2或8【答案】A【解析】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，因直线与圆相切，从而得，即，解得或，所以c的值为8或2.故选：A变式27．（2023·全国·高二专题练习）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆相切，则实数m的值为（

）A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7【答案】C【解析】因为过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，令y＝0，解得x＝，令x＝0，则y＝1﹣2k，则A（，0），B（0，1﹣2k），所以＝＝4，当其仅当，即k＝时取等号，此时直线l的方程为，即x+2y﹣4＝0，因为直线l与圆相切，所以，解得m＝0或m＝5．故选：C【方法技巧与总结】利用切线定义进行转化，建立等量方程进行求解．题型九：求弦长问题例25．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）圆与直线相交于，两点，则．【答案】【解析】圆的标准方程为，则圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，如图所示，则由垂径定理可知，.故答案为：.例26．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆相交于两点，则弦的长为．【答案】【解析】由可得圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以.故答案为：.例27．（2023·全国·高二课堂例题）过点引一条直线交圆于两点，若，则直线的方程为．【答案】或【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为，可求出它与圆的两交点坐标分别为所以弦长，满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．圆心到直线的距离，依题意得，即，解得，此时，直线.综上所述：直线的方程为或.故答案为：或【方法技巧与总结】求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长．题型十：已知弦长求参数例28．（2023·北京海淀·高二清华附中校考期中）若直线被圆C：截得的弦长为1，则．【答案】【解析】圆C：即，圆心为，半径为1，则到直线的距离为，由于直线被圆C：截得的弦长为1，故，解得，故答案为：例29．（2023·高二单元测试）经过点的直线l与圆交与P，Q两点，如果，则直线l的方程为．【答案】或【解析】圆的圆心，半径，因为圆截直线所得弦长为，则圆到直线的距离，因为直线过点，则当直线斜率不存在时，直线，显然圆心到直线距离为1，因此直线：符合题意；当直线斜率存在时，设其方程为，即，于是，解得，方程为，所以直线l的方程为或.故答案为：或例30．（2023·高二单元测试）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是.【答案】【解析】将圆的方程整理成标准方程得，则圆心的坐标为，，所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线垂直时，弦最短，此时所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：变式28．（2023·福建福州·高二校考期末）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程．【答案】或【解析】圆的方程可化为，圆心为，半径．当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长，不满足题意，所以过点的直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即，则圆心到直线的距为，依题意，即，解得或，故所求直线的方程为或．故答案为：或．变式29．（2023·全国·高二专题练习）若直线截圆所得弦长，则的值为.【答案】或【解析】圆心到直线的距离为，由得，解得或，故答案为：或【方法技巧与总结】利用弦长公式进行转化求解．题型十一：切点弦问题例31．（2023·河南南阳·高二统考期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】圆化为标准方程为，其圆心为，半径为1，由题意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以为等边三角形，所以.故选:C．例32．（2023·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆的圆心为原点，半径为，因为，故四点共圆，且为直径，设，则，线段的中点坐标为，故以为直径的圆的方程为，整理得：，与相减得：直线的方程为，整理为，令，解得：，即直线恒过点，要想线段取得最小值，只需，即为的中点，其中，则，故选：B例33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.则点到直线的距离的最大值为.【答案】【解析】设，，，由题得，又，所以，同理.即直线的方程是，因为，则，代入得，则直线恒过定点，所以点到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为.故答案为：.变式30．（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．【答案】【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：变式31．（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为．【答案】/【解析】圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，所以，所以的最小值为故答案为：变式32．（2023·高二单元测试）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】【解析】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线.故答案为：.变式33．（2023·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知圆：，则过点作的圆的切线，切点分别为A､B，则直线AB方程为【答案】【解析】，故以为圆心，为半径的圆为，两圆方程相减得到即为直线方程.故答案为：.变式34．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）已知圆，过动点分别作直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为．【答案】【解析】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，此时，圆在点处的切线方程为，即，当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足，当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足.综上所述，圆在其上一点处的切线方程为.设点、，则直线的方程为，直线的方程为，由题意可得，所以，点、的坐标满足方程，故直线的方程为，即，由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为.故答案为：.变式35．（2023·高二校考单元测试）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=．【答案】4【解析】连接，，，，设与相交于点，易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为，中，有，即，∵圆心O到直线的距离的最大值为，则的最小值为，依题意，知的最小值为点到直线的距离，∴，即，∵，∴.故答案为：4.变式36．（2023·全国·高二期中）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点.【答案】(1，－1)【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).【方法技巧与总结】求切点弦问题利用同构法求解．题型十二：最值问题例34．（2023·广东佛山·高二校联考期中）过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的最大值为．【答案】/【解析】直线方程可化为：，由得：，直线恒过定点，与直线垂直，垂足为，点轨迹是以为直径的圆，则圆心，半径，.故答案为：.例35．（2023·高二单元测试）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为．【答案】【解析】如图所示，圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，若求的最大值，转化为求的最大值，设关于直线的对称点为B，设B坐标为，则，解得，故B，因为，可得，当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.例36．（2023·全国·高二专题练习）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是．【答案】【解析】由题意知直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离小于等于，如图，作，垂足为，在直角中，因为，所以，解得，因为点，所以，解得，故的取值范围是，所以的最大值是.故答案为：变式37．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为．【答案】【解析】因为圆可化为，故圆心为，半径为，所以圆心到的距离为，则该圆被截得弦长满足，圆心到的距离为，则该圆被截得弦长满足，所以，则，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.变式38．（2023·全国·高二专题练习）已知实数，，，满足，，，则的最大值是．【答案】/【解析】由，可知，点，分别在圆和圆上，如图，作直线，过作于，过A作于，而，其中表示A到直线的距离，表示到直线的距离，因为与，平行，且与的距离为，与的距离为，要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，所以，，由得，设，因为，所以，从而，故，其中，故当时，取最大值，从而，即的最大值为．故答案为：．变式39．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知实数x，y满足，则的最大值为.【答案】【解析】不妨设点是圆上任一点，则的几何意义为点到直线的距离，过作的垂线，垂足为，则，又表示点到原点的距离，从而，又直线与圆相切时，，解得，所以当直线为圆的另一条切线时，最大，取最大值，此时，所以的最大值为，故答案为：变式40．（2023·上海静安·高二校考期末）已知实数满足，，则的最大值为.【答案】/【解析】设圆，直线，，，则，都在圆上，∵，，∴△MON是等边三角形，∴．表示和到直线的距离和，由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．取、的中点，过作，垂足为，则，∵为等边三角形，为的中点，∴，则在圆上运动，则当MN∥l时，到直线距离的最大值为，∴的最大值为．故答案为：变式41．（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）已知直线：与，轴的交点分别为，，且直线：与直线：相交于点，则面积的最大值是.【答案】【解析】因为，所以直线：与直线：垂直，又直线方程可化为，所以直线过点，因为直线方程可化为，所以直线过点，所以，故点的轨迹为以为直径的圆，又线段的中点的坐标为，，所以点的轨迹方程为，因为到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，由方程取可得，取可得，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，所以面积的最大值为，即，故答案为：.变式42．（2023·江苏·高二假期作业）已知实数满足方程，求的最大值和最小值．【解析】设，即，则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，圆的圆心为，半径为，则，解得，所以的最大值为，最小值为.变式43．（2023·高二课时练习）（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．【解析】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆相切于上方时最大，过圆心作切线l的垂线交于B，在中，．∴切线l的倾斜角为，∴的最大值为．同理可得的最小值为．解法二：令，将与联立，消去y得，，即，∴，即的最大值、最小值分别为．（2）可以看成圆上的点到的距离．圆心到的距离为．由图可知，圆上的点到的距离的范围是，则的取值范围是．变式44．（2023·全国·高二专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【解析】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，即，与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为；（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.可设，则C到其距离为，解得，故最大值为，最小值为（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.变式45．（2023·全国·高二专题练习）已知半径为的圆C的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．(1)求圆的标准方程．(2)已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求的最小值．【解析】（1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为因为直线与圆C相切，所以点到直线的距离，因为，所以，故圆C的标准方程为（2）假设存在定点B，设，，则，则当，即（舍去）时，为定值，且定值为，故存在定点B，且B的坐标为（3）由（2）知=，故=，从而=，当且仅当三点共线时，的值最小，且.变式46．（2023·全国·高二专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.【解析】圆即圆，所以圆心，半径，连接，由点在直线上，可设点坐标为，所以，因为，所以当最小时，取最小值．因为．所以当时，．所以，即四边形面积的最小值为．变式47．（2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知直线和圆．(1)证明：圆C与直线l恒相交；(2)求出直线l被圆C截得的弦长的最小值．【解析】（1）变形为，令，解得，故直线过定点，因为，故在圆C内，故圆C与直线l恒相交；（2）因为直线过定点，且在圆C内，故当直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，其中，圆的半径为2，故弦长最小值为.变式48．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知圆.(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；(2)设P是直线上一点，过P作圆C的切线PE，PF，切点分别为E，F，求的最小值.【解析】（1）圆的圆心，半径，因为直线l被圆C截得的弦AB长为8，则圆心C到直线l的距离为，因为点到直线的距离为3，因此直线l的方程可为：，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即，则有，解得，直线l的方程为：，即，所以直线l的方程为或.（2）由（1）知，圆心到直线的距离，依题意，，≌，PC垂直平分弦EF，如图，四边形面积，于是，当且仅当垂直于直线时取等号，所以的最小值为50.变式49．（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知圆C经过点和且圆心在直线上．(1)求圆C的方程；(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线距离的最大值和最小值．【解析】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为.由已知可得，，解得，所以，圆的标准方程为.（2）由（1）知，圆心为，半径.圆心到直线的距离.所以，直线与圆相离.所以，点P到直线距离的最大值为，最小值为.变式50．（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.(1)若，求切线所在直线方程；(2)求的最小值.【解析】（1）由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为，即，由圆的方程知：圆心为，半径，则圆心到切线的距离，解得：或，所求切线方程为：或.（2）连接交于点，设，则，在中，，，，，.【方法技巧与总结】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等．题型十三：三角形面积问题例37．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考开学考试）设直线，交圆于A，B两点，当面积最大时，（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由题意知圆的圆心为，，直线经过定点，该点在圆外，设圆心到直线的距离为，，则，，令，则，，当，即时，最大，所以，解得.故选：C例38．（2023·云南曲靖·高二校考开学考试）直线与圆相交于两点，，若满足，则.【答案】【解析】圆圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以所以．故答案为：．例39．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是．【答案】/【解析】由圆，即，可得圆心坐标为，半径为，因为钝角的面积为，可得，解得，因为，所以，可得，设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，根据点到直线的距离公式，解得．故答案为：．变式51．（2023·高二课时练习）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为．【答案】【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，则由，得，所以,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为原点到直线l的距离为：当且仅当，即时取得等号.由，解得由故直线l的方程为：，即故答案为：变式52．（2023·江西南昌·高二进贤县第二中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点及圆，动直线过点且交圆于、两点，则的面积的最大值为.【答案】【解析】圆即，圆心为，半径，设到直线的距离为，∵，∴，所以，所以当时．故答案为：变式53．（2023·福建泉州·高二校考期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化圆为，可得圆心坐标为,半径为3.由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故.因为，所以.弦最短时，弦与垂直，且经过点O,此时.故四边形的面积为.故选:B.变式54．（2023·高二课时练习）已知直线与圆（圆心为点C）交于A，B两点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得圆心坐标为.所以圆心到直线的距离为，所以弦长.所以的面积为.故选：C变式55．（2023·高二课时练习）点已知动直线恒过定点，为圆上一点，若（为坐标原点），则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将直线的方程变形得，所以直线过定点，易知点在圆上．连接，因为，，，则，所以，，即为的角平分线，所以，，又，所以，则直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，点到直线的距离．又，所以，故选：C．变式56．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得，可得，，故，则为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.【方法技巧与总结】利用弦长公式求解．一、单选题1．（2023·湖南郴州·高二校考阶段练习）已知圆,过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由题意，圆的方程可化为，圆心坐标为，半径，设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，当直线与所在直线垂直时，最大，此时，当最大时，最小，所以最小的弦长.故选：D.2．（2023·高二课时练习）如图是一个圆曲隧道的截面，若路面宽为10，净高CD为7，则此隧道圆的半径是（

）A．5 B． C． D．7【答案】B【解析】∵，∴，在Rt中，设半径，则，∴，即，解得.∴此隧道圆的半径是.故选：B3．（2023·新疆·高二校联考期末）已知直线与圆交于两点，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圆的方程知：圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，（当且仅当时取等号），则面积的最大值为.故选：D.4．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“乌巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知：直线为以为圆心的圆的切线，则到直线的距离为定值.对于选项A：因为，即，则到直线的距离不是定值，故A错误；对于选项B：因为，即，则到直线的距离不是定值，故B错误；对于选项C：因为，即，则到直线的距离不是定值，故C错误；对于选项D：因为，则到直线的距离是定值，故D正确；故选：D.5．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，故点在圆内，化为标准方程：.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：C6．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）中学时期，我们学过“过圆内定点，最长弦为直径”那么最短的弦又如何去刻画呢？请处理如下问题：过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，故点在圆内，化为标准方程：，圆心为，半径为.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A7．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知圆：与轴正半轴交于点A，点为圆上动点，点为弦中点，则到直线的距离为的点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】由题意知，设，则，由于点为圆上动点，故，即得点C的轨迹方程为，原点到直线的距离为，而直线和平行，它们之间的距离为；又因为到直线的距离为，即直线和相交，故圆上有2个点到直线的距离为，即符合题意的点的个数为2，故选：C8．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（

）A．圆关于轴的对称圆的方程为B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为【答案】C【解析】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，所求圆的方程为：，即，A正确；对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，入射光线所在直线经过点，，入射光线所在直线方程为：，即，B正确；对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，，，则，C错误；对于D，设，则圆心到直线的距离，，，则当时，，D正确.故选：C.二、多选题9．（2023·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）直线与圆的交点个数不可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABD【解析】圆的圆心，半径，则点到直线的距离，因此直线与圆相交，它们有两个公共点，ABD不可能.故选：ABD10．（2023·江苏盐城·高二校联考期中）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】圆心到直线的距离，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，所以，即，解得，结合选项可知，BC正确，故选：BC．11．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考期中）方程有两个不等实根，则的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】方程有两个不等实根，即函数的图象和直线有2个交点．而函数是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于轴及轴上方的部分），直线，即的斜率为，且经过点，当直线和半圆相切时，由，求得．当直线经过点时，由求得．数形结合可得的范围为,，故选：BC．.12．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为【答案】BD【解析】由圆可化为，可得圆心，半径为，对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，所以它的最大值为，所以A错误；对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，由圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，所以B正确；对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，则点与圆心连线的斜率为，根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以D正确.故选：BD.三、填空题13．（2023·全国·高二课堂例题）与直线平行且与圆相切的直线的方程为．【